Métrica intrínseca

Concepto en geometría/topología

En el estudio matemático de los espacios métricos , se puede considerar la longitud de arco de los caminos en el espacio. Si dos puntos están a una distancia dada uno del otro, es natural esperar que uno pueda llegar desde el primer punto al segundo a lo largo de un camino cuya longitud de arco sea igual a (o muy cercana a) esa distancia. La distancia entre dos puntos de un espacio métrico en relación con la métrica intrínseca se define como el ínfimo de las longitudes de todos los caminos desde el primer punto al segundo. Un espacio métrico es un espacio métrico de longitud si la métrica intrínseca concuerda con la métrica original del espacio.

Si el espacio tiene la propiedad más fuerte de que siempre existe un camino que alcanza el ínfimo de longitud (una geodésica ), entonces se denomina espacio métrico geodésico o espacio geodésico . Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio geodésico, con segmentos de línea como sus geodésicas. El plano euclidiano con el origen eliminado no es geodésico, pero sigue siendo un espacio métrico de longitud.

Definiciones

Sea un espacio métrico , es decir, es una colección de puntos (como todos los puntos del plano o todos los puntos del círculo) y es una función que nos proporciona la distancia entre los puntos . Definimos una nueva métrica en , conocida como métrica intrínseca inducida , de la siguiente manera: es el ínfimo de las longitudes de todos los caminos desde hasta . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Aquí, un camino de a es un mapa continuo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

con y . La longitud de dicho camino se define como se explicó para las curvas rectificables . Establecemos si no hay un camino de longitud finita desde hasta (esto es consistente con la definición de ínfimo ya que el ínfimo del conjunto vacío dentro del intervalo cerrado [0,+∞] es +∞). ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El mapeo es idempotente , es decir ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

Si

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

para todos los puntos y en , decimos que es un espacio de longitud o un espacio métrico de trayectoria y la métrica es intrínseca . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d}$

Decimos que la métrica tiene puntos medios aproximados si para cualquier y cualquier par de puntos y en existe en tal que y son ambos menores que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,c)}$ ${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

Ejemplos

• El espacio euclidiano con la métrica euclidiana ordinaria es un espacio con métrica de trayectoria. también lo es. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• El círculo unitario con la métrica heredada de la métrica euclidiana de (la métrica cordal ) no es un espacio métrico de trayectorias. La métrica intrínseca inducida en mide distancias como ángulos en radianes , y el espacio métrico de longitud resultante se denomina círculo de Riemann . En dos dimensiones, la métrica cordal en la esfera no es intrínseca, y la métrica intrínseca inducida viene dada por la distancia del círculo máximo . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Toda variedad riemanniana conexa puede convertirse en un espacio métrico de trayectorias definiendo la distancia de dos puntos como el ínfimo de las longitudes de curvas continuamente diferenciables que conectan los dos puntos. (La estructura riemanniana permite definir la longitud de dichas curvas). De manera análoga, otras variedades en las que se define una longitud incluyen las variedades de Finsler y las variedades subriemannianas .
• Todo espacio métrico completo y convexo es un espacio métrico de longitud (Khamsi & Kirk 2001, Teorema 2.16), resultado de Karl Menger . Sin embargo, la recíproca no se cumple, es decir, existen espacios métricos de longitud que no son convexos.

Propiedades

• En general, tenemos y la topología definida por es por lo tanto siempre más fina o igual a la definida por . ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d}$
• El espacio es siempre un espacio métrico de trayectorias (con la salvedad, como se mencionó anteriormente, de que puede ser infinito). ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• La métrica de un espacio de longitud tiene puntos medios aproximados. A la inversa, todo espacio métrico completo con puntos medios aproximados es un espacio de longitud.
• El teorema de Hopf-Rinow establece que si un espacio de longitud es completo y localmente compacto , entonces dos puntos cualesquiera en pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora y todos los conjuntos cerrados acotados en son compactos . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Referencias

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

• Gromov, Mikhail (1999), Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos , Progress in Math., vol. 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Khamsi, Mohamed A. ; Kirk, William A. (2001), Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0