La conjetura de Legendre

Hay un primo entre dos números cuadrados cualesquiera

La conjetura de Legendre , propuesta por Adrien-Marie Legendre , establece que existe un número primo entre y para cada número entero positivo . La conjetura es uno de los problemas de Landau (1912) sobre números primos; A partir de 2024 , la conjetura no ha sido probada ni refutada . ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n}$^[actualizar]

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Siempre existe al menos un primo entre y ? ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Brechas primarias

Si la conjetura de Legendre es cierta, la brecha entre cualquier primo p y el siguiente primo más grande sería , como se expresa en notación O grande . ^[a] Es uno de una familia de resultados y conjeturas relacionadas con las brechas de primos , es decir, con el espaciado entre números primos. Otros incluyen el postulado de Bertrand , sobre la existencia de un primo entre y , la conjetura de Oppermann sobre la existencia de primos entre ,, y , la conjetura de Andrica y la conjetura de Brocard sobre la existencia de primos entre cuadrados de primos consecutivos, y la conjetura de Cramér de que los espacios son siempre mucho más pequeños, del orden . Si la conjetura de Cramér es cierta, la conjetura de Legendre se seguiría para todo n suficientemente grande . Harald Cramér también demostró que la hipótesis de Riemann implica un límite más débil en el tamaño de las brechas principales más grandes. ^[1] ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle (\log p)^{2}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$

Gráfica del número de números primos entre n ² y ( n + 1) ² OEIS : A014085

Según el teorema de los números primos , el número esperado de primos entre y es aproximadamente , y además se sabe que para casi todos los intervalos de esta forma el número real de primos ( OEIS : A014085 ) es asintótico con respecto a este número esperado. ^[2] Dado que este número es grande para grandes , esto da crédito a la conjetura de Legendre. ^[3] Se sabe que el teorema de los números primos da un recuento preciso de los primos dentro de intervalos cortos, ya sea incondicionalmente ^[4] o basándose en la hipótesis de Riemann , ^[5] pero las longitudes de los intervalos para los que esto se ha demostrado son más largo que los intervalos entre cuadrados consecutivos, demasiado largo para probar la conjetura de Legendre. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n/\ln n}$ ${\displaystyle n}$

Resultados parciales

De un resultado de Ingham se deduce que para todos los suficientemente grandes , hay un número primo entre los cubos consecutivos y . ^[6] Dudek demostró que esto es válido para todos . ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$

Dudek también demostró que para y cualquier número entero positivo , hay un primo entre y . Mattner redujo esto a ^[8] , que fue reducido aún más por Cully-Hugill. ^[9] ${\displaystyle m=5.10^{9}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{m}}$ ${\displaystyle (n+1)^{m}}$ ${\displaystyle m=1438989}$ ${\displaystyle m=155}$

Baker, Harman y Pintz demostraron que existe un primo en el intervalo para todos los grandes . ^[10] ${\displaystyle [x-x^{21/40},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Una tabla de brechas máximas de primos muestra que la conjetura se cumple al menos , es decir . ^[11] ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$ ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$

Notas

1. Esto es consecuencia de que la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es del orden de sus raíces cuadradas .

Referencias

1. Stewart, Ian (2013), Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos, libros básicos, p. 164, ISBN 9780465022403.
2. Bazzanella, Danilo (2000), "Primos entre cuadrados consecutivos" (PDF) , Archiv der Mathematik , 75 (1): 29–34, doi :10.1007/s000130050469, MR  1764888, S2CID  16332859
3. Francis, Richard L. (febrero de 2004), "Entre cuadrados consecutivos", Missouri Journal of Mathematical Sciences , Universidad de Central Missouri, Departamento de Matemáticas e Informática, 16 (1): 51–57, doi : 10.35834/2004/ 1601051; ver pág. 52, "Parece dudoso que esta superabundancia de números primos pueda agruparse de tal manera que se evite aparecer al menos una vez entre cuadrados consecutivos".
4. Heath-Brown, DR (1988), "El número de números primos en un intervalo corto" (PDF) , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1988 (389): 22–63, doi :10.1515/crll.1988.389.22 , SEÑOR  0953665, S2CID  118979018
5. Selberg, Atle (1943), "Sobre la densidad normal de números primos en intervalos pequeños y la diferencia entre números primos consecutivos", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 47 (6): 87–105, MR  0012624
6. OEIS : A060199
7. Dudek, Adrian (diciembre de 2016), "Un resultado explícito para números primos entre cubos", Funct. Aprox. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3, S2CID  119143089
8. Mattner, Caitlin (2017). Números primos en intervalos cortos (tesis de licenciatura). Universidad Nacional de Australia. doi :10.25911/5d9efba535a3e.
9. Cully-Hugill, Michaela (1 de junio de 2023). "Primos entre potencias consecutivas". Revista de teoría de números . 247 : 100–117. arXiv : 2107.14468 . doi :10.1016/j.jnt.2022.12.002. ISSN  0022-314X.
10. Panadero, RC; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "La diferencia entre números primos consecutivos, II" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 83 (3): 532–562, doi :10.1112/plms/83.3.532, S2CID  8964027
11. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Sigfrido; Pardi, Silvio (2014), "Verificación empírica de la conjetura par de Goldbach y cálculo de brechas de primos hasta 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} " (PDF) , Matemáticas de la Computación , 83 (288 ): 2033–2060, doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 , SEÑOR  3194140.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "La conjetura de Legendre", MathWorld