En matemáticas , un conjunto despreciable es un conjunto que es lo suficientemente pequeño como para que pueda ignorarse para algún propósito. Como ejemplos comunes, los conjuntos finitos pueden ignorarse al estudiar el límite de una secuencia y los conjuntos nulos pueden ignorarse al estudiar la integral de una función medible .
Los conjuntos despreciables definen varios conceptos útiles que pueden aplicarse en diversas situaciones, como la verdad en casi todas partes . Para que estos funcionen, generalmente solo es necesario que los conjuntos despreciables formen un ideal ; es decir, que el conjunto vacío sea despreciable, la unión de dos conjuntos despreciables sea despreciable y cualquier subconjunto de un conjunto despreciable sea despreciable. Para algunos propósitos, también necesitamos que este ideal sea un sigma-ideal , de modo que las uniones numerables de conjuntos despreciables también sean despreciables. Si I y J son ambos ideales de subconjuntos del mismo conjunto X , entonces se puede hablar de subconjuntos I -despreciables y J -despreciables .
El opuesto de un conjunto despreciable es una propiedad genérica , que tiene varias formas.
Sea X el conjunto N de números naturales y sea un subconjunto de N despreciable si es finito . Entonces, los conjuntos despreciables forman un ideal. Esta idea se puede aplicar a cualquier conjunto infinito ; pero si se aplica a un conjunto finito, todo subconjunto será despreciable, lo que no es una noción muy útil.
O bien , sea X un conjunto incontable y sea un subconjunto de X despreciable si es contable . Entonces, los conjuntos despreciables forman un ideal sigma.
Sea X un espacio medible dotado de una medida m, y sea un subconjunto de X despreciable si es m - nulo . Entonces los conjuntos despreciables forman un ideal sigma. Todo ideal sigma en X puede recuperarse de esta manera colocando una medida adecuada en X , aunque la medida puede ser bastante patológica.
Sea X el conjunto R de números reales , y sea un subconjunto A de R despreciable si para cada ε > 0, [1] existe una colección finita o contable I 1 , I 2 , … de intervalos (posiblemente superpuestos) que satisfacen:
y
Este es un caso especial del ejemplo anterior, utilizando la medida de Lebesgue , pero descrito en términos elementales.
Sea X un espacio topológico y sea un subconjunto despreciable si es de primera categoría , es decir, si es una unión numerable de conjuntos no densos en ninguna parte (donde un conjunto no es denso en ninguna parte si no es denso en ningún conjunto abierto ). Entonces los conjuntos despreciables forman un sigma-ideal.
Sea X un conjunto dirigido y sea un subconjunto de X despreciable si tiene un límite superior . Entonces, los conjuntos despreciables forman un ideal. El primer ejemplo es un caso especial de esto utilizando el ordenamiento habitual de N.
En una estructura gruesa , los conjuntos controlados son despreciables.
Sea X un conjunto y sea I un ideal de subconjuntos despreciables de X. Si p es una proposición sobre los elementos de X , entonces p es verdadera casi en todas partes si el conjunto de puntos donde p es verdadera es el complemento de un conjunto despreciable. Es decir, p puede no ser siempre verdadera, pero es falsa tan raramente que esto puede ignorarse para los propósitos que nos ocupan.
Si f y g son funciones de X al mismo espacio Y , entonces f y g son equivalentes si son iguales casi en todas partes. Para hacer preciso el párrafo introductorio, entonces, sea X N , y sean los conjuntos despreciables los conjuntos finitos. Entonces f y g son sucesiones. Si Y es un espacio topológico , entonces f y g tienen el mismo límite, o ambos no tienen ninguno. (Cuando generalizas esto a conjuntos dirigidos, obtienes el mismo resultado, pero para redes .) O, sea X un espacio de medida, y sean los conjuntos despreciables los conjuntos nulos. Si Y es la línea real R , entonces o bien f y g tienen la misma integral, o ninguna integral está definida.
