En matemáticas elementales , una recta numérica es la imagen de una línea recta graduada que sirve como representación visual de los números reales . Se supone que cada punto de una recta numérica corresponde a un número real y cada número real a un punto. [1]
Los números enteros a menudo se muestran como puntos especialmente marcados y espaciados uniformemente en la línea. Aunque la imagen solo muestra los números enteros del –3 al 3, la línea incluye todos los números reales , continuando para siempre en cada dirección, y también los números que se encuentran entre los números enteros. A menudo se utiliza como ayuda para enseñar sumas y restas simples , especialmente las que involucran números negativos .
En matemáticas avanzadas, la recta numérica puede denominarse recta real o recta de números reales , definida formalmente como el conjunto R de todos los números reales. Se ve como un espacio geométrico , es decir, el espacio de coordenadas real de dimensión uno, o el espacio euclidiano de dimensión uno: la línea euclidiana . También se puede considerar como un espacio vectorial (o espacio afín ), un espacio métrico , un espacio topológico , un espacio de medidas o un continuo lineal .
Al igual que el conjunto de números reales, la línea real generalmente se denota con el símbolo R (o alternativamente, la letra " R " en negrita de pizarra ). Sin embargo, a veces se le denomina R 1 o E 1 para enfatizar su papel como primer espacio real o primer espacio euclidiano.
La primera mención de la recta numérica utilizada con fines operativos se encuentra en el Tratado de álgebra de John Wallis . [2] En su tratado, Wallis describe la suma y la resta en una recta numérica en términos de avance y retroceso, bajo la metáfora de una persona caminando.
Sin embargo, se encuentra una descripción anterior sin mencionar las operaciones en Una descripción de la admirable tabla de logaritmos de John Napier , que muestra los valores del 1 al 12 alineados de izquierda a derecha. [3]
Contrariamente a la creencia popular, La Géométrie original de René Descartes no presenta una recta numérica, definida como la usamos hoy, aunque sí utiliza un sistema de coordenadas. En particular, la obra de Descartes no contiene números específicos mapeados en líneas, sólo cantidades abstractas. [4]
Una recta numérica generalmente se representa como horizontal , pero en un plano de coordenadas cartesianas el eje vertical (eje y) también es una recta numérica. [5] Según una convención, los números positivos siempre se encuentran en el lado derecho del cero, los números negativos siempre se encuentran en el lado izquierdo del cero y las puntas de flecha en ambos extremos de la línea pretenden sugerir que la línea continúa indefinidamente en el lado positivo. y direcciones negativas. Otra convención utiliza sólo una punta de flecha que indica la dirección en la que crecen los números. [5] La línea continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa de acuerdo con las reglas de la geometría que definen una línea sin puntos finales como una línea infinita , una línea con un punto final como un rayo y una línea con dos puntos finales como un segmento de línea .
Si un número particular está más a la derecha en la recta numérica que otro número, entonces el primer número es mayor que el segundo (de manera equivalente, el segundo es menor que el primero). La distancia entre ellos es la magnitud de su diferencia, es decir, mide el primer número menos el segundo, o equivalentemente el valor absoluto del segundo número menos el primero. Sacar esta diferencia es el proceso de resta .
Así, por ejemplo, la longitud de un segmento de línea entre 0 y algún otro número representa la magnitud de este último número.
Se pueden sumar dos números "recogiendo" la longitud desde 0 hasta uno de los números y colocándolo nuevamente con el extremo que era 0 colocado encima del otro número.
Se pueden multiplicar dos números como en este ejemplo: Para multiplicar 5 × 3, tenga en cuenta que es lo mismo que 5 + 5 + 5, así que elija la longitud de 0 a 5 y colóquela a la derecha de 5, y luego elija suba esa longitud nuevamente y colóquelo a la derecha del resultado anterior. Esto da un resultado de 3 longitudes combinadas de 5 cada una; Como el proceso termina en 15, encontramos que 5 × 3 = 15.
La división se puede realizar como en el siguiente ejemplo: Para dividir 6 entre 2, es decir, para saber cuántas veces cabe 2 en 6, observe que la longitud de 0 a 2 se encuentra al comienzo de la longitud de 0 a 6; recoja la longitud anterior y colóquela nuevamente a la derecha de su posición original, con el extremo que anteriormente estaba en 0 ahora colocado en 2, y luego mueva la longitud a la derecha de su última posición nuevamente. Esto coloca el extremo derecho de la longitud 2 en el extremo derecho de la longitud de 0 a 6. Dado que tres longitudes de 2 llenaron la longitud 6, 2 entra en 6 tres veces (es decir, 6 ÷ 2 = 3).
La sección de la recta numérica entre dos números se llama intervalo . Si la sección incluye ambos números se dice que es un intervalo cerrado, mientras que si excluye ambos números se llama intervalo abierto. Si incluye uno de los números pero no el otro, se llama intervalo medio abierto.
Todos los puntos que se extienden siempre en una dirección desde un punto particular se conocen en conjunto como rayo . Si el rayo incluye el punto particular, es un rayo cerrado; de lo contrario es un rayo abierto.
En la recta numérica, la distancia entre dos puntos es la unidad de longitud si y sólo si la diferencia de los números representados es igual a 1. Son posibles otras opciones.
Una de las opciones más comunes es la escala logarítmica , que es una representación de los números positivos en una línea, de modo que la distancia de dos puntos es la unidad de longitud, si la relación de los números representados tiene un valor fijo, típicamente 10. En tal escala logarítmica, el origen representa 1; una pulgada a la derecha, uno tiene 10, una pulgada a la derecha de 10, uno tiene 10×10 = 100 , luego 10×100 = 1000 = 10 3 , luego 10×1000 = 10,000 = 10 4 , etc. De manera similar, uno pulgada a la izquierda de 1, uno tiene 1/10 = 10 –1 , luego 1/100 = 10 –2 , etc.
Este enfoque es útil cuando se quiere representar, en la misma figura, valores con órdenes de magnitud muy diferentes . Por ejemplo, se requiere una escala logarítmica para representar simultáneamente el tamaño de los diferentes cuerpos que existen en el Universo , típicamente, un fotón , un electrón , un átomo , una molécula , un ser humano , la Tierra , el Sistema Solar , una galaxia , y el Universo visible.
Las escalas logarítmicas se utilizan en reglas de cálculo para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en escalas logarítmicas.
Una línea trazada a través del origen en ángulo recto con la recta numérica real se puede utilizar para representar los números imaginarios . Esta recta, llamada recta imaginaria , extiende la recta numérica hasta un plano de números complejos , con puntos que representan números complejos .
Alternativamente, se puede dibujar una recta numérica real horizontalmente para denotar posibles valores de un número real, comúnmente llamado x , y otra recta numérica real se puede dibujar verticalmente para denotar posibles valores de otro número real, comúnmente llamado y . Juntas estas líneas forman lo que se conoce como sistema de coordenadas cartesiano , y cualquier punto del plano representa el valor de un par de números reales. Además, el sistema de coordenadas cartesianas se puede ampliar visualizando una tercera recta numérica "que sale de la pantalla (o página)", midiendo una tercera variable llamada z . Los números positivos están más cerca de los ojos del espectador que la pantalla, mientras que los números negativos están "detrás de la pantalla"; los números más grandes están más lejos de la pantalla. Entonces cualquier punto del espacio tridimensional en el que vivimos representa los valores de un trío de números reales.
La línea real es un continuo lineal bajo el estándar < ordenamiento. Específicamente, la línea real está ordenada linealmente por < , y este ordenamiento es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo .
Además de las propiedades anteriores, la línea real no tiene elemento máximo ni mínimo . También tiene un subconjunto denso contable , concretamente el conjunto de los números racionales . Es un teorema que cualquier continuo lineal con un subconjunto denso contable y sin elemento máximo o mínimo es de orden isomorfo a la línea real.
La línea real también satisface la condición de la cadena contable : cada colección de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente disjuntos en R es contable. En la teoría del orden , el famoso problema de Suslin pregunta si todo continuo lineal que satisface la condición de cadena contable y que no tiene ningún elemento máximo o mínimo es necesariamente isomorfo de orden a R. Se ha demostrado que esta afirmación es independiente del sistema axiomático estándar de teoría de conjuntos conocido como ZFC .
La recta real forma un espacio métrico , con la función de distancia dada por diferencia absoluta:
El tensor métrico es claramente la métrica euclidiana unidimensional . Dado que la métrica euclidiana de n dimensiones se puede representar en forma matricial como la matriz identidad n por n , la métrica en la recta real es simplemente la matriz identidad 1 por 1, es decir, 1.
Si p ∈ R y ε > 0 , entonces la bola ε en R centrada en p es simplemente el intervalo abierto ( p − ε , p + ε ) .
Esta recta real tiene varias propiedades importantes como espacio métrico:
.png/1280px-Real_Projective_Line_(RP1).png)
La línea real lleva una topología estándar , que se puede introducir de dos maneras diferentes y equivalentes. Primero, dado que los números reales están totalmente ordenados , llevan una topología de orden . En segundo lugar, los números reales heredan una topología métrica de la métrica definida anteriormente. La topología de orden y la topología métrica en R son las mismas. Como espacio topológico, la recta real es homeomorfa al intervalo abierto (0, 1) .
La recta real es trivialmente una variedad topológica de dimensión 1 . Hasta el homeomorfismo, es una de las dos únicas variedades 1 conectadas diferentes sin límite , siendo la otra el círculo . También tiene una estructura diferenciable estándar, lo que la convierte en una variedad diferenciable . (Hasta el difeomorfismo , sólo hay una estructura diferenciable que soporta el espacio topológico).
La línea real es un espacio localmente compacto y un espacio paracompacto , así como segundo contable y normal . También está conectado por ruta y, por lo tanto, también está conectado , aunque puede desconectarse eliminando cualquier punto. La línea real también es contráctil y, como tal, todos sus grupos de homotopía y grupos de homología reducida son cero.
Como espacio localmente compacto, la línea real se puede compactar de varias maneras diferentes. La compactación de un punto de R es un círculo (es decir, la línea proyectiva real ), y el punto extra puede considerarse como un infinito sin signo. Alternativamente, la línea real tiene dos extremos , y la compactación final resultante es la línea real extendida [−∞, +∞] . También está la compactación de Stone-Čech de la línea real, que implica agregar un número infinito de puntos adicionales.
En algunos contextos, resulta útil colocar otras topologías en el conjunto de números reales, como la topología de límite inferior o la topología de Zariski . Para los números reales, esta última es la misma que la topología de complemento finito .
La recta real es un espacio vectorial sobre el campo R de números reales (es decir, sobre sí misma) de dimensión 1 . Tiene la multiplicación habitual como producto interno , lo que lo convierte en un espacio vectorial euclidiano . La norma definida por este producto interno es simplemente el valor absoluto .
La línea real lleva una medida canónica , a saber, la medida de Lebesgue . Esta medida se puede definir como la finalización de una medida de Borel definida en R , donde la medida de cualquier intervalo es la longitud del intervalo.
La medida de Lebesgue sobre la recta real es uno de los ejemplos más simples de medida de Haar sobre un grupo localmente compacto .
Cuando A es un álgebra real unital , los productos de números reales con 1 es una recta real dentro del álgebra. Por ejemplo, en el plano complejo z = x + i y , el subespacio { z : y = 0} es una recta real. De manera similar, el álgebra de cuaterniones
tiene una recta real en el subespacio { q : x = y = z = 0 }.
Cuando el álgebra real es una suma directa , entonces se introduce una conjugación en A mediante el mapeo del subespacio V. De esta forma la recta real está formada por los puntos fijos de la conjugación.
Para una dimensión n , las matrices cuadradas forman un anillo que tiene una línea real en forma de productos reales con la matriz identidad en el anillo.
Medios relacionados con las líneas numéricas en Wikimedia Commons
