Espacio compacto

Según el criterio de compacidad para el espacio euclidiano establecido en el teorema de Heine-Borel , el intervalo $A = (-\infty, -2]$ no es compacto porque no está acotado. El intervalo $C = (2, 4)$ no es compacto porque no es cerrado (sino acotado). El intervalo $B = [0, 1]$ es compacto porque es a la vez cerrado y acotado.

En matemáticas , específicamente en topología general , la compacidad es una propiedad que busca generalizar la noción de un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclidiano . ^[1] La idea es que un espacio compacto no tenga "pinchazos" ni "puntos finales faltantes", es decir, incluya todos los valores límite de puntos. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no sería compacto porque excluye los valores límite de 0 y 1, mientras que el intervalo cerrado [0,1] sería compacto. De manera similar, el espacio de los números racionales no es compacto, porque tiene infinitos "pinchazos" correspondientes a los números irracionales , y el espacio de los números reales tampoco es compacto, porque excluye los dos valores límite y . Sin embargo, la recta de números reales extendida sería compacta, ya que contiene ambos infinitos. Hay muchas maneras de precisar esta noción heurística. Estas formas suelen coincidir en un espacio métrico , pero pueden no ser equivalentes en otros espacios topológicos . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$

Una de esas generalizaciones es que un espacio topológico es secuencialmente compacto si cada secuencia infinita de puntos muestreados del espacio tiene una subsecuencia infinita que converge a algún punto del espacio. ^[2] El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto en este sentido secuencial si y sólo si es cerrado y acotado. Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario cerrado $[0, 1]$ , algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio. Por ejemplo, algunos de los números en la secuencia 1/2,4/5,1/3,5/6,1/4,6/7, ... se acumulan hasta 0 (mientras que otros se acumulan hasta 1). Dado que ni 0 ni 1 son miembros del intervalo unitario abierto $(0, 1)$ , esos mismos conjuntos de puntos no se acumularían en ningún punto del mismo, por lo que el intervalo unitario abierto no es compacto. Aunque los subconjuntos (subespacios) del espacio euclidiano pueden ser compactos, todo el espacio en sí no es compacto, ya que no está acotado. Por ejemplo, considerando (la recta de números reales), la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... no tiene ninguna subsecuencia que converja a ningún número real. $\mathbb {R} ^{1}$

La compacidad fue introducida formalmente por Maurice Fréchet en 1906 para generalizar el teorema de Bolzano-Weierstrass desde espacios de puntos geométricos a espacios de funciones . El teorema de Arzelà-Ascoli y el teorema de existencia de Peano ejemplifican aplicaciones de esta noción de compacidad al análisis clásico. Tras su introducción inicial, se desarrollaron en espacios métricos generales varias nociones equivalentes de compacidad, incluida la compacidad secuencial y la compacidad de punto límite . ^[3] Sin embargo, en espacios topológicos generales, estas nociones de compacidad no son necesariamente equivalentes. La noción más útil -y la definición estándar del término incondicional compacidad- se expresa en términos de la existencia de familias finitas de conjuntos abiertos que " cubren " el espacio en el sentido de que cada punto del espacio se encuentra en algún conjunto contenido en el familia. Esta noción más sutil, introducida por Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn en 1929, exhibe espacios compactos como generalizaciones de conjuntos finitos . En espacios que son compactos en este sentido, a menudo es posible unir información que se cumple localmente (es decir, en una vecindad de cada punto) en enunciados correspondientes que se cumplen en todo el espacio, y muchos teoremas son de este carácter.

El término conjunto compacto se utiliza a veces como sinónimo de espacio compacto, pero también suele referirse a un subespacio compacto de un espacio topológico .

Desarrollo historico

En el siglo XIX se entendieron varias propiedades matemáticas dispares que luego se considerarían consecuencias de la compacidad. Por un lado, Bernard Bolzano (1817) era consciente de que cualquier secuencia acotada de puntos (en la recta o en el plano, por ejemplo) tiene una subsecuencia que eventualmente debe acercarse arbitrariamente a algún otro punto, llamado punto límite . La prueba de Bolzano se basó en el método de bisección : la secuencia se colocó en un intervalo que luego se dividió en dos partes iguales, y se seleccionó una parte que contenía infinitos términos de la secuencia. Luego, el proceso podría repetirse dividiendo el intervalo más pequeño resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cierre en el punto límite deseado. El significado completo del teorema de Bolzano y su método de demostración no emergería hasta casi 50 años después, cuando fue redescubierto por Karl Weierstrass . ^[4]

En la década de 1880, quedó claro que se podían formular resultados similares al teorema de Bolzano-Weierstrass para espacios de funciones en lugar de solo números o puntos geométricos. La idea de considerar las funciones como puntos en sí mismos de un espacio generalizado se remonta a las investigaciones de Giulio Ascoli y Cesare Arzelà . ^[5] La culminación de sus investigaciones, el teorema de Arzelà-Ascoli , fue una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass a familias de funciones continuas , cuya conclusión precisa fue que era posible extraer una secuencia de funciones uniformemente convergente a partir de una familia de funciones adecuada. El límite uniforme de esta secuencia jugó entonces exactamente el mismo papel que el "punto límite" de Bolzano. Hacia principios del siglo XX comenzaron a acumularse resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el área de las ecuaciones integrales , como investigaron David Hilbert y Erhard Schmidt . Para cierta clase de funciones de Green provenientes de soluciones de ecuaciones integrales, Schmidt había demostrado que una propiedad análoga al teorema de Arzelà-Ascoli se mantenía en el sentido de convergencia media , o convergencia en lo que más tarde se denominaría espacio de Hilbert . Esto llevó finalmente a la idea de un operador compacto como una derivación de la noción general de espacio compacto. Fue Maurice Fréchet quien, en 1906, destiló la esencia de la propiedad de Bolzano-Weierstrass y acuñó el término compacidad para referirse a este fenómeno general (ya utilizó el término en su artículo de 1904 ^[6] que condujo a la famosa tesis de 1906 ).

Sin embargo, a finales del siglo XIX también había surgido lentamente una noción completamente diferente de compacidad a partir del estudio del continuo , que se consideraba fundamental para la formulación rigurosa del análisis. En 1870, Eduard Heine demostró que una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado era, de hecho, uniformemente continua . En el transcurso de la demostración utilizó un lema según el cual, a partir de cualquier cobertura contable del intervalo por intervalos abiertos más pequeños, era posible seleccionar un número finito de éstos que también lo cubrían. La importancia de este lema fue reconocida por Émile Borel (1895), y Pierre Cousin (1895) y Henri Lebesgue (1904) lo generalizaron a colecciones arbitrarias de intervalos . El teorema de Heine-Borel , como se conoce ahora el resultado, es otra propiedad especial que poseen los conjuntos cerrados y acotados de números reales.

Esta propiedad era importante porque permitía el paso de información local sobre un conjunto (como la continuidad de una función) a información global sobre el conjunto (como la continuidad uniforme de una función). Este sentimiento fue expresado por Lebesgue (1904), quien también lo explotó en el desarrollo de la integral que ahora lleva su nombre . En última instancia, la escuela rusa de topología de conjuntos de puntos , bajo la dirección de Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn , formuló la compacidad de Heine-Borel de una manera que podría aplicarse a la noción moderna de espacio topológico . Alexandrov y Urysohn (1929) demostraron que la versión anterior de compacidad debida a Fréchet, ahora llamada compacidad secuencial (relativa) , en condiciones apropiadas se derivaba de la versión de compacidad que se formuló en términos de la existencia de subcoberturas finitas. Fue esta noción de compacidad la que se convirtió en la dominante, porque no sólo era una propiedad más fuerte, sino que podía formularse en un entorno más general con un mínimo de maquinaria técnica adicional, ya que dependía únicamente de la estructura de los conjuntos abiertos. en un espacio.

Ejemplos básicos

Cualquier espacio finito es compacto; Se puede obtener una subcobertura finita seleccionando, para cada punto, un conjunto abierto que lo contenga. Un ejemplo no trivial de un espacio compacto es el intervalo unitario (cerrado) $[0,1]$ de números reales . Si se elige un número infinito de puntos distintos en el intervalo unitario, entonces debe haber algún punto de acumulación entre estos puntos en ese intervalo. Por ejemplo, los términos impares de la secuencia 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... se acercan arbitrariamente a 0, mientras que los números pares se acercan arbitrariamente a 1. La secuencia de ejemplo dada muestra la importancia de incluir los puntos límite del intervalo, ya que los puntos límite deben estar en el espacio mismo: un El intervalo abierto (o medio abierto) de los números reales no es compacto. También es crucial que el intervalo esté acotado , ya que en el intervalo $[0,\infty)$ , se podría elegir la secuencia de puntos 0, 1, 2, 3, ... , de los cuales ninguna subsecuencia finalmente se acerca arbitrariamente a cualquier número real dado.

En dos dimensiones, los discos cerrados son compactos ya que para cualquier número infinito de puntos muestreados de un disco, algún subconjunto de esos puntos debe acercarse arbitrariamente a un punto dentro del disco o a un punto en el límite. Sin embargo, un disco abierto no es compacto, porque una secuencia de puntos puede tender al límite, sin acercarse arbitrariamente a ningún punto del interior. Del mismo modo, las esferas son compactas, pero a una esfera a la que le falta un punto no lo es, ya que una secuencia de puntos aún puede tender al punto que falta, por lo que no se acerca arbitrariamente a ningún punto dentro del espacio. Las líneas y los planos no son compactos, ya que se puede tomar un conjunto de puntos equidistantes en cualquier dirección sin aproximarse a ningún punto.

Definiciones

Pueden aplicarse varias definiciones de compacidad, dependiendo del nivel de generalidad. Un subconjunto del espacio euclidiano en particular se llama compacto si es cerrado y acotado . Esto implica, según el teorema de Bolzano-Weierstrass , que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge a un punto del conjunto. En espacios métricos generales se pueden desarrollar varias nociones equivalentes de compacidad, como compacidad secuencial y compacidad de punto límite . ^[3]

Por el contrario, las diferentes nociones de compacidad no son equivalentes en espacios topológicos generales , y la noción más útil de compacidad, originalmente llamada bicompacidad , se define utilizando cubiertas que consisten en conjuntos abiertos (consulte la definición de cubierta abierta a continuación). Que esta forma de compacidad sea válida para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclidiano se conoce como teorema de Heine-Borel . La compacidad, cuando se define de esta manera, a menudo permite tomar información que se conoce localmente (en una vecindad de cada punto del espacio) y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, al que Heine lo aplicó originalmente, de que una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua ; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función y la continuidad uniforme es la propiedad global correspondiente.

Definición de portada abierta

Formalmente, un espacio topológico $X$ se llama compacto si toda cubierta abierta de $X$ tiene una subcubierta finita . ^[7] Es decir, $X$ es compacto si para cada colección $C$ de subconjuntos abiertos ^[8] de $X$ tal que

X=\bigcup _{S\in C}S\ ,

hay una subcolección finita $F$ ⊆ $C$ tal que

X=\bigcup _{S\in F}S\ .

Algunas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , típicamente influenciadas por la escuela francesa de Bourbaki , utilizan el término cuasicompacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasicompactos . Un conjunto compacto a veces se denomina compactum , plural compacta .

Compacidad de subconjuntos

Se dice que un subconjunto $K$ de un espacio topológico $X$ es compacto si es compacto como subespacio (en la topología del subespacio ). Es decir, $K$ es compacto si para cada colección arbitraria $C$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que

K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,

hay una subcolección finita $F$ ⊆ $C$ tal que

K\subseteq \bigcup _ {S\in F}S\ .

La compacidad es una propiedad topológica. Es decir, si , con el subconjunto $Z$ equipado con la topología subespacial, entonces $K$ es compacto en $Z$ si y sólo si $K$ es compacto en $Y.$ $K\subconjunto Z\subconjunto Y$

Caracterización

Si $X$ es un espacio topológico entonces lo siguiente es equivalente:

$X$ es compacto; es decir, toda cubierta abierta de $X$ tiene una subcubierta finita .
$X$ tiene una subbase tal que cada cobertura del espacio, por miembros de la subbase, tiene una subbase finita ( teorema de la subbase de Alexander ).
$X$ es Lindelöf y numerablemente compacto . ^[9]
Cualquier colección de subconjuntos cerrados de $X$ con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía.
Cada red en $X$ tiene una subred convergente (consulte el artículo sobre redes para obtener una prueba).
Cada filtro en $X$ tiene un refinamiento convergente.
Cada red en $X$ tiene un punto de agrupación.
Cada filtro en $X$ tiene un punto de agrupación.
Todo ultrafiltro en $X$ converge al menos en un punto.
Todo subconjunto infinito de $X$ tiene un punto de acumulación completo . ^[10]
Para cada espacio topológico $Y$ , la proyección es un mapeo cerrado ^[11] (ver mapa adecuado ). $X\times Y\to Y$

Bourbaki define un espacio compacto (espacio cuasi compacto) como un espacio topológico donde cada filtro tiene un punto de agrupación (es decir, 8. en lo anterior). ^[12]

espacio euclidiano

Para cualquier subconjunto $A$ del espacio euclidiano , $A$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado ; este es el teorema de Heine-Borel .

Como un espacio euclidiano es un espacio métrico, las condiciones de la siguiente subsección también se aplican a todos sus subconjuntos. De todas las condiciones equivalentes, en la práctica es más fácil verificar que un subconjunto es cerrado y acotado, por ejemplo, para un intervalo cerrado o $un n$ -ball cerrado.

Espacios métricos

Para cualquier espacio métrico $(X, d)$ , lo siguiente es equivalente (suponiendo una elección contable ):

$(X, d)$ es compacto.
$(X, d)$ es completo y totalmente acotado (esto también equivale a compacidad para espacios uniformes ). ^[13]
$(X, d)$ es secuencialmente compacto; es decir, cada secuencia en $X$ tiene una subsecuencia convergente cuyo límite está en $X$ (esto también es equivalente a compacidad para primeros espacios uniformes contables ).
$(X, d)$ es compacto de punto límite (también llamado compacto débilmente contable); es decir, todo subconjunto infinito de $X$ tiene al menos un punto límite en $X.$
$(X, d)$ es contablemente compacto ; es decir, cada cubierta abierta contable de $X$ tiene una subcubierta finita.
$(X, d)$ es una imagen de una función continua del conjunto de Cantor . ^[14]
Cada secuencia anidada decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos $S 1 \supseteq S 2 \supseteq ...$ en $(X, d)$ tiene una intersección no vacía.
Cada secuencia anidada creciente de subconjuntos abiertos adecuados $S 1 \subseteq S 2 \subseteq ...$ en $(X, d)$ no cubre $X$ .

Un espacio métrico compacto $(X, d)$ también satisface las siguientes propiedades:

Lema numérico de Lebesgue : Para cada cubierta abierta de $X$ , existe un número δ > 0 tal que cada subconjunto de $X$ de diámetro < $δ$ está contenido en algún miembro de la cubierta.
$(X, d)$ es segundo contable , separable y Lindelöf ; estas tres condiciones son equivalentes para espacios métricos. Lo contrario no es cierto; por ejemplo, un espacio discreto contable satisface estas tres condiciones, pero no es compacto.
$X$ es cerrado y acotado (como un subconjunto de cualquier espacio métrico cuya métrica restringida sea $d$ ). Lo contrario puede fallar en un espacio no euclidiano; por ejemplo, la línea real equipada con la métrica discreta es cerrada y acotada pero no compacta, ya que la colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que no admite subcubierta finita. Está completo pero no totalmente delimitado.

Espacios ordenados

Para un espacio ordenado $(X, <)$ (es decir, un conjunto totalmente ordenado equipado con la topología de orden), lo siguiente es equivalente:

$(X, <)$ es compacto.
Cada subconjunto de $X$ tiene un supremo (es decir, un límite superior mínimo) en $X$ .
Cada subconjunto de $X$ tiene un mínimo (es decir , un límite inferior máximo) en $X.$
Todo subconjunto cerrado no vacío de $X$ tiene un elemento máximo y mínimo.

Un espacio ordenado que satisface (cualquiera de) estas condiciones se llama red completa.

Además, lo siguiente es equivalente para todos los espacios ordenados $(X, <)$ y (asumiendo una elección contable ) son verdaderos siempre que $(X, <)$ sea compacto. (Lo contrario en general falla si $(X, <)$ no es también metrizable):

Cada secuencia en $(X, <)$ tiene una subsecuencia que converge en $(X, <)$ .
Cada secuencia creciente monótona en X $converge$ a un límite único en $X.$
Cada secuencia decreciente monótona en $X$ converge a un límite único en $X.$
Cada secuencia anidada decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos $S$ ₁ ⊇ $S$ ₂ ⊇ ... en $(X, <)$ tiene una intersección no vacía.
Cada secuencia anidada creciente de subconjuntos abiertos adecuados $S$ ₁ ⊆ $S$ ₂ ⊆ ... en $(X, <)$ no cubre $X$ .

Caracterización por funciones continuas.

Sea $X$ un espacio topológico y $C(X)$ el anillo de funciones reales continuas en $X$ . Para cada $p \in X$ , el mapa de evaluación dado por $ev$ $p$ $($ $f$ $) =$ $f$ $($ $p$ $)$ es un homomorfismo de anillo. El núcleo de $ev$ $p$ es un ideal máximo , ya que el campo residual $C($ $X$ $)/ker ev$ $p$ es el campo de los números reales, según el primer teorema de isomorfismo . Un espacio topológico $X$ es pseudocompacto si y sólo si todo ideal máximo en $C($ $X$ $)$ tiene residuos en el campo de los números reales. Para espacios completamente regulares , esto equivale a que cada ideal máximo sea el núcleo de un homomorfismo de evaluación. ^[15] Sin embargo, hay espacios pseudocompactos que no lo son. $\operatorname {ev} _ {p}\colon C(X)\to \mathbb {R}$

En general, para espacios no pseudocompactos siempre hay ideales máximos $m$ en $C(X)$ tales que el campo residual $C(X)/ m$ es un campo hiperreal ( no arquimediano ) . El marco de análisis no estándar permite la siguiente caracterización alternativa de compacidad: ^[16] un espacio topológico $X$ es compacto si y sólo si cada punto $x$ de la extensión natural $*X$ está infinitamente cerca de un punto $x$ $0$ de $X$ (más precisamente, $x$ está contenido en la mónada de $x$ $0$ ).

Definición hiperreal

Un espacio $X$ es compacto si su extensión hiperreal $*X$ (construida, por ejemplo, mediante la construcción ultrapotencia ) tiene la propiedad de que todo punto de $*X$ está infinitamente cerca de algún punto de $X \subset *X$ . Por ejemplo, un intervalo real abierto $X = (0, 1)$ no es compacto porque su extensión hiperreal $*(0,1)$ contiene infinitesimales, que están infinitamente cerca de 0, que no es un punto de $X.$

Condiciones suficientes

Un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. ^[17]
Una unión finita de conjuntos compactos es compacta.
Una imagen continua de un espacio compacto es compacta. ^[18]
La intersección de cualquier colección no vacía de subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff es compacta (y cerrada);
- Si $X$ no es Hausdorff, entonces la intersección de dos subconjuntos compactos puede no ser compacta (ver nota al pie, por ejemplo). ^[a]
El producto de cualquier colección de espacios compactos es compacto. (Éste es el teorema de Tychonoff , que equivale al axioma de elección ).
En un espacio metrizable , un subconjunto es compacto si y sólo si es secuencialmente compacto (asumiendo elección contable )
Un conjunto finito dotado de cualquier topología es compacto.

Propiedades de los espacios compactos.

Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff X es cerrado.
- Si $X$ no es Hausdorff, entonces un subconjunto compacto de $X$ puede no ser un subconjunto cerrado de $X$ (ver nota al pie, por ejemplo). ^[b]
- Si $X$ no es Hausdorff, entonces el cierre de un conjunto compacto puede no ser compacto (ver nota al pie, por ejemplo). ^[C]
En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), un subconjunto compacto está completo . Sin embargo, cada TVS que no es de Hausdorff contiene subconjuntos compactos (y por tanto completos) que no están cerrados.
Si $A$ y $B$ son subconjuntos compactos disjuntos de un espacio de Hausdorff $X$ , entonces existen conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ en $X$ tales que $A \subseteq U$ y $B \subseteq V.$
Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
Un espacio compacto de Hausdorff es normal y regular .
Si un espacio $X$ es compacto y Hausdorff, entonces ninguna topología más fina en $X$ es compacta y ninguna topología más burda en $X$ es Hausdorff.
Si un subconjunto de un espacio métrico $(X, d)$ es compacto, entonces está acotado por $d$ .

Funciones y espacios compactos

Dado que una imagen continua de un espacio compacto es compacta, el teorema del valor extremo se cumple para tales espacios: una función continua de valor real en un espacio compacto no vacío está acotada por arriba y alcanza su supremo. ^[19] (De manera un poco más general, esto es cierto para una función semicontinua superior). Como una especie de recíproco de las afirmaciones anteriores, la preimagen de un espacio compacto bajo un mapa adecuado es compacto.

Compactificaciones

Cada espacio topológico $X$ es un subespacio denso abierto de un espacio compacto que tiene como máximo un punto más que $X$ , mediante la compactación de un punto de Alexandroff . Por la misma construcción, cada espacio $X de Hausdorff$ localmente compacto es un subespacio denso abierto de un espacio compacto de Hausdorff que tiene como máximo un punto más que $X.$

Espacios compactos ordenados

Un subconjunto compacto no vacío de números reales tiene un elemento mayor y un elemento mínimo.

Sea $X$ un conjunto simplemente ordenado dotado de la topología de orden . Entonces $X$ es compacto si y sólo si $X$ es una red completa (es decir, todos los subconjuntos tienen suprema e ínfima). ^[20]

Ejemplos

Cualquier espacio topológico finito , incluido el conjunto vacío , es compacto. De manera más general, cualquier espacio con una topología finita (sólo un número finito de conjuntos abiertos) es compacto; esto incluye en particular la topología trivial .
Cualquier espacio que lleve la topología cofinita es compacto.
Cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto se puede convertir en un espacio compacto agregándole un solo punto, mediante la compactación de un punto de Alexandroff . La compactación en un punto de es homeomorfa al círculo $S$ $1$ ; la compactación en un punto de es homeomorfa a la esfera $S$ $2$ . Usando la compactación de un punto, también se pueden construir fácilmente espacios compactos que no sean de Hausdorff, comenzando con un espacio que no sea de Hausdorff. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$
La topología de orden derecho o la topología de orden izquierdo en cualquier conjunto acotado y totalmente ordenado es compacta. En particular, el espacio de Sierpiński es compacto.
Ningún espacio discreto con un número infinito de puntos es compacto. La colección de todos los singletons del espacio es una cubierta abierta que no admite subcubierta finita. Los espacios discretos finitos son compactos.
Al llevar la topología de límite inferior , ningún conjunto incontable es compacto. $\mathbb {R}$
En la topología contable en un conjunto incontable, ningún conjunto infinito es compacto. Como en el ejemplo anterior, el espacio en su conjunto no es localmente compacto pero sigue siendo Lindelöf .
El intervalo unitario cerrado $[0, 1]$ es compacto. Esto se desprende del teorema de Heine-Borel . El intervalo abierto $(0, 1)$ no es compacto: la cobertura abierta para $n$ $= 3, 4, ...$ no tiene una subcobertura finita. De manera similar, el conjunto de números racionales en el intervalo cerrado $[0,1]$ no es compacto: los conjuntos de números racionales en los intervalos cubren todos los racionales en [0, 1] para $n$ $= 4, 5, ...$ pero esto la cubierta no tiene una subcubierta finita. Aquí, los conjuntos están abiertos en la topología subespacial aunque no lo estén como subconjuntos de . ${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ y }}\left[{\frac {1}{ \pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$ $\mathbb {R}$
El conjunto de todos los números reales no es compacto ya que existe una cobertura de intervalos abiertos que no tiene una subcubierta finita. Por ejemplo, los intervalos $($ $n$ $- 1,$ $n$ $+ 1)$ , donde $n$ toma todos los valores enteros en $Z$ , cubren pero no hay una subcobertura finita. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Por otro lado, la recta de números reales extendida que lleva la topología análoga es compacta; tenga en cuenta que la cobertura descrita anteriormente nunca alcanzaría los puntos en el infinito y, por lo tanto, no cubriría la línea real extendida. De hecho, el conjunto tiene el homeomorfismo con [−1, 1] de asignar cada infinito a su unidad correspondiente y cada número real a su signo multiplicado por el número único en la parte positiva del intervalo que da como resultado su valor absoluto cuando se divide por uno menos sí mismo, y dado que los homeomorfismos preservan las cubiertas, se puede inferir la propiedad de Heine-Borel.
Para cada número natural $n$ , la $n$ -esfera es compacta. Nuevamente según el teorema de Heine-Borel, la bola unitaria cerrada de cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita es compacta. Esto no es cierto para dimensiones infinitas; de hecho, un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si su bola unitaria cerrada es compacta.
Por otro lado, la bola unitaria cerrada del dual de un espacio normado es compacta para la topología débil-*. ( Teorema de Alaoglu )
El conjunto Cantor es compacto. De hecho, todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor.
Considere el conjunto $K$ de todas las funciones $\mathbb {R}$ desde la recta numérica real hasta el intervalo unitario cerrado, y defina una topología en $K$ de modo que una secuencia en $K$ converja hacia $f$ $\in$ $K$ si y sólo si converge hacia $f$ $($ $x$ $)$ para todos los números reales $x$ . Sólo existe una topología de este tipo; se llama topología de convergencia puntual o topología de producto . Entonces $K$ es un espacio topológico compacto; esto se desprende del teorema de Tychonoff . $\{f_{n}\}$ $\{f_{n}(x)\}$
Un subconjunto del espacio de Banach de funciones continuas de valores reales en un espacio compacto de Hausdorff es relativamente compacto si y sólo si es equicontinuo y acotado puntualmente ( teorema de Arzelà-Ascoli ).
Considere el conjunto $K$ de todas las funciones $f : [0, 1] \to [0, 1]$ que satisfacen la condición de Lipschitz $| f (x) - f (y) | \leq | x - y |$ para todo $x, y \in [0,1]$ . Considere en $K$ la métrica inducida por la distancia uniforme. Luego, según el teorema de Arzelà-Ascoli, el espacio $K$ es compacto. $d(f,g)=\sup _ {x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$
El espectro de cualquier operador lineal acotado en un espacio de Banach es un subconjunto compacto no vacío de los números complejos . Por el contrario, cualquier subconjunto compacto de surge de esta manera, como el espectro de algún operador lineal acotado. Por ejemplo, un operador diagonal en el espacio de Hilbert puede tener cualquier subconjunto compacto no vacío de un espectro. $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle\ell^{2}}$ $\mathbb {C}$
El espacio de medidas de probabilidad de Borel en un espacio compacto de Hausdorff es compacto para la topología vaga , según el teorema de Alaoglu.
Una colección de medidas de probabilidad en los conjuntos de Borel del espacio euclidiano se denomina estrecha si, para cualquier épsilon positivo, existe un subconjunto compacto que contiene toda la masa de cada una de las medidas, excepto como máximo épsilon. El teorema de Helly afirma entonces que un conjunto de medidas de probabilidad es relativamente compacto para la topología vaga si y sólo si es ajustado.

Ejemplos algebraicos

Los grupos topológicos , como un grupo ortogonal, son compactos, mientras que los grupos como un grupo lineal general no lo son.
Dado que los enteros p -ádicos son homeomórficos con respecto al conjunto de Cantor, forman un conjunto compacto.
Cualquier campo global K es un subgrupo aditivo discreto de su anillo de Adele y el espacio cociente es compacto. Esto se utilizó en la tesis de John Tate para permitir el uso del análisis armónico en la teoría de números .
El espectro de cualquier anillo conmutativo con topología de Zariski (es decir, el conjunto de todos los ideales primos) es compacto, pero nunca Hausdorff (excepto en casos triviales). En geometría algebraica, tales espacios topológicos son ejemplos de esquemas cuasicompactos , "cuasi" se refiere a la naturaleza no Hausdorff de la topología.
El espectro de un álgebra de Boole es compacto, hecho que forma parte del teorema de representación de Stone . Los espacios de piedra , espacios compactos de Hausdorff totalmente desconectados , forman el marco abstracto en el que se estudian estos espectros. Estos espacios también son útiles en el estudio de grupos lucrativos .
El espacio estructural de un álgebra de Banach unital conmutativa es un espacio compacto de Hausdorff.
El cubo de Hilbert es compacto, nuevamente una consecuencia del teorema de Tychonoff.
Un grupo profinito (por ejemplo, el grupo Galois ) es compacto.

Ver también

Notas

^ Sea $\mathbb {N}$ , $\mathbb {N}$ y $\mathbb {N}$ . Dote a $X$ de la topología generada por los siguientes conjuntos abiertos básicos: cada subconjunto de es abierto; los únicos conjuntos abiertos que contienen $a$ son $X$ y $U$ ; y los únicos conjuntos abiertos que contienen $b$ son $X$ y $V.$ Entonces $U$ y $V$ son ambos subconjuntos compactos pero su intersección, que es , no es compacta. Tenga en cuenta que tanto $U$ como $V$ son subconjuntos abiertos compactos, ninguno de los cuales está cerrado. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$
^ Sea $X = {a, b}$ y dote $a X$ de la topología ${X, \emptyset, {a}}$ . Entonces ${a}$ es un conjunto compacto pero no cerrado.
^ Sea $X$ el conjunto de números enteros no negativos. Dotamos $a X$ de la topología puntual particular definiendo un subconjunto $U \subseteq X$ abierto si y sólo si $0 \in U$ . Entonces $S := {0}$ es compacto, la clausura de $S$ es toda $X$ , pero $X$ no es compacta ya que la colección de subconjuntos abiertos ${{0, x} : x \in X}$ no tiene una subcubierta finita.

Referencias

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^ Kline 1990, págs. 952–953; Boyer y Merzbach 1991, pág. 561
^ Kline 1990, Capítulo 46, §2
^ Frechet, M. 1904. "Generalización de un teorema de Weierstrass" . Analizar Matemáticas .
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^ Aquí, "colección" significa " conjunto ", pero se usa porque "colección de subconjuntos abiertos" es menos incómoda que "conjunto de subconjuntos abiertos". De manera similar, "subcolección" significa "subconjunto".
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enlaces externos

Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [matemáticas.HO].

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