Estructura gruesa

En los campos matemáticos de la geometría y la topología , una estructura gruesa sobre un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de los espacios métricos y los espacios topológicos .

La preocupación de la geometría y la topología tradicionales es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos , o vecindarios , son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio (como la acotación o los grados de libertad del espacio) no dependen de tales características. La geometría y la topología burdas proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio y, al igual que una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura burda contiene información sobre sus propiedades a gran escala.

Propiamente, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme .

Definición

ALa estructura gruesa de unconjunto es una coleccióndesubconjuntosde(por lo tanto, cae dentro de la categorización más general derelaciones binariasen) llamados ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$conjunto controlado s, y por lo tanto queposee larelación identidad, es cerrado bajo la toma de subconjuntos, inversos y uniones finitas, y es cerrado bajola composición de relaciones. Explícitamente: ${\displaystyle \mathbf {E} }$

1. Identidad/diagonal :

   La diagonal es un miembro de la relación de identidad. ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

2. Subconjuntos cerrados :

   Si y entonces ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle F\subseteq E,}$ ${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. Cerrado bajo toma inversa :

   Si entonces la inversa (o transpuesta ) es un miembro de —la relación inversa. ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

4. Sindicatos de empresas cerradas :

   Si entonces su sindicato es miembro de ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\cup F}$ ${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. Cerrado bajo composición :

   Si entonces su producto es un miembro de —la composición de relaciones . ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ there exists }}z\in X{\text{ such that }}(x,z)\in E{\text{ and }}(z,y)\in F\}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Un conjunto dotado de una estructura gruesa es un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$espacio grueso

Para un subconjunto del conjunto se define como Definimos el ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ for some }}k\in K\}.}$sección deporser el conjuntotambién se denotaEl símbolodenota el conjuntoEstas son formas deproyecciones. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E[\{x\}],}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle E^{y}}$ ${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$

Se dice que un subconjunto de es un ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$conjunto acotado sies un conjunto controlado. ${\displaystyle B\times B}$

Intuición

Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños", o " conjuntos despreciables ": un conjunto tal que está controlado es despreciable, mientras que una función tal que su gráfico está controlado está "cerca" de la identidad. En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en la métrica uniforme . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle f:X\to X}$

Mapas gruesos

Dado un conjunto y una estructura gruesa decimos que los mapas y son ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle g:S\to X}$cerrar sies un conjunto controlado. ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$

Para estructuras gruesas y decimos que es una ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa grueso si para cada conjunto acotadodelconjuntoestá acotado eny para cada conjunto controladodelconjuntoestá controlado en^[1]yse dice que son ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)(E)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$aproximadamente equivalente si existen mapas aproximadosytales queestán cerca deyestán cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

Ejemplos

• ElLa estructura gruesa acotada en unespacio métrico es la colecciónde todoslos subconjuntosdetales queesfinito. Con esta estructura, lared enteraes aproximadamente equivalente alespacio euclidianode dimensión. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Un espacio donde se controla algo se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$espacio acotado . Un espacio de este tipo es aproximadamente equivalente a un punto. Un espacio métrico con la estructura acotada aproximada es acotado (como espacio aproximado) si y solo si es acotado (como espacio métrico).
• La estructura básica trivial consta únicamente de la diagonal y sus subconjuntos. En esta estructura, una función es una equivalencia básica si y sólo si es una biyección (de conjuntos).
• El ${\displaystyle C_{0}}$La estructura gruesa en un espacio métricoes la colección de todos los subconjuntosdetales que para todosexiste unconjuntocompactodetal quepara todosAlternativamente, la colección de todos los subconjuntosdetal quees compacto. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ ${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$
• ElLa estructura gruesa discreta de un conjuntoconsta de ladiagonaljunto con subconjuntosquecontienen solo un número finito de puntosfuera de la diagonal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (x,y)}$
• Si es un espacio topológico entonces el ${\displaystyle X}$estructura gruesa indiscreta enconsiste en todospropiosdesignificado todos los subconjuntostales queysonrelativamente compactossiempre quees relativamente compacto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E[K]}$ ${\displaystyle E^{-1}[K]}$ ${\displaystyle K}$

Véase también

• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Cuasi-isometría  – Función entre dos espacios métricos que solo respeta su geometría a gran escala
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes

Referencias

1. Hoffland, Christian Stuart. Estructuras de cursos y compactificación de Higson . OCLC  76953246.

• John Roe, Lectures in Coarse Geometry , Serie de conferencias universitarias, vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Correcciones a Lectures in Coarse Geometry
• Roe, John (junio-julio de 2006). "¿Qué es... un espacio grueso?" ( PDF ) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (6): 669. Consultado el 16 de enero de 2008 .