Distancia del gran círculo

Distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera.

Un diagrama que ilustra la distancia del círculo máximo (dibujado en rojo) entre dos puntos de una esfera, P y Q. También se muestran dos puntos antípodas , u y v.

La distancia de círculo máximo , distancia ortodrómica o distancia esférica es la distancia a lo largo de un círculo máximo .

Es la distancia más corta entre dos puntos de la superficie de una esfera , medida a lo largo de la superficie de la esfera (a diferencia de una línea recta que pasa por el interior de la esfera). La distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano es la longitud de una línea recta entre ellos, es decir, la longitud de la cuerda , pero en la esfera no hay líneas rectas. En espacios con curvatura , las líneas rectas se sustituyen por geodésicas . Las geodésicas sobre la esfera son círculos sobre la esfera cuyos centros coinciden con el centro de la esfera y se denominan "grandes círculos".

La determinación de la distancia del círculo máximo es parte del problema más general de la navegación en círculo máximo , que también calcula los acimutes en los puntos finales y en los puntos intermedios.

A través de dos puntos cualesquiera de una esfera que no sean puntos antípodas (directamente opuestos entre sí), pasa un círculo máximo único. Los dos puntos separan el gran círculo en dos arcos. La longitud del arco más corto es la distancia del círculo máximo entre los puntos. Un círculo máximo dotado de tal distancia se llama círculo de Riemann en geometría de Riemann .

Entre puntos antípodas, hay infinitos círculos máximos, y todos los arcos de círculo máximo entre puntos antípodas tienen una longitud de la mitad de la circunferencia del círculo, o , donde r es el radio de la esfera. ${\displaystyle \pi r}$

La Tierra es casi esférica , por lo que las fórmulas de distancia de círculo máximo dan la distancia entre puntos de la superficie de la Tierra con una precisión de aproximadamente el 0,5% . ^[1]

Fórmulas

Una ilustración del ángulo central, Δσ, entre dos puntos, P y Q. λ y φ son los ángulos longitudinal y latitudinal de P respectivamente.

Sea y la longitud y latitud geográficas de dos puntos 1 y 2, y sean sus diferencias absolutas; entonces , el ángulo central entre ellos, viene dado por la ley esférica de los cosenos si uno de los polos se utiliza como tercer punto auxiliar de la esfera: ^[2] ${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.}$

El problema normalmente se expresa en términos de encontrar el ángulo central . Dado este ángulo en radianes, la longitud real del arco d en una esfera de radio r se puede calcular trivialmente como ${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Relación entre el ángulo central y la longitud de la cuerda

El ángulo central está relacionado con la longitud de la cuerda de la esfera unitaria : ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}}$

Fórmulas computacionales

En sistemas informáticos con baja precisión de coma flotante , la fórmula de la ley esférica de los cosenos puede tener grandes errores de redondeo si la distancia es pequeña (si los dos puntos están separados por un kilómetro en la superficie de la Tierra, el coseno del ángulo central está cerca de 0,99999999 ). Para los números modernos de punto flotante de 64 bits , la fórmula de la ley esférica de los cosenos, dada anteriormente, no tiene errores de redondeo graves para distancias superiores a unos pocos metros en la superficie de la Tierra. ^[3] La fórmula de haversine está numéricamente mejor condicionada para distancias pequeñas mediante el uso de la relación cuerda-longitud: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}}$

Históricamente, el uso de esta fórmula se simplificó gracias a la disponibilidad de tablas para la función haversine : hav( θ ) = sin ² ( θ /2).

A continuación se muestra la fórmula equivalente que expresa explícitamente la longitud de la cuerda:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}\phi _{\text{m}}-\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}},\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle \phi _{\text{m}}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}}$

Aunque esta fórmula es precisa para la mayoría de las distancias en una esfera, también adolece de errores de redondeo en el caso especial (y algo inusual) de los puntos antípodas. Una fórmula que es precisa para todas las distancias es el siguiente caso especial de la fórmula de Vincenty para un elipsoide con ejes mayor y menor iguales: ^[5]

${\displaystyle \Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }}.}$

Aquí el cuadrante for debería regirse por los signos del numerador y denominador del lado derecho, por ejemplo, usando la función atan2 . ${\displaystyle \Delta \sigma }$

Versión vectorial

Otra representación de fórmulas similares, pero usando vectores normales en lugar de latitud y longitud para describir las posiciones, se encuentra mediante álgebra vectorial 3D , usando el producto escalar , el producto cruzado o una combinación: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

donde y son las normales a la esfera en las dos posiciones 1 y 2. De manera similar a las ecuaciones anteriores basadas en latitud y longitud, la expresión basada en arctan es la única que está bien condicionada para todos los ángulos . La expresión basada en arctan requiere la magnitud del producto cruz sobre el producto escalar. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

Desde la longitud de la cuerda

Una línea que atraviesa el espacio tridimensional entre puntos de interés en una Tierra esférica es la cuerda del gran círculo entre los puntos. El ángulo central entre los dos puntos se puede determinar a partir de la longitud de la cuerda. La distancia del círculo máximo es proporcional al ángulo central.

La longitud de la cuerda del círculo máximo, , se puede calcular de la siguiente manera para la esfera unitaria correspondiente, mediante resta cartesiana : ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Radio de la Tierra esférica

Radios ecuatorial ( a ), polar ( b ) y medio de la Tierra según se definen en la revisión del Sistema Geodésico Mundial de 1984 . ( No a escala ).

La forma de la Tierra se asemeja mucho a una esfera aplanada (un esferoide ) con un radio ecuatorial de 6378,137 km; La distancia desde el centro del esferoide a cada polo es 6356,7523142 km. Al calcular la longitud de una línea corta norte-sur en el ecuador, el círculo que mejor se aproxima a esa línea tiene un radio de (que equivale al semilato recto del meridiano ), o 6335,439 km, mientras que el esferoide en los polos se aproxima mejor por una esfera de radio , o 6399,594 km, una diferencia del 1%. Siempre que se suponga una Tierra esférica, cualquier fórmula única para la distancia en la Tierra solo se garantiza que sea correcta dentro del 0,5% (aunque es posible una mayor precisión si la fórmula solo se aplica a un área limitada). Usar el radio medio de la Tierra ( para el elipsoide WGS84 ) significa que en el límite de un pequeño aplanamiento, se minimiza el error relativo cuadrático medio en las estimaciones de la distancia. ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$ ${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

Ver también

• Navegación aérea
• distancia angular
• Circunnavegación
• Planificación de vuelo
• Geodesia
• Geodésicas sobre un elipsoide
• sistema geodésico
• Distancia geográfica
• isoazimutal
• Navegación loxodrómica
• arco meridiano
• Línea de rumbo
• Geometría esférica
• trigonometría esférica

Referencias y notas

1. Manual de navegación del Almirantazgo, volumen 1, The Papelería, 1987, pág. 10, ISBN 9780117728806, Los errores introducidos al suponer una Tierra esférica basada en la milla náutica internacional no superan el 0,5% para la latitud y el 0,2% para la longitud.
2. Kells, Lyman M.; Kern, Willis F.; Suave, James R. (1940). Trigonometría plana y esférica. McGraw Hill Book Company, Inc. págs. 323-326 . Consultado el 13 de julio de 2018 .
3. "Calcular distancia, rumbo y más entre puntos de latitud/longitud" . Consultado el 10 de agosto de 2013 .
4. Sinnott, Roger W. (agosto de 1984). "Virtudes de Haversine". Cielo y Telescopio . 68 (2): 159.
5. Vincenty, Tadeo (1 de abril de 1975). "Soluciones Directas e Inversas de Geodésicas sobre el Elipsoide con Aplicación de Ecuaciones Anidadas" (PDF) . Revisión de la encuesta . Kingston Road, Tolworth, Surrey: Dirección de Estudios en el Extranjero . 23 (176): 88–93. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . Consultado el 21 de julio de 2008 .
6. Gade, Kenneth (2010). "Una representación de posición horizontal no singular" (PDF) . El Diario de Navegación . Prensa de la Universidad de Cambridge. 63 (3): 395–417. doi :10.1017/S0373463309990415.
7. McCaw, GT (1932). "Largas colas en la Tierra". Revisión de la encuesta Empire . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.

enlaces externos

• Gran círculo en MathWorld