Límite de teoría de conjuntos

En matemáticas, noción de límite para sucesiones de conjuntos.

En matemáticas , el límite de una secuencia de conjuntos ( subconjuntos de un conjunto común ) es un conjunto cuyos elementos están determinados por la secuencia de una de dos maneras equivalentes: (1) por límites superior e inferior en la secuencia que convergen monótonamente al mismo conjunto (análogo a la convergencia de secuencias de valores reales ) y (2) por convergencia de una secuencia de funciones indicadoras que son en sí mismas de valores reales . Como es el caso con las secuencias de otros objetos, la convergencia no es necesaria ni siquiera habitual. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$

En términos más generales, nuevamente de manera análoga a las secuencias de valores reales, el límite ínfimo y el límite supremo menos restrictivos de una secuencia de conjuntos siempre existen y pueden usarse para determinar la convergencia: el límite existe si el límite ínfimo y el límite supremo son idénticos (véase más abajo). Dichos límites de conjuntos son esenciales en la teoría de la medida y la probabilidad .

Es un error común pensar que los límites ínfimo y supremo descritos aquí implican conjuntos de puntos de acumulación, es decir, conjuntos de dónde se encuentra cada uno en algún Esto solo es cierto si la convergencia está determinada por la métrica discreta (es decir, si existe tal que para todo ). Este artículo se limita a esa situación, ya que es la única relevante para la teoría de la medida y la probabilidad. Véanse los ejemplos a continuación. (Por otro lado, existen nociones topológicas más generales de convergencia de conjuntos que sí implican puntos de acumulación bajo diferentes métricas o topologías ). ${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k},}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle A_{n_{k}}.}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}=x}$ ${\displaystyle n\geq N}$

Definiciones

Las dos definiciones

Supongamos que es una secuencia de conjuntos. Las dos definiciones equivalentes son las siguientes. ${\displaystyle \left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$

• Utilizando la unión y la intersección : defina ^{[1] [2]} y Si estos dos conjuntos son iguales, entonces el límite teórico de conjuntos de la secuencia existe y es igual a ese conjunto común. Se puede utilizar cualquiera de los conjuntos descritos anteriormente para obtener el límite, y también puede haber otros medios para obtener el límite. $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}}$$ ${\displaystyle A_{n}}$
• Uso de funciones indicadoras : sea igual si y en caso contrario. Defina ^[1] y donde las expresiones dentro de los corchetes a la derecha son, respectivamente, el límite ínfimo y el límite supremo de la secuencia de valores reales. Nuevamente, si estos dos conjuntos son iguales, entonces el límite teórico de la secuencia existe y es igual a ese conjunto común, y cualquiera de los conjuntos como se describió anteriormente se puede usar para obtener el límite. ${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\in A_{n},}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x).}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Para ver la equivalencia de las definiciones, considere el límite ínfimo. El uso de la ley de De Morgan a continuación explica por qué esto es suficiente para el límite supremo. Dado que las funciones indicadoras solo toman valores y si y solo si toma valor solo un número finito de veces. Equivalentemente, si y solo si existe tal que el elemento está en para cada lo que es decir si y solo si solo para un número finito Por lo tanto, está en el si y solo si está en todos excepto un número finito Por esta razón, una frase abreviada para el límite ínfimo es " está en todos excepto un número finito de veces", que normalmente se expresa escribiendo " abfo". ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1}$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle x\in \bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle m\geq n,}$ ${\displaystyle x\not \in A_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{n}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

De manera similar, un elemento está en el límite supremo si, sin importar cuán grande sea, existe tal que el elemento esté en Es decir, está en el límite supremo si y solo si está en infinitos. Por esta razón, una frase abreviada para el límite supremo es " está en infinitas veces", típicamente expresada escribiendo " io". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle A_{m}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{n}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Para decirlo de otra manera, el límite ínfimo consiste en elementos que "finalmente permanecen para siempre" (están en cada conjunto después de algún ), mientras que el límite supremo consiste en elementos que "nunca se van para siempre" (están en algún conjunto después de cada ). O más formalmente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Secuencias monótonas

Se dice que la sucesión es no creciente si para cada y no decreciente si para cada En cada uno de estos casos existe el límite establecido. Consideremos, por ejemplo, una sucesión no creciente Entonces De estos se sigue que De manera similar, si es no decreciente entonces ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$ ${\displaystyle A_{n+1}\subseteq A_{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \left(A_{n}\right).}$ $${\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}{\text{ and }}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=A_{n}.}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{j\geq 1}A_{j}.}$$

El conjunto de Cantor se define de esta manera.

Propiedades

• Si el límite de como tiende a infinito, existe para todo entonces. En caso contrario, el límite para no existe. ${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\left\{x\in X:\lim _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1\right\}.}$$ ${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$
• Se puede demostrar que el límite ínfimo está contenido en el límite supremo: por ejemplo, simplemente observando que todo excepto finitamente a menudo implica infinitamente a menudo. $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n},}$$ ${\displaystyle x\in A_{n}}$ ${\displaystyle x\in A_{n}}$
• Utilizando la monotonía de y de ${\textstyle B_{n}=\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$ ${\textstyle C_{n}=\bigcup _{j\geq n}A_{j},}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}\quad {\text{ and }}\quad \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j}.}$$
• Utilizando la ley de De Morgan dos veces, con complemento de conjunto . Es decir, todo excepto finitamente a menudo es lo mismo que finitamente a menudo. ${\displaystyle A^{c}:=X\setminus A,}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\left(\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}^{c}\right)^{c}.}$$ ${\displaystyle x\in A_{n}}$ ${\displaystyle x\not \in A_{n}}$
• De la segunda definición anterior y las definiciones de límite ínfimo y límite supremo de una secuencia de valores reales, y $${\displaystyle \mathbb {1} _{\liminf _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\sup _{n\geq 1}\inf _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x)}$$ $${\displaystyle \mathbb {1} _{\limsup _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\inf _{n\geq 1}\sup _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x).}$$
• Supongamos que es una 𝜎-álgebra de subconjuntos de Es decir, no es vacía y está cerrada bajo complemento y bajo uniones e intersecciones de un número contable de conjuntos. Entonces, por la primera definición anterior, si cada uno entonces tanto como son elementos de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Ejemplos

• Dejalo entonces ${\displaystyle A_{n}=\left(-{\tfrac {1}{n}},1-{\tfrac {1}{n}}\right].}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left[0,1-{\tfrac {1}{n}}\right]=[0,1)}$$y así existe. $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{n}},1\right)=[0,1)}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=[0,1)}$

• Cambie el ejemplo anterior a Entonces ${\displaystyle A_{n}=\left({\tfrac {(-1)^{n}}{n}},1-{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}\right].}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left({\tfrac {1}{2n}},1-{\tfrac {1}{2n}}\right]=(0,1)}$$y por lo tanto no existe, a pesar de que los extremos izquierdo y derecho de los intervalos convergen a 0 y 1, respectivamente. $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{2n-1}},1+{\tfrac {1}{2n-1}}\right]=[0,1],}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

• Dejalo entonces ${\displaystyle A_{n}=\left\{0,{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {2}{n}},\ldots ,{\tfrac {n-1}{n}},1\right\}.}$

$${\displaystyle \bigcup _{j\geq n}A_{j}=\mathbb {Q} \cap [0,1]}$$es el conjunto de todos los números racionales entre 0 y 1 (inclusive), ya que incluso para y es un elemento de los anteriores. Por lo tanto, Por otra parte, lo que implica En este caso, la sucesión no tiene límite. Nótese que no es el conjunto de puntos de acumulación, que sería todo el intervalo (según la métrica euclidiana habitual ). ${\displaystyle j<n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq j,}$ ${\displaystyle {\tfrac {k}{j}}={\tfrac {nk}{nj}}}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\mathbb {Q} \cap [0,1].}$$ $${\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\{0,1\},}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\{0,1\}.}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Usos de probabilidad

Los límites de los conjuntos, en particular el límite ínfimo y el límite supremo, son esenciales para la teoría de la probabilidad y la medida . Dichos límites se utilizan para calcular (o demostrar) las probabilidades y medidas de otros conjuntos más útiles. Para lo siguiente, es un espacio de probabilidad , lo que significa que es una σ-álgebra de subconjuntos de y es una medida de probabilidad definida en esa σ-álgebra. Los conjuntos en la σ-álgebra se conocen como eventos . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Si es una secuencia monótona de eventos en entonces existe y ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ $${\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}$$

Lemas de Borel-Cantelli

En probabilidad, los dos lemas de Borel-Cantelli pueden ser útiles para mostrar que el límite superior de una secuencia de eventos tiene probabilidad igual a 1 o a 0. El enunciado del primer lema de Borel-Cantelli (original) es

Primer lema de Borel-Cantelli  :  Si entonces $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty }$$ $${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}$$

El segundo lema de Borel-Cantelli es una conversa parcial:

Segundo lema de Borel-Cantelli  :  Si son eventos independientes y entonces $${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty }$$ $${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}$$

Convergencia casi segura

Una de las aplicaciones más importantes de la probabilidad es demostrar la convergencia casi segura de una secuencia de variables aleatorias . El evento de que una secuencia de variables aleatorias converja a otra variable aleatoria se expresa formalmente como Sin embargo, sería un error escribir esto simplemente como un complemento de eventos. Es decir, ¡este no es el evento ! En cambio, el complemento del evento es Por lo tanto, ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle \left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}.}$ ${\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}&=\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|>{\frac {1}{k}}{\text{ for some }}k\right\}\\&=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\left\{\left|Y_{j}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\\&=\lim _{k\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\right).}$$

Véase también

• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos  : Rama de las matemáticas que estudia los conjuntos.

Referencias

1. Resnick, Sidney I. (1998). Un camino de probabilidad . Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-4055-X.
2. Gut, Allan (2013). Probabilidad: un curso de posgrado: un curso de posgrado. Springer Texts in Statistics. Vol. 75. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4614-4708-5. ISBN 978-1-4614-4707-8.