Casi todos

En matemáticas , el término " casi todo " significa "todo menos una cantidad insignificante". Más precisamente, si es un conjunto , "casi todos los elementos de " significa "todos los elementos de excepto aquellos en un subconjunto insignificante de ". El significado de "insignificante" depende del contexto matemático; por ejemplo, puede significar finito , contable o nulo . $X$ $X$ $X$ $X$

En cambio, " casi nada " significa "una cantidad insignificante"; es decir, "casi ningún elemento de " significa "una cantidad insignificante de elementos de ". $X$ $X$

Significados en diferentes áreas de las matemáticas

Significado predominante

En todas las matemáticas, "casi todos" se utiliza a veces para significar "todos (elementos de un conjunto infinito ) excepto un número finito ". ^[1]^[2] Este uso también ocurre en filosofía. ^[3] De manera similar, "casi todos" puede significar "todos (elementos de un conjunto incontable ) excepto muchos contables ". ^{[seg 1]}

Ejemplos:

Casi todos los números enteros positivos son mayores que 10 ¹² . ^[4]^{: 293}
Casi todos los números primos son impares (2 es la única excepción). ^[5]
Casi todos los poliedros son irregulares (ya que sólo hay nueve excepciones: los cinco sólidos platónicos y los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot ).
Si P es un polinomio distinto de cero , entonces P(x) ≠ 0 para casi todos los x (si no todos los x ).

Significado en la teoría de la medida

La función de Cantor como una función que tiene derivada cero en casi todas partes

Cuando se habla de los reales , a veces "casi todos" puede significar "todos los reales excepto un conjunto nulo ". ^[6]^[7]^{[sec 2]} De manera similar, si S es un conjunto de reales, "casi todos los números en S " pueden significar "todos los números en S excepto aquellos en un conjunto nulo". ^[8] La línea real puede considerarse como un espacio euclidiano unidimensional . En el caso más general de un espacio n -dimensional (donde n es un entero positivo), estas definiciones pueden generalizarse a "todos los puntos excepto aquellos en un conjunto nulo" ^{[sección 3]} o "todos los puntos en S excepto aquellos en en un conjunto nulo" (esta vez, S es un conjunto de puntos en el espacio). ^[9] Aún más en general, "casi todos" se usa a veces en el sentido de " casi en todas partes " en la teoría de la medida , ^[10]^[11]^{[sec 4]} o en el sentido estrechamente relacionado de " casi con seguridad " en la teoría de la probabilidad. . ^[11]^{[seg 5]}

Ejemplos:

En un espacio de medida , como la línea real, los conjuntos contables son nulos. El conjunto de los números racionales es contable, por lo que casi todos los números reales son irracionales. ^[12]
El primer artículo sobre teoría de conjuntos de Georg Cantor demostró que el conjunto de números algebraicos también es contable, por lo que casi todos los reales son trascendentales . ^[13]^{[seg 6]}
Casi todos los reales son normales . ^[14]
El conjunto de Cantor también es nulo. Por lo tanto, casi todos los reales no están en él aunque sea incontable. ^[6]
La derivada de la función de Cantor es 0 para casi todos los números del intervalo unitario . ^[15] Se deduce del ejemplo anterior porque la función de Cantor es localmente constante y, por lo tanto, tiene derivada 0 fuera del conjunto de Cantor.

Significado en la teoría de números

En teoría de números , "casi todos los números enteros positivos" puede significar "los números enteros positivos en un conjunto cuya densidad natural es 1". Es decir, si A es un conjunto de números enteros positivos, y si la proporción de números enteros positivos en A por debajo de n ( de todos los números enteros positivos por debajo de n ) tiende a 1 cuando n tiende a infinito, entonces casi todos los números enteros positivos están en A. ^[16]^[17]^{[seg 7]}

De manera más general, sea S un conjunto infinito de números enteros positivos, como el conjunto de números pares positivos o el conjunto de números primos , si A es un subconjunto de S , y si la proporción de elementos de S por debajo de n que están en A ( de todos los elementos de S debajo de n ) tiende a 1 cuando n tiende a infinito, entonces se puede decir que casi todos los elementos de S están en A.

Ejemplos:

La densidad natural de conjuntos cofinitos de números enteros positivos es 1, por lo que cada uno de ellos contiene casi todos los números enteros positivos.
Casi todos los números enteros positivos son compuestos . ^{[seg 7]}^{[prueba 1]}
Casi todos los números pares positivos se pueden expresar como la suma de dos números primos. ^[4]^{: 489}
Casi todos los números primos están aislados . Además, para cada entero positivo $g$ , casi todos los primos tienen espacios primos mayores que $g$ tanto a su izquierda como a su derecha; es decir, no existe ningún otro primo entre $p - g$ y $p + g$ . ^[18]

Significado en la teoría de grafos

En teoría de grafos , si A es un conjunto de gráficos ( etiquetados finitos ) , se puede decir que contiene casi todos los gráficos, si la proporción de gráficos con n vértices que están en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. ^[19] Sin embargo, a veces es más fácil trabajar con probabilidades, ^[20] por lo que la definición se reformula de la siguiente manera. La proporción de gráficos con n vértices que están en A es igual a la probabilidad de que un gráfico aleatorio con n vértices (elegido con la distribución uniforme ) esté en A , y elegir un gráfico de esta manera tiene el mismo resultado que generar un gráfico volteando un moneda para cada par de vértices para decidir si conectarlos. ^[21] Por lo tanto, de manera equivalente a la definición anterior, el conjunto A contiene casi todos los gráficos si la probabilidad de que un gráfico generado al lanzar una moneda al aire con n vértices esté en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. ^[20]^[22] A veces, la última definición se modifica para que el gráfico se elija aleatoriamente de alguna otra manera , donde no todos los gráficos con n vértices tienen la misma probabilidad, ^[21] y esas definiciones modificadas no siempre son equivalentes a la principal.

El uso del término "casi todos" en teoría de grafos no es estándar; El término " asintóticamente casi con seguridad " se utiliza más comúnmente para este concepto. ^[20]

Ejemplo:

Casi todas las gráficas son asimétricas . ^[19]
Casi todos los gráficos tienen diámetro 2. ^[23]

Significado en topología

En topología ^[24] y especialmente en teoría de sistemas dinámicos ^[25]^[26]^[27] (incluidas aplicaciones en economía), ^[28] "casi todos" los puntos de un espacio topológico pueden significar "todos los puntos del espacio excepto los de un conjunto exiguo ”. Algunos usan una definición más limitada, donde un subconjunto contiene casi todos los puntos del espacio sólo si contiene algún conjunto denso abierto . ^[26]^[29]^[30]

Ejemplo:

Dada una variedad algebraica irreducible , las propiedades que se cumplen para casi todos los puntos de la variedad son exactamente las propiedades genéricas . ^{[sec 8]} Esto se debe al hecho de que en una variedad algebraica irreducible equipada con la topología de Zariski , todos los conjuntos abiertos no vacíos son densos.

Significado en álgebra

En álgebra abstracta y lógica matemática , si U es un ultrafiltro en un conjunto X, "casi todos los elementos de X " a veces significa "los elementos de algún elemento de U ". ^[31]^[32]^[33]^[34] Para cualquier partición de X en dos conjuntos disjuntos , uno de ellos necesariamente contendrá casi todos los elementos de X. Es posible pensar que los elementos de un filtro en X contienen casi todos los elementos de X , incluso si no es un ultrafiltro. ^[34]

Pruebas

^ El teorema de los números primos muestra que el número de primos menores o iguales que n es asintóticamente igual a n /ln( n ). Por lo tanto, la proporción de números primos es aproximadamente ln( n )/ n , que tiende a 0 cuando n tiende al infinito , por lo que la proporción de números compuestos menores o iguales que n tiende a 1 cuando n tiende al infinito. ^[17]

Ver también

Referencias

Fuentes primarias

^ Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (3 de diciembre de 1996). Polinomios con valores enteros . Encuestas y monografías matemáticas . vol. 48. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. xix. ISBN 978-0-8218-0388-2. ISSN 0076-5376.
^ Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (7 de diciembre de 2010) [Publicado por primera vez en 2000]. "Capítulo 4: ¿Qué hay de nuevo en los polinomios con valores enteros en un subconjunto?". En Hazewinkel, Michiel (ed.). Teoría del anillo conmutativo no noetheriano . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 520. Saltador . pag. 85.doi : 10.1007 /978-1-4757-3180-4. ISBN 978-1-4419-4835-9.
^ Gärdenfors, Peter (22 de agosto de 2005). La dinámica del pensamiento . Biblioteca de síntesis. vol. 300. Saltador . págs. 190-191. ISBN 978-1-4020-3398-8.
^ ab Courant, Richard ; Robbins, Herbert ; Stewart, Ian (18 de julio de 1996). ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de ideas y métodos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-510519-3.
^ Movshovitz-hadar, Nitsa; Shriki, Atara (8 de octubre de 2018). Lógica en el país de las maravillas: una introducción a la lógica mediante la lectura de Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas: guía para profesores. Científico mundial. pag. 38.ISBN _ 978-981-320-864-3. Esto también se puede expresar con la afirmación: "Casi todos los números primos son impares".
^ ab Korevaar, Jacob (1 de enero de 1968). Métodos Matemáticos: Álgebra Lineal / Espacios Normados / Distribuciones / Integración . vol. 1. Nueva York: Prensa académica . págs. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6.
^ Natanson, Isidor P. (junio de 1961). Teoría de Funciones de una Variable Real . vol. 1. Traducido por Boron, Leo F. (edición revisada). Nueva York: Frederick Ungar Publishing . pag. 90.ISBN _ 978-0-8044-7020-9.
^ Sohrab, Houshang H. (15 de noviembre de 2014). Análisis real básico (2 ed.). Birkhäuser . pag. 307. doi :10.1007/978-1-4939-1841-6. ISBN 978-1-4939-1841-6.
^ Helmberg, Gilbert (diciembre de 1969). Introducción a la teoría espectral en el espacio de Hilbert . Serie de Holanda Septentrional en Matemáticas y Mecánica Aplicadas. vol. 6 (1ª ed.). Ámsterdam: Editorial de Holanda Septentrional . pag. 320.ISBN _ 978-0-7204-2356-3.
^ Vestrup, Eric M. (18 de septiembre de 2003). La Teoría de las Medidas y la Integración . Serie Wiley en probabilidad y estadística. Estados Unidos: Wiley-Interscience . pag. 182.ISBN _ 978-0-471-24977-1.
^ ab Billingsley, Patrick (1 de mayo de 1995). Probabilidad y medida (PDF) . Serie Wiley en probabilidad y estadística (3ª ed.). Estados Unidos: Wiley-Interscience . pag. 60.ISBN _ 978-0-471-00710-4. Archivado desde el original (PDF) el 23 de mayo de 2018.
^ Niven, Ivan (1 de junio de 1956). Numeros irracionales . Monografías Matemáticas de Carus . vol. 11. Rahway: Asociación Matemática de América . págs. 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4.
^ Panadero, Alan (1984). Una introducción concisa a la teoría de números. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 53.ISBN _ 978-0-521-24383-4.
^ Granville, Andrés ; Rudnick, Zeev (7 de enero de 2007). Equidistribución en teoría de números, introducción . Serie científica de la OTAN II. vol. 237. Saltador . pag. 11.ISBN _ 978-1-4020-5404-4.
^ Burk, Frank (3 de noviembre de 1997). Medida de Lebesgue e integración: una introducción . Una serie de textos, monografías y tratados de Wiley-Interscience. Estados Unidos: Wiley-Interscience . pag. 260.ISBN _ 978-0-471-17978-8.
^ Resistente, GH (1940). Ramanujan: doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 50.
^ ab Hardy, GH ; Wright, EM (diciembre de 1960). Introducción a la teoría de los números (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8.
^ Prachar, Karl (1957). Primzahlverteilung . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (en alemán). vol. 91. Berlín: Springer . pag. 164.Citado en Grosswald, Emil (1 de enero de 1984). Temas de la Teoría de los Números (2ª ed.). Boston: Birkhäuser . pag. 30.ISBN _ 978-0-8176-3044-7.
^ ab Babai, László (25 de diciembre de 1995). "Grupos de automorfismo, isomorfismo, reconstrucción". En Graham, Ronald ; Grötschel, Martín ; Lovász, László (eds.). Manual de combinatoria . vol. 2. Países Bajos: Editorial de Holanda Septentrional . pag. 1462.ISBN _ 978-0-444-82351-9.
^ abc Spencer, Joel (9 de agosto de 2001). La extraña lógica de los gráficos aleatorios . Algoritmos y Combinatoria. vol. 22. Saltador . págs. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8.
^ ab Bollobás, Béla (8 de octubre de 2001). Gráficos aleatorios . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 73 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1.
^ Grädel, Eric; Kolaítis, Phokion G.; Libkin, Leónidas ; Marx, Martín; Spencer, Joel ; Vardi, Moshe Y .; Venema, Ydé; Weinstein, Scott (11 de junio de 2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Textos de informática teórica ( serie EATCS ). Saltador . pag. 298.ISBN _ 978-3-540-00428-8.
^ Buckley, Fred; Harary, Frank (21 de enero de 1990). Distancia en gráficos . Addison-Wesley . pag. 109.ISBN _ 978-0-201-09591-3.
^ Oxtoby, John C. (1980). Medida y Categoría . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 2 (2ª ed.). Estados Unidos: Springer . págs.59, 68. ISBN 978-0-387-90508-2.Si bien Oxtoby no define explícitamente el término allí, Babai lo ha tomado prestado de Medida y Categoría en su capítulo "Grupos de automorfismo, isomorfismo, reconstrucción" del Manual de combinatoria de Graham, Grötschel y Lovász (vol. 2), y Broer y Takens . observe en su libro Dynamical Systems and Chaos que Medida y categoría compara este significado de "casi todo" con el significado teórico de la medida en la línea real (aunque el libro de Oxtoby también analiza conjuntos escasos en espacios topológicos generales).
^ Baratchart, Laurent (1987). "Resultados recientes y nuevos en la aproximación racional L ² ". En Cortina, Ruth F. (ed.). Modelado, Robustez y Reducción de Sensibilidad en Sistemas de Control . Serie ASI de la OTAN F. Vol. 34. Saltador . pag. 123.doi : 10.1007 /978-3-642-87516-8. ISBN 978-3-642-87516-8.
^ ab Broer, Henk; Tomadas, Floris (28 de octubre de 2010). Sistemas dinámicos y caos . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 172. Saltador . pag. 245.doi : 10.1007 /978-1-4419-6870-8. ISBN 978-1-4419-6870-8.
^ Sharkovsky, AN; Kolyada, SF; Sivak, AG; Fedorenko, VV (30 de abril de 1997). Dinámica de mapas unidimensionales . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 407. Saltador . pag. 33.doi : 10.1007 /978-94-015-8897-3. ISBN 978-94-015-8897-3.
^ Yuan, George Xian-Zhi (9 de febrero de 1999). Teoría y aplicaciones de KKM en análisis no lineal . Matemática Pura y Aplicada; Una serie de monografías y libros de texto. Marcel Dekker . pag. 21.ISBN _ 978-0-8247-0031-7.
^ Albertini, Francesca; Sontag, Eduardo D. (1 de septiembre de 1991). "Transitividad y accesibilidad directa de sistemas no lineales en tiempo discreto". En Bonnard, Bernardo; Novia, Bernardo; Gauthier, Jean-Paul; Kupka, Ivan (eds.). Análisis de Sistemas Dinámicos Controlados . Avances en la teoría de sistemas y control. vol. 8. Birkhäuser . pag. 29.doi : 10.1007 /978-1-4612-3214-8. ISBN 978-1-4612-3214-8.
^ De la Fuente, Ángel (28 de enero de 2000). Modelos y métodos matemáticos para economistas . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 217.ISBN _ 978-0-521-58529-3.
^ Komjáth, Péter ; Totik, Vilmos (2 de mayo de 2006). Problemas y teoremas de la teoría clásica de conjuntos . Libros de problemas en matemáticas. Estados Unidos: Springer . pag. 75.ISBN _ 978-0387-30293-5.
^ Salzmann, Helmut; Grundhofer, Theo; Hähl, Hermann; Löwen, Rainer (24 de septiembre de 2007). Los campos clásicos: características estructurales de los números reales y racionales. Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 112. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 155.ISBN _ 978-0-521-86516-6.
^ Schoutens, Hans (2 de agosto de 2010). El uso de ultraproductos en álgebra conmutativa . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 1999. Saltador . pag. 8. doi :10.1007/978-3-642-13368-8. ISBN 978-3-642-13367-1.
^ ab Rautenberg, Wolfgang (17 de diciembre de 2009). Un resumen de la lógica matemática . Universitext (3ª ed.). Saltador . págs. 210-212. doi :10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN 978-1-4419-1221-3.

Fuentes secundarias

^ Schwartzman, Steven (1 de mayo de 1994). Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés . Serie Espectro. Asociación Matemática de América . pag. 22.ISBN _ 978-0-88385-511-9.
^ Clapham, Cristóbal; Nicholson, James (7 de junio de 2009). El Diccionario Oxford Conciso de Matemáticas . Referencias de libros en rústica de Oxford (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 38.ISBN _ 978-0-19-923594-0.
^ James, Robert C. (31 de julio de 1992). Diccionario de Matemáticas (5ª ed.). Chapman y salón . pag. 269.ISBN _ 978-0-412-99031-1.
^ Bityutskov, Vadim I. (30 de noviembre de 1987). "Casi en cualquier parte". En Hazewinkel, Michiel (ed.). Enciclopedia de Matemáticas . vol. 1. Editores académicos de Kluwer . pag. 153. doi :10.1007/978-94-015-1239-8. ISBN 978-94-015-1239-8.
^ Itô, Kiyosi , ed. (4 de junio de 1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas . vol. 2 (2ª ed.). Kingsport: Prensa del MIT . pag. 1267.ISBN _ 978-0-262-09026-1.
^ "Casi todos los números reales son trascendentales - ProofWiki". pruebawiki.org . Consultado el 11 de noviembre de 2019 .
^ ab Weisstein, Eric W. "Casi todos". MundoMatemático .Véase también Weisstein, Eric W. (25 de noviembre de 1988). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (1ª ed.). Prensa CRC . pag. 41.ISBN _ 978-0-8493-9640-3.
^ Itô, Kiyosi , ed. (4 de junio de 1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas. vol. 1 (2ª ed.). Kingsport: Prensa del MIT . pag. 67.ISBN _ 978-0-262-09026-1.