En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio topológico X es un espacio T 0 o espacio de Kolmogorov (llamado así por Andrey Kolmogorov ) si para cada par de puntos distintos de X , al menos uno de ellos tiene una vecindad que no contiene al otro. En un espacio T 0 , todos los puntos son topológicamente distinguibles .
Esta condición, llamada condición T 0 , es el más débil de los axiomas de separación . Casi todos los espacios topológicos normalmente estudiados en matemáticas son espacios T 0 . En particular, todos los espacios T 1 , es decir, todos los espacios en los que para cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro, son espacios T 0 . Esto incluye todos los espacios T 2 (o Hausdorff) , es decir, todos los espacios topológicos en los que distintos puntos tienen vecindades disjuntas. En otra dirección, todo espacio sobrio (que puede no ser T 1 ) es T 0 ; esto incluye el espacio topológico subyacente de cualquier esquema . Dado cualquier espacio topológico, se puede construir un espacio T 0 identificando puntos topológicamente indistinguibles.
Los espacios T 0 que no son espacios T 1 son exactamente aquellos espacios para los cuales el pedido anticipado de especialización es un orden parcial no trivial . Estos espacios ocurren naturalmente en la informática , específicamente en la semántica denotacional .
Un espacio T 0 es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible . Es decir, para dos puntos diferentes xey hay un conjunto abierto que contiene uno de estos puntos y no el otro . Más precisamente, el espacio topológico X es Kolmogorov o si y solo si: [ cita necesaria ]
Tenga en cuenta que los puntos topológicamente distinguibles son automáticamente distintos. Por otro lado, si los conjuntos singleton { x } y { y } están separados , entonces los puntos xey deben ser topológicamente distinguibles . Eso es,
La propiedad de ser topológicamente distinguible es, en general, más fuerte que la de ser distinto, pero más débil que la de estar separado. En un espacio T 0 , la segunda flecha de arriba también se invierte; Los puntos son distintos si y sólo si son distinguibles. Así encaja el axioma T 0 con el resto de axiomas de separación .
Casi todos los espacios topológicos normalmente estudiados en matemáticas son T 0 . En particular, todos los espacios de Hausdorff (T 2 ) , los espacios T 1 y los espacios sobrios son T 0 .
Los espacios topológicos comúnmente estudiados son todos T 0 . De hecho, cuando los matemáticos en muchos campos, en particular el análisis , se topan naturalmente con espacios que no son T 0 , generalmente los reemplazan con espacios T 0 , de la manera que se describirá a continuación. Para motivar las ideas involucradas, consideremos un ejemplo bien conocido. El espacio L 2 ( R ) pretende ser el espacio de todas las funciones medibles f desde la línea real R hasta el plano complejo C tales que la integral de Lebesgue de | f ( x )| 2 sobre toda la recta real es finito . Este espacio debería convertirse en un espacio vectorial normado definiendo la norma || f || ser la raíz cuadrada de esa integral. El problema es que esto no es realmente una norma, sólo una seminorma , porque hay funciones distintas de la función cero cuyas (semi)normas son cero . La solución estándar es definir L 2 ( R ) como un conjunto de clases de equivalencia de funciones en lugar de un conjunto de funciones directamente. Esto construye un espacio cociente del espacio vectorial seminormado original, y este cociente es un espacio vectorial normado. Hereda varias propiedades convenientes del espacio seminormado; vea abajo.
En general, cuando se trata de una topología fija T en un conjunto X , es útil si esa topología es T 0 . Por otro lado, cuando X es fijo pero se permite que T varíe dentro de ciertos límites, forzar que T sea T 0 puede ser inconveniente, ya que las topologías distintas de T 0 son a menudo casos especiales importantes. Por lo tanto, puede ser importante comprender las versiones T 0 y no T 0 de las diversas condiciones que se pueden colocar en un espacio topológico.
La indistinguibilidad topológica de puntos es una relación de equivalencia . No importa cuál sea el espacio topológico X para empezar, el espacio cociente bajo esta relación de equivalencia es siempre T 0 . Este espacio cociente se llama cociente de Kolmogorov de X , que denotaremos KQ( X ). Por supuesto, si para empezar X era T 0 , entonces KQ( X ) y X son naturalmente homeomórficos . Categóricamente, los espacios de Kolmogorov son una subcategoría reflectante de espacios topológicos, y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
Los espacios topológicos X e Y son equivalentes de Kolmogorov cuando sus cocientes de Kolmogorov son homeomórficos. Esta equivalencia preserva muchas propiedades de los espacios topológicos; es decir, si X e Y son equivalentes de Kolmogorov, entonces X tiene esa propiedad si y sólo si Y la tiene. Por otro lado, la mayoría de las demás propiedades de los espacios topológicos implican T 0 -ness; es decir, si X tiene tal propiedad, entonces X debe ser T 0 . Sólo unas pocas propiedades, como ser un espacio indiscreto , son excepciones a esta regla general. Aún mejor, muchas estructuras definidas en espacios topológicos se pueden transferir entre X y KQ( X ). El resultado es que, si tienes un espacio topológico no T 0 con una determinada estructura o propiedad, entonces normalmente puedes formar un espacio T 0 con las mismas estructuras y propiedades tomando el cociente de Kolmogorov.
El ejemplo de L 2 ( R ) muestra estas características. Desde el punto de vista de la topología, el espacio vectorial seminormado con el que empezamos tiene mucha estructura adicional; por ejemplo, es un espacio vectorial , y tiene una seminorma, y estas definen una estructura pseudométrica y uniforme que son compatibles con la topología. Además, existen varias propiedades de estas estructuras; por ejemplo, la seminorma satisface la identidad del paralelogramo y la estructura uniforme está completa . El espacio no es T 0 ya que dos funciones cualesquiera en L 2 ( R ) que son iguales en casi todas partes son indistinguibles con esta topología. Cuando formamos el cociente de Kolmogorov, el L 2 ( R ) real, estas estructuras y propiedades se conservan. Por lo tanto, L 2 ( R ) es también un espacio vectorial seminormado completo que satisface la identidad del paralelogramo. Pero en realidad obtenemos un poco más, ya que el espacio ahora es T 0 . Una seminorma es una norma si y sólo si la topología subyacente es T 0 , por lo que L 2 ( R ) es en realidad un espacio vectorial normado completo que satisface la identidad del paralelogramo, también conocido como espacio de Hilbert . Y es un espacio de Hilbert el que los matemáticos (y los físicos , en mecánica cuántica ) generalmente quieren estudiar. Tenga en cuenta que la notación L 2 ( R ) generalmente denota el cociente de Kolmogorov, el conjunto de clases de equivalencia de funciones cuadradas integrables que difieren en conjuntos de medida cero, en lugar de simplemente el espacio vectorial de funciones cuadradas integrables que sugiere la notación.
Aunque históricamente las normas se definieron primero, a la gente también se le ocurrió la definición de seminorma, que es una especie de versión no T 0 de una norma. En general, es posible definir versiones no T 0 de propiedades y estructuras de espacios topológicos. Primero, considere una propiedad de los espacios topológicos, como ser Hausdorff . Entonces se puede definir otra propiedad de los espacios topológicos definiendo el espacio X para satisfacer la propiedad si y sólo si el cociente de Kolmogorov KQ( X ) es Hausdorff. Ésta es una propiedad sensata, aunque menos famosa; en este caso, dicho espacio X se llama preregular . (Incluso resulta haber una definición más directa de preregularidad). Ahora considere una estructura que se pueda colocar en espacios topológicos, como una métrica . Podemos definir una nueva estructura en espacios topológicos dejando que un ejemplo de la estructura en X sea simplemente una métrica en KQ( X ). Ésta es una estructura sensata en X ; es una pseudométrica . (Nuevamente, existe una definición más directa de pseudométrica).
De esta manera, existe una forma natural de eliminar la condición T 0 de los requisitos de una propiedad o estructura. Generalmente es más fácil estudiar espacios que son T 0 , pero también puede ser más fácil permitir que estructuras que no son T 0 obtengan una imagen más completa. El requisito T 0 se puede agregar o eliminar arbitrariamente utilizando el concepto de cociente de Kolmogorov.
