Límite de una secuencia

Valor al que tiende una secuencia infinita

La secuencia dada por los perímetros de polígonos regulares de n lados que circunscriben el círculo unitario tiene un límite igual al perímetro del círculo, es decir . La secuencia correspondiente para polígonos inscritos tiene el mismo límite. ${\displaystyle 2\pi r}$

A medida que el número entero positivo se hace cada vez mayor, el valor se acerca arbitrariamente a . Decimos que "el límite de la secuencia es igual ". ${\textstyle n}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle 1}$

En matemáticas , el límite de una secuencia es el valor al que "tienden" los términos de una secuencia y, a menudo, se denota mediante el símbolo (p. ej., ). ^[1] Si tal límite existe, la secuencia se llama convergente . ^[2] Una secuencia que no converge se dice que es divergente . ^[3] Se dice que el límite de una secuencia es la noción fundamental sobre la que, en última instancia, descansa todo el análisis matemático . ^[1] ${\displaystyle \lim }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Los límites se pueden definir en cualquier espacio métrico o topológico , pero normalmente se encuentran primero en los números reales .

Historia

El filósofo griego Zenón de Elea es famoso por formular paradojas que implican procesos limitantes .

Leucipo , Demócrito , Antífona , Eudoxo y Arquímedes desarrollaron el método de agotamiento , que utiliza una secuencia infinita de aproximaciones para determinar un área o un volumen. Arquímedes logró resumir lo que hoy se llama serie geométrica .

Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el final de la serie, que ninguna progresión puede alcanzar, incluso si ella continúa en el infinito, pero al cual puede acercarse más que un segmento dado". ^[4]

Pietro Mengoli anticipó la idea moderna de límite de una secuencia con su estudio de cuasiproporciones en Geometriae speciosae elementa (1659). Usó el término cuasi infinito para ilimitado y cuasi nulo para desaparecer .

Newton trató las series en sus obras Análisis con series infinitas (escrito en 1669, distribuido en manuscrito, publicado en 1711), Método de las fluxiones y series infinitas (escrito en 1671, publicado en traducción al inglés en 1736, original en latín publicado mucho más tarde). y Tractatus de Quadratura Curvarum (escrito en 1693, publicado en 1704 como apéndice de su Optiks ). En este último trabajo, Newton considera la expansión binomial de , que luego linealiza tomando el límite como tiende a . ${\textstyle (x+o)^{n}}$ ${\textstyle o}$ ${\textstyle 0}$

En el siglo XVIII, matemáticos como Euler lograron sumar algunas series divergentes deteniéndose en el momento adecuado; no les importaba mucho si existía un límite, siempre que pudiera calcularse. A finales de siglo, Lagrange en su Théorie des fonctions analytiques (1797) opinó que la falta de rigor impedía un mayor desarrollo del cálculo. Gauss en su estudio de series hipergeométricas (1813) investigó rigurosamente por primera vez las condiciones bajo las cuales una serie convergía hasta un límite.

La definición moderna de límite (para cualquier existe un índice de modo que...) fue dada por Bernard Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Praga 1816, que fue poco notado en ese momento), y por Karl Weierstrass en la década de 1870. ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textstyle N}$

Numeros reales

La gráfica de una secuencia convergente { a _n } se muestra en azul. Aquí, se puede ver que la secuencia converge hasta el límite 0 a medida que n aumenta.

En los números reales , un número es el límite de la secuencia , si los números de la secuencia se acercan cada vez más a , y no a ningún otro número. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle L}$

Ejemplos

• Si es constante , entonces . ^{[prueba 1] [5]} ${\displaystyle x_{n}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n}\to c}$
• Si entonces . ^{[prueba 2] [5]} ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• Si cuando es par y cuando es impar, entonces . (El hecho de que siempre sea impar es irrelevante). ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Dado cualquier número real, se puede construir fácilmente una secuencia que converja a ese número tomando aproximaciones decimales. Por ejemplo, la secuencia converge a . La representación decimal es el límite de la secuencia anterior, definida por ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle 0.3333\dots }$
  $${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• Encontrar el límite de una secuencia no siempre es obvio. Dos ejemplos son (cuyo límite es el número e ) y la media aritmético-geométrica . El teorema de compresión suele ser útil para establecer dichos límites. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

Definición

Llamamos al límite de la secuencia , que se escribe ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ^[6] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia eventualmente están tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Si una secuencia converge hacia algún límite , entonces es convergente y es el único límite; de lo contrario es divergente . Una secuencia que tiene cero como límite a veces se denomina secuencia nula . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Ilustración

• 
  Ejemplo de secuencia que converge al límite . ${\displaystyle a}$
• 
  Independientemente de lo que tengamos, existe un índice , de modo que la secuencia queda después completamente en el tubo épsilon . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  También existe un índice más pequeño , para que la secuencia quede luego dentro del tubo épsilon . ${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  Para cada uno sólo hay un número finito de miembros de secuencia fuera del tubo épsilon. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Propiedades

Algunas otras propiedades importantes de los límites de secuencias reales incluyen las siguientes:

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único. ^[5]
• Los límites de secuencias se comportan bien con respecto a las operaciones aritméticas habituales . Si y existe, entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^[5]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$proporcionado ^[5] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• Para cualquier función continua , si existe, entonces también existe. De hecho, cualquier función de valor real es continua si y sólo si preserva los límites de las secuencias (aunque esto no es necesariamente cierto cuando se utilizan nociones más generales de continuidad). ${\textstyle f}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ ${\textstyle f}$

• Si para todos es mayor que para algunos , entonces . ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Teorema de compresión ) Si para todos es mayor que algunos , y , entonces . ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ( Teorema de convergencia monótona ) Si es acotado y monótono para todo mayor que algunos , entonces es convergente. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$
• Una secuencia es convergente si y sólo si todas las subsecuencias son convergentes.
• Si cada subsecuencia de una secuencia tiene su propia subsecuencia que converge al mismo punto, entonces la secuencia original converge a ese punto.

Estas propiedades se utilizan ampliamente para demostrar límites, sin la necesidad de utilizar directamente la engorrosa definición formal. Por ejemplo, una vez que se demuestra que , resulta fácil demostrar (usando las propiedades anteriores) que (suponiendo que ). ${\displaystyle 1/n\to 0}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$

Límites infinitos

Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrita ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son finalmente mayores que cualquier término fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}>K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, decimos que una secuencia tiende a menos infinito , escrita

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada número natural tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son finalmente más pequeños que cualquier término fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}<K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende al infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una secuencia divergente no tiene por qué tender a más o menos infinito, y la secuencia proporciona un ejemplo de ello. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

Espacios métricos

Definición

Un punto del espacio métrico es el límite de la secuencia si: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

Esto coincide con la definición dada para números reales cuando y . ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Propiedades

• Cuando existe, el límite de una secuencia es único, ya que los distintos puntos están separados por una distancia positiva, por lo que por menos de la mitad de esta distancia, los términos de la secuencia no pueden estar dentro de una distancia de ambos puntos. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

• Para cualquier función continua f , si existe, entonces . De hecho, una función f es continua si y sólo si conserva los límites de las sucesiones. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

secuencias de cauchy

La gráfica de una secuencia de Cauchy ( x _n ), que se muestra en azul, frente a n . Visualmente, vemos que la secuencia parece converger hasta un punto límite a medida que los términos de la secuencia se acercan a medida que n aumenta. En los números reales , toda secuencia de Cauchy converge hacia algún límite. ${\displaystyle x_{n}}$

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos finalmente se acercan arbitrariamente, después de que se hayan descartado suficientes términos iniciales. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones : una secuencia de números reales es convergente si y sólo si es una secuencia de Cauchy. Esto sigue siendo cierto en otros espacios métricos completos .

Espacios topológicos

Definición

Un punto del espacio topológico es un ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$límite opunto límite ^[7][8]de lasecuencia si: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

Para cada vecindario de , existe uno que para cada uno tenemos . ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x_{n}\in U}$

Esto coincide con la definición dada para espacios métricos, si es un espacio métrico y es la topología generada por . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$

Un límite de una secuencia de puntos en un espacio topológico es un caso especial de un límite de una función : el dominio está en el espacio , con la topología inducida del sistema de números reales afínmente extendido , el rango es , y el argumento de la función tiende a , que en este espacio es un punto límite de . ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Propiedades

En un espacio de Hausdorff , los límites de las secuencias son únicos siempre que existan. Este no tiene por qué ser el caso en espacios que no son de Hausdorff; en particular, si dos puntos y son topológicamente indistinguibles , entonces cualquier secuencia que converja debe converger y viceversa. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Números hiperreales

La definición del límite utilizando números hiperreales formaliza la intuición de que para un valor "muy grande" del índice, el término correspondiente está "muy cerca" del límite. Más precisamente, una secuencia real tiende a L si para cada infinito hipernatural , el término es infinitamente cercano a (es decir, la diferencia es infinitesimal ). De manera equivalente, L es la parte estándar de : ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\textstyle H}$ ${\displaystyle x_{H}}$ ${\textstyle L}$ ${\displaystyle x_{H}-L}$ ${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$.

Por tanto, el límite se puede definir mediante la fórmula

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$.

donde el límite existe si y sólo si el lado derecho es independiente de la elección de un infinito . ${\textstyle H}$

Secuencia de más de un índice.

A veces también se puede considerar una secuencia con más de un índice, por ejemplo, una secuencia doble . Esta secuencia tiene un límite si se acerca cada vez más al momento en que n y m se vuelven muy grandes. ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Ejemplo

• Si es constante , entonces . ${\displaystyle x_{n,m}=c}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• Si entonces . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• Si , entonces el límite no existe. Dependiendo de la "velocidad de crecimiento" relativa de y , esta secuencia puede acercarse a cualquier valor entre y . ${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle 1}$

Definición

Llamamos al doble límite de la sucesión , escrito ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

si se cumple la siguiente condición:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada par de números naturales , tenemos . ^[10] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

En otras palabras, para cada medida de cercanía , los términos de la secuencia eventualmente están tan cerca del límite. Se dice que la secuencia converge o tiende al límite . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle x}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

El doble límite es diferente de tomar el límite en n primero y luego en m . Este último se conoce como límite iterado . Dado que tanto el límite doble como el límite iterado existen, tienen el mismo valor. Sin embargo, es posible que uno de ellos exista pero el otro no.

Límites infinitos

Se dice que una secuencia tiende al infinito , escrita ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son finalmente mayores que cualquier término fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}>K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

De manera similar, una secuencia tiende a menos infinito , escrita ${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$, o

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

si se cumple lo siguiente:

Para cada número real , existe un número natural tal que para cada par de números naturales , tenemos ; es decir, los términos de la secuencia son finalmente más pequeños que cualquier término fijo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m\geq N}$ ${\displaystyle x_{n,m}<K}$ ${\displaystyle K}$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

Si una sucesión tiende al infinito o a menos infinito, entonces es divergente. Sin embargo, una secuencia divergente no tiene por qué tender a más o menos infinito, y la secuencia proporciona un ejemplo de ello. ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

Límites puntuales y límites uniformes.

Para una secuencia doble , podemos tomar un límite en uno de los índices, digamos, para obtener una secuencia única . De hecho, existen dos posibles significados al tomar este límite. El primero se llama límite puntual , denotado ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$, o

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

lo que significa:

Para cada número real y cada número natural fijo , existe un número natural tal que, para cada número natural , tenemos . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia converge puntualmente a . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

El segundo se llama límite uniforme , denotado

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$, o

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

lo que significa:

Para cada número real , existe un número natural tal que, para cada número natural y para cada número natural , tenemos . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

Simbólicamente, esto es:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

En esta definición, la elección de es independiente de . En otras palabras, la elección de es uniformemente aplicable a todos los números naturales . Por lo tanto, se puede ver fácilmente que la convergencia uniforme es una propiedad más fuerte que la convergencia puntual: la existencia de un límite uniforme implica la existencia e igualdad de un límite puntual: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$

Si es uniforme, entonces puntualmente. ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$ ${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

Cuando existe tal límite, decimos que la secuencia converge uniformemente a . ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle (y_{m})}$

límite iterado

Para una secuencia doble , podemos tomar el límite en uno de los índices, digamos, para obtener una secuencia única , y luego tomar el límite en el otro índice, es decir , para obtener un número . Simbólicamente, ${\displaystyle (x_{n,m})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (y_{m})}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

Este límite se conoce como límite iterado de la doble secuencia. El orden de toma de límites puede afectar el resultado, es decir,

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}}$en general.

Una condición suficiente de igualdad viene dada por el teorema de Moore-Osgood , que requiere que el límite sea uniforme en . ^[10] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$ ${\textstyle m}$

Ver también

• punto límite
• Límite posterior
• Límite superior y límite inferior
• Límite de una función
• Límite de una secuencia de funciones.
• Límite de una secuencia de conjuntos.
• Límite de una red
• Convergencia puntual
• Convergencia uniforme
• Modos de convergencia

Notas

1. Courant (1961), pág. 29.
2. Weisstein, Eric W. "Secuencia convergente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
3. Courant (1961), pág. 39.
4. Van Looy, H. (1984). Una cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
5. "Límites de las secuencias | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
6. Weisstein, Eric W. "Límite". mathworld.wolfram.com . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
7. Dugundji 1966, págs. 209-210.
8. Császár 1978, pag. 61.
9. Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones (1 ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 29.ISBN _ 978-0-387-94422-7.
10. Zakon, Elías (2011). "Capítulo 4. Límites y continuidad de las funciones". Análisis matemático, volumen I. pag. 223.ISBN _ 9781617386473.
11. Habil, Eissa (2005). «Dobles Secuencias y Dobles Series» . Consultado el 28 de octubre de 2022 .

Pruebas

1. Prueba : Elija . Para cada , ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-c|=0<\varepsilon }$
2. Prueba : elegir (la función suelo ). Para cada , . ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon }$

Referencias

• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Courant, Richard (1961). "Cálculo diferencial e integral Volumen I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley y James Harkness Un tratado sobre la teoría de funciones (Nueva York: Macmillan, 1893)

enlaces externos

• "Límite", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una historia del cálculo, incluidos los límites.