espacio hausdorff

Tipo de espacio topológico

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Hausdorff ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ^[1] ), espacio separado o espacio T ₂ es un Espacio topológico donde, para dos puntos distintos, existen vecindades de cada uno que están separadas entre sí. De los muchos axiomas de separación que pueden imponerse a un espacio topológico, la "condición de Hausdorff" (T ₂ ) es el más utilizado y discutido. Implica la unicidad de los límites de secuencias , redes y filtros . ^[2]

Los espacios de Hausdorff llevan el nombre de Felix Hausdorff , uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de espacio topológico (en 1914) incluía la condición de Hausdorff como axioma .

Definiciones

Los puntos x e y, separados por sus respectivas vecindades U y V.

Los puntos y en un espacio topológico se pueden separar por vecindades si existe una vecindad de y una vecindad de tal que y son disjuntos . es un espacio de Hausdorff si dos puntos distintos están separados por vecindades. Esta condición es el tercer axioma de separación (después de T ₀ y T ₁ ), razón por la cual los espacios de Hausdorff también se denominan espacios T ₂ . También se utiliza el espacio separado por nombre. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U\cap V=\varnothing )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una noción relacionada, pero más débil, es la de espacio preregular . es un espacio preregular si dos puntos topológicamente distinguibles pueden separarse por vecindades disjuntas. Un espacio preregular también se llama espacio R ₁ . ${\displaystyle X}$

La relación entre estas dos condiciones es la siguiente. Un espacio topológico es Hausdorff si y sólo si es preregular (es decir, los puntos topológicamente distinguibles están separados por vecindades) y Kolmogorov (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es preregular si y sólo si su cociente de Kolmogorov es Hausdorff.

Equivalencias

Para un espacio topológico , lo siguiente es equivalente: ^[2] ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff.
• Los límites de las redes son únicos. ^[3] ${\displaystyle X}$
• Los límites de los filtros son únicos. ^[3] ${\displaystyle X}$
• Cualquier conjunto singleton es igual a la intersección de todas las vecindades cerradas de . ^[4] (Una vecindad cerrada de es un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene .) ${\displaystyle \{x\}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• La diagonal está cerrada como subconjunto del espacio producto . ${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Cualquier inyección desde el espacio discreto con dos puntos a tiene la propiedad de elevación con respecto al mapa desde el espacio topológico finito con dos puntos abiertos y un punto cerrado a un solo punto. ${\displaystyle X}$

Ejemplos de espacios Hausdorff y no Hausdorff

Casi todos los espacios encontrados en el análisis son de Hausdorff; Lo más importante es que los números reales (según la topología métrica estándar de números reales) son un espacio de Hausdorff. De manera más general, todos los espacios métricos son de Hausdorff. De hecho, muchos espacios de uso en análisis, como los grupos topológicos y las variedades topológicas , tienen la condición de Hausdorff explícitamente establecida en sus definiciones.

Un ejemplo simple de una topología que es T 1 pero no es Hausdorff es la topología cofinita definida en un conjunto infinito , al igual que la topología contable definida en un conjunto incontable .

Los espacios pseudométricos normalmente no son de Hausdorff, pero son preregulares y su uso en análisis suele ser sólo en la construcción de espacios de calibre de Hausdorff . De hecho, cuando los analistas se topan con un espacio que no es de Hausdorff, probablemente todavía sea al menos preregular, y luego simplemente lo reemplazan con su cociente de Kolmogorov, que es Hausdorff. ^[5]

Por el contrario, los espacios no preregulares se encuentran con mucha más frecuencia en álgebra abstracta y geometría algebraica , en particular como la topología de Zariski en una variedad algebraica o el espectro de un anillo . También surgen en la teoría de modelos de la lógica intuicionista : todo álgebra de Heyting completa es el álgebra de conjuntos abiertos de algún espacio topológico, pero este espacio no tiene por qué ser preregular, y mucho menos Hausdorff, y de hecho normalmente no lo es. El concepto relacionado de dominio de Scott también consta de espacios no preregulares.

Si bien la existencia de límites únicos para redes y filtros convergentes implica que un espacio es Hausdorff, existen espacios T ₁ no Hausdorff en los que cada secuencia convergente tiene un límite único. ^[6] Estos espacios se denominan espacios estadounidenses . ^[7] Para espacios secuenciales , esta noción equivale a ser débilmente hausdorff .

Propiedades

Los subespacios y productos de espacios de Hausdorff son Hausdorff, pero los espacios cocientes de espacios de Hausdorff no tienen por qué ser Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico puede realizarse como el cociente de algún espacio de Hausdorff. ^[8]

Los espacios de Hausdorff son T 1 , lo que significa que cada singleton es un conjunto cerrado. De manera similar, los espacios preregulares son R 0 . Todo espacio de Hausdorff es un espacio de Sober , aunque lo contrario, en general, no es cierto.

Otra propiedad de los espacios de Hausdorff es que cada conjunto compacto es un conjunto cerrado. Para espacios que no son de Hausdorff, puede ser que cada conjunto compacto sea un conjunto cerrado (por ejemplo, la topología cocontable en un conjunto incontable) o no (por ejemplo, la topología cofinita en un conjunto infinito y el espacio de Sierpiński ).

La definición de espacio de Hausdorff dice que los puntos se pueden separar por vecindades. Resulta que esto implica algo que aparentemente es más fuerte: en un espacio de Hausdorff cada par de conjuntos compactos disjuntos también puede estar separado por vecindades, ^[9] en otras palabras hay una vecindad de un conjunto y una vecindad del otro, tal que los dos barrios están separados. Este es un ejemplo de la regla general de que los conjuntos compactos suelen comportarse como puntos.

Las condiciones de compacidad junto con la preregularidad a menudo implican axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier espacio preregular localmente compacto es completamente regular . ^{[10] [11]} Los espacios preregulares compactos son normales , ^[12] lo que significa que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze y tienen particiones de unidad subordinadas a cubiertas abiertas localmente finitas . Las versiones de Hausdorff de estas afirmaciones son: todo espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff , y todo espacio compacto de Hausdorff es Hausdorff normal.

Los siguientes resultados son algunas propiedades técnicas relacionadas con mapas ( continuos y no) hacia y desde espacios de Hausdorff.

Sea una función continua y supongamos que es Hausdorff. Entonces la gráfica de , , es un subconjunto cerrado de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Sea una función y sea su núcleo considerado como un subespacio de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

• Si es continuo y es Hausdorff entonces es un conjunto cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$
• Si es una sobreyección abierta y un conjunto cerrado entonces es Hausdorff. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle Y}$
• Si es una sobreyección continua y abierta (es decir, una aplicación de cociente abierto), entonces es Hausdorff si y sólo si es un conjunto cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Si son mapas continuos y es Hausdorff entonces el ecualizador es un conjunto cerrado en . De ello se deduce que if es Hausdorff yy concuerdan en un subconjunto denso de then . En otras palabras, las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos. ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=g}$

Sea una sobreyección cerrada tal que sea compacta para todos . Entonces, si Hausdorff también lo es . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Sea un mapa cociente con un espacio compacto de Hausdorff. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$es Hausdorff.
• ${\displaystyle f}$Es un mapa cerrado .
• ${\displaystyle \ker(f)}$es un conjunto cerrado.

Preregularidad versus regularidad

Todos los espacios regulares son preregulares, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para los espacios regulares y de Hausdorff porque la idea de los espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente tienen que ver con la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la paracompacidad o la compacidad local ) implicará regularidad si se satisface la preregularidad. Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión normal y una versión Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son, en general, regulares, un espacio de Hausdorff que también sea (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, lo que realmente importa en estas situaciones es la preregularidad, más que la regularidad. Sin embargo, las definiciones todavía suelen formularse en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que la preregularidad.

Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.

Variantes

Los términos "Hausdorff", "separado" y "preregular" también se pueden aplicar a variantes de espacios topológicos como espacios uniformes , espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de redes y filtros (cuando existen) son únicos (para espacios separados) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios preregulares).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre preregulares, por lo que la condición de Hausdorff en estos casos se reduce a la condición T ₀ . Éstos son también los espacios en los que la integridad tiene sentido, y el Hausdorffness es un compañero natural de la integridad en estos casos. Específicamente, un espacio es completo si y solo si cada red de Cauchy tiene al menos un límite, mientras que un espacio es Hausdorff si y solo si cada red de Cauchy tiene como máximo un límite (ya que, en primer lugar, solo las redes de Cauchy pueden tener límites).

Álgebra de funciones

El álgebra de funciones continuas (reales o complejas) en un espacio compacto de Hausdorff es un álgebra C* conmutativa y, a la inversa, mediante el teorema de Banach-Stone se puede recuperar la topología del espacio a partir de las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones continuas. Esto conduce a la geometría no conmutativa , donde se considera que las álgebras C* no conmutativas representan álgebras de funciones en un espacio no conmutativo.

humor academico

• La condición de Hausdorff se ilustra con el juego de palabras de que en los espacios de Hausdorff dos puntos cualesquiera pueden "aislarse" entre sí mediante conjuntos abiertos . ^[13]
• En el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn , en el que Felix Hausdorff investigaba y daba clases, hay una sala denominada Hausdorff-Raum . Esto es un juego de palabras , ya que Raum significa habitación y espacio en alemán.

Ver también

• Espacio de punto fijo  : espacio topológico tal que todo endomorfismo tiene un punto fijo, un espacio de Hausdorff X tal que toda función continua f  : X → X tiene un punto fijo.
• Espacio localmente Hausdorff
• Variedad no Hausdorff  - generalización de variedadesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio cuasitopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio compacto de Hausdorff K una colección de mapas K→C que satisfacen ciertas condiciones naturales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Axioma de separación  : axiomas en topología que definen nociones de "separación"
• Espacio débil de Hausdorff  : concepto en topología algebraicaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. "Definición y significado del espacio de Hausdorff". www.diccionario.com . Consultado el 15 de junio de 2022 .
2. "Axiomas de separación en nLab". ncatlab.org .
3. Willard 2004, págs. 86–87
4. Bourbaki 1966, pag. 75
5. Véase, por ejemplo, Espacio Lp # Espacios Lp e integrales de Lebesgue , Banach-Mazur compactum , etc.
6. van Douwen, Eric K. (1993). "Un espacio anti-Hausdorff Fréchet en el que las secuencias convergentes tienen límites únicos". Topología y sus aplicaciones . 51 (2): 147-158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
7. Wilansky, Albert (1967). "Entre T ₁ y T ₂ ". El Mensual Matemático Estadounidense . 74 (3): 261–266. doi :10.2307/2316017. JSTOR  2316017.
8. Shimrat, M. (1956). "Espacios de descomposición y propiedades de separación". Revista Trimestral de Matemáticas . 2 : 128–129. doi :10.1093/qmath/7.1.128.
9. Willard 2004, págs.124
10. Schechter 1996, 17.14 (d), pág. 460.
11. "Los espacios preregulares localmente compactos son completamente regulares". math.stackexchange.com .
12. Schechter 1996, 17,7 (g), pág. 457.
13. Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2008). Introducción a la topología: pura y aplicada . Pearson Prentice Hall . pag. 42.ISBN​ 978-0-13-184869-6.

Referencias

• Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general I. Saltador . ISBN 3-540-18178-4.
• Bourbaki (1966). Elementos de Matemáticas: Topología General . Addison-Wesley .
• "Espacio de Hausdorff", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Willard, Stephen (2004). Topología general. Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-43479-6.