Gran circulo

Geometría esférica análoga a una línea recta.

El gran círculo g (verde) se encuentra en un plano que pasa por el centro de la esfera O (negro). La línea perpendicular a (púrpura) que pasa por el centro se llama eje de g , y sus dos intersecciones con la esfera, P y P ' (roja), son los polos de g . Cualquier círculo máximo s (azul) que pase por los polos es secundario a g .

Un círculo máximo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

En matemáticas , un círculo máximo u ortododromo es la intersección circular de una esfera y un plano que pasa por el punto central de la esfera . ^{[1] [2]}

Cualquier arco de un círculo máximo es una geodésica de la esfera, de modo que los círculos máximos en geometría esférica son el análogo natural de las líneas rectas en el espacio euclidiano . Para cualquier par de puntos distintos no antípodas de la esfera, existe un círculo máximo único que pasa por ambos. (Todo círculo máximo que pasa por cualquier punto también pasa por su punto antípoda, por lo que hay infinitos círculos máximos que pasan por dos puntos antípodas). El más corto de los dos arcos de círculo máximo entre dos puntos distintos de la esfera se llama arco menor , y es el camino de superficie más corto entre ellos. Su longitud de arco es la distancia del círculo máximo entre los puntos (la distancia intrínseca en una esfera) y es proporcional a la medida del ángulo central formado por los dos puntos y el centro de la esfera.

Un círculo máximo es el círculo más grande que se puede dibujar en cualquier esfera determinada. Cualquier diámetro de cualquier círculo máximo coincide con un diámetro de la esfera, y por tanto todo círculo máximo es concéntrico con la esfera y comparte el mismo radio . Cualquier otro círculo de la esfera se llama círculo pequeño , y es la intersección de la esfera con un plano que no pasa por su centro. Los círculos pequeños son el análogo en geometría esférica de los círculos en el espacio euclidiano.

Cada círculo en el espacio tridimensional euclidiano es un círculo máximo de exactamente una esfera.

El disco delimitado por un círculo máximo se llama gran disco : es la intersección de una bola y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los círculos máximos de la n -esfera son la intersección de la n -esfera con 2 planos que pasan por el origen en el espacio euclidiano R ^{n + 1} .

Derivación de caminos más cortos.

Para demostrar que el arco menor de un círculo máximo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones .

Considere la clase de todos los caminos regulares de un punto a otro punto . Introduce coordenadas esféricas de modo que coincida con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no interseque a ninguno de los polos, excepto posiblemente en los puntos finales, puede parametrizarse mediante ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

siempre que permitamos tomar valores reales arbitrarios. La longitud del arco infinitesimal en estas coordenadas es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Entonces la longitud de una curva desde a es una funcional de la curva dada por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Según la ecuación de Euler-Lagrange , se minimiza si y sólo si ${\displaystyle S[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$,

donde es una constante independiente, y ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

De la primera ecuación de estas dos, se puede obtener que

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Integrando ambos lados y considerando la condición de frontera, la solución real de es cero. Por lo tanto, y puede tener cualquier valor entre 0 y , lo que indica que la curva debe estar en un meridiano de la esfera. En un sistema de coordenadas cartesiano , esto es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \phi '=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

que es un plano que pasa por el origen, es decir, el centro de la esfera.

Aplicaciones

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste , el ecuador celeste y la eclíptica . Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie terrestre para la navegación aérea o marítima (aunque no se trata de una esfera perfecta ), así como en cuerpos celestes esferoidales .

El ecuador de la Tierra idealizada es un círculo máximo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un círculo máximo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático . Un círculo máximo divide la tierra en dos hemisferios y si un círculo máximo pasa por un punto debe pasar por su punto antípoda .

La transformada Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.

Ver también

• Gran elipse
• Línea de rumbo

Referencias

1. W., Weisstein, Eric. "Gran Círculo - de Wolfram MathWorld". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de septiembre de 2022 .{{cite web}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. Weintrit, Adán; Kopcz, Piotr (2014). Loxódromo (Línea de rumbo), Ortodromo (Gran Círculo), Gran Elipse y Línea Geodésica (Geodésica) en Navegación. EE.UU.: CRC Press, Inc. ISBN 978-1-138-00004-9.

enlaces externos

• Gran Círculo: de la descripción, figuras y ecuaciones del Gran Círculo de MathWorld. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Grandes círculos en el gráfico de Mercator de John Snyder con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Pratik Desai y Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project .