Distancia geográfica

Distancia medida a lo largo de la superficie de la Tierra.

Vista desde el Jura de Suabia hasta los Alpes

La distancia geográfica o distancia geodésica es la distancia medida a lo largo de la superficie de la Tierra , o la longitud del arco más corto.

Las fórmulas de este artículo calculan distancias entre puntos que están definidos por coordenadas geográficas en términos de latitud y longitud . Esta distancia es un elemento para resolver el segundo problema geodésico (inverso) .

Introducción

El cálculo de la distancia entre coordenadas geográficas se basa en cierto nivel de abstracción; no proporciona una distancia exacta , lo cual es inalcanzable si se intentara explicar cada irregularidad en la superficie de la Tierra. ^[1] Las abstracciones comunes para la superficie entre dos puntos geográficos son:

• Superficie plana;
• Superficie esférica;
• Superficie elipsoidal.

Todas las abstracciones anteriores ignoran los cambios de elevación. En este artículo no se analiza el cálculo de distancias que tienen en cuenta los cambios de elevación con respecto a la superficie idealizada.

Nomenclatura

La distancia del arco es la distancia mínima a lo largo de la superficie de la esfera/elipsoide calculada entre dos puntos, y . Mientras que la distancia del túnel, o longitud de la cuerda, se mide a lo largo de una línea recta cartesiana. Las coordenadas geográficas de los dos puntos, como pares (latitud, longitud), son y respectivamente. Cuál de los dos puntos se designa no es importante para el cálculo de la distancia. ${\displaystyle D,\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$ ${\displaystyle P_{2}\,\!}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$ ${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$ ${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$ ${\displaystyle P_{1}\,\!}$

Las coordenadas de latitud y longitud en los mapas generalmente se expresan en grados . En las formas dadas de las fórmulas siguientes, uno o más valores deben expresarse en las unidades especificadas para obtener el resultado correcto. Cuando se utilizan coordenadas geográficas como argumento de una función trigonométrica, los valores pueden expresarse en cualquier unidad angular compatible con el método utilizado para determinar el valor de la función trigonométrica. Muchas calculadoras electrónicas permiten cálculos de funciones trigonométricas ya sea en grados o radianes . El modo calculadora debe ser compatible con las unidades utilizadas para las coordenadas geométricas.

Las diferencias en latitud y longitud se etiquetan y calculan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

No es importante si el resultado es positivo o negativo cuando se utiliza en las fórmulas siguientes.

La "latitud media" está etiquetada y calculada de la siguiente manera:

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

La colatitud está etiquetada y calculada de la siguiente manera:

Para latitudes expresadas en radianes:

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi ;\,\!}$

Para latitudes expresadas en grados:

${\displaystyle \theta =90^{\circ }-\phi .\,\!}$

A menos que se especifique lo contrario, el radio de la Tierra para los cálculos siguientes es:

${\displaystyle R\,\!}$= 6.371,009 kilómetros = 3.958,761 millas terrestres = 3.440,069 millas náuticas .

${\displaystyle D_{\,}\!}$= Distancia entre los dos puntos, medida a lo largo de la superficie de la Tierra y en las mismas unidades que el valor utilizado para el radio, a menos que se especifique lo contrario.

Singularidades y discontinuidad de latitud/longitud.

La longitud tiene singularidades en los polos (la longitud no está definida) y una discontinuidad en el meridiano de ± 180° . Además, las proyecciones planas de los círculos de latitud constante son muy curvadas cerca de los polos. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores para la latitud/longitud del delta ( , ) y la latitud media ( ) pueden no dar la respuesta esperada para posiciones cercanas a los polos o al meridiano de ±180°. Considere, por ejemplo, el valor de ("desplazamiento este") cuando y están a ambos lados del meridiano ±180°, o el valor de ("latitud media") para las dos posiciones ( =89°, =45°) y ( = 89°, =-135°). ${\displaystyle \Delta \phi \!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \Delta \lambda \!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$ ${\displaystyle \phi _{1}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\!}$ ${\displaystyle \phi _{2}\!}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\!}$

Si un cálculo basado en latitud/longitud fuera válido para todas las posiciones de la Tierra, se debería verificar que la discontinuidad y los polos se manejan correctamente. Otra solución es utilizar n -vector en lugar de latitud/longitud, ya que esta representación no tiene discontinuidades ni singularidades.

Fórmulas de superficie plana

Una aproximación plana de la superficie de la Tierra puede resultar útil en distancias pequeñas. La precisión de los cálculos de distancia que utilizan esta aproximación se vuelve cada vez más inexacta a medida que:

• La separación entre los puntos se hace mayor;
• Un punto se acerca a un polo geográfico.

La distancia más corta entre dos puntos en el plano es una recta cartesiana. El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la distancia entre puntos en un plano. Incluso si se omite la conversión entre longitudes de arco y cuerda que se muestra a continuación, se aproxima a la longitud del arco, , en el caso de que sea pequeña o y sean pequeñas. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \phi _{\textrm {m}}}$

Incluso en distancias cortas, la precisión de los cálculos de distancias geográficas que suponen una Tierra plana depende del método mediante el cual se proyectaron las coordenadas de latitud y longitud en el plano. La proyección de las coordenadas de latitud y longitud en un plano es el ámbito de la cartografía .

Las fórmulas presentadas en esta sección proporcionan distintos grados de precisión.

Tierra esférica proyectada a un avión

Esta fórmula tiene en cuenta la variación de la distancia entre meridianos con la latitud:

${\displaystyle D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}},}$

dónde:

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$y están en radianes; ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$debe estar en unidades compatibles con el método utilizado para determinar ${\displaystyle \cos(\phi _{\mathrm {m} }).\,\!}$

Para convertir latitud o longitud a radianes utilice

${\displaystyle 1^{\circ }=(\pi /180)\,\mathrm {radians} .}$

Esta aproximación es muy rápida y produce resultados bastante precisos para distancias pequeñas ^{[ cita requerida ]} . Además, al ordenar ubicaciones por distancia, como en una consulta de base de datos, es más rápido ordenar por distancia al cuadrado, lo que elimina la necesidad de calcular la raíz cuadrada.

Tierra elipsoidal proyectada a un plano

La fórmula anterior se amplía para la Tierra elipsoidal: ^[2]

${\displaystyle D={\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}},}$

donde y son los radios de curvatura meridional y perpendicular o "normal " de la Tierra . Consulte también " Conversión de coordenadas geográficas " para conocer sus fórmulas. ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

La fórmula de la FCC

La FCC prescribe las siguientes fórmulas para distancias que no excedan los 475 kilómetros (295 millas): ^[3]

${\displaystyle D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

dónde

${\displaystyle D\,\!}$= Distancia en kilómetros;

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$y están en grados; ${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$debe estar en unidades compatibles con el método utilizado para determinar ${\displaystyle \cos(\phi _{\mathrm {m} });\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!}$

Donde y están en unidades de kilómetros por grado de arco. Se derivan de los radios de curvatura de la Tierra de la siguiente manera: ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= kilómetros por arco grado de diferencia de latitud;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= kilómetros por grado de arco de diferencia de longitud;

Tenga en cuenta que las expresiones en la fórmula de la FCC se derivan del truncamiento de la forma de expansión de la serie binomial de y , establecida en el elipsoide de referencia de Clarke 1866 . Para una implementación computacional más eficiente de la fórmula anterior, se pueden reemplazar múltiples aplicaciones del coseno con una sola aplicación y el uso de la relación de recurrencia para los polinomios de Chebyshev . ${\displaystyle M\,\!}$ ${\displaystyle N\,\!}$

Fórmula de Tierra plana en coordenadas polares

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

donde los valores de colatitud están en radianes. Para una latitud medida en grados, la colatitud en radianes se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

Fórmulas de superficie esférica

Si uno está dispuesto a aceptar un posible error del 0,5%, puede utilizar fórmulas de trigonometría esférica en la esfera que mejor se aproxima a la superficie de la Tierra.

La distancia más corta a lo largo de la superficie de una esfera entre dos puntos de la superficie es a lo largo del círculo máximo que contiene los dos puntos.

El artículo sobre la distancia del círculo máximo proporciona la fórmula para calcular la longitud del arco más corto en una esfera del tamaño de la Tierra. Ese artículo incluye un ejemplo del cálculo. Por ejemplo, desde la distancia del túnel , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.}$

Para distancias cortas ( ), ${\displaystyle D\ll R}$

${\displaystyle D=D_{\textrm {t}}+{\frac {D_{\textrm {t}}}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots .}$

Distancia del túnel

Un túnel entre puntos de la Tierra está definido por una línea cartesiana que atraviesa el espacio tridimensional entre los puntos de interés. La distancia del túnel es la longitud de la cuerda del círculo máximo y se puede calcular de la siguiente manera para la esfera unitaria correspondiente: ${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {X}=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\&\Delta {Y}=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\&\Delta {Z}=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\&D_{\textrm {t}}=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

O

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\textrm {t}}&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Fórmulas de superficie elipsoidal

Geodésica sobre un elipsoide achatado

Un elipsoide se aproxima a la superficie de la Tierra mucho mejor que una esfera o una superficie plana. La distancia más corta a lo largo de la superficie de un elipsoide entre dos puntos de la superficie es a lo largo de la geodésica . Las geodésicas siguen caminos más complicados que los grandes círculos y, en particular, normalmente no regresan a sus posiciones iniciales después de una vuelta a la Tierra. Esto se ilustra en la figura de la derecha, donde f se toma como 1/50 para acentuar el efecto. Encontrar la geodésica entre dos puntos de la Tierra, el llamado problema geodésico inverso , fue el foco de muchos matemáticos y geodesistas a lo largo de los siglos XVIII y XIX con importantes contribuciones de Clairaut , ^[4] Legendre , ^[5] Bessel . , ^[6] y Helmert . ^[7] Rapp ^[8] proporciona un buen resumen de este trabajo.

Los métodos para calcular la distancia geodésica están ampliamente disponibles en sistemas de información geográfica , bibliotecas de software, utilidades independientes y herramientas en línea. El algoritmo más utilizado es el de Vincenty , ^[9] quien utiliza una serie que tiene una precisión de tercer orden en el aplanamiento del elipsoide, es decir, alrededor de 0,5 mm; sin embargo, el algoritmo no logra converger en puntos que son casi antípodas . (Para más detalles, consulte las fórmulas de Vincenty .) Este defecto se soluciona con el algoritmo dado por Karney, ^[10] que emplea series que tienen una precisión de sexto orden en el aplanamiento. Esto da como resultado un algoritmo que tiene una precisión doble y que converge para pares arbitrarios de puntos de la Tierra. Este algoritmo está implementado en GeographicLib. ^[11]

Los métodos exactos anteriores son factibles al realizar cálculos en una computadora. Están destinados a ofrecer precisión milimétrica en líneas de cualquier longitud; se pueden usar fórmulas más simples si no se necesita precisión milimétrica, o si se necesita precisión milimétrica pero la línea es corta.

Varios investigadores han estudiado los métodos de línea corta. Rapp, ^[12] Cap. 6, describe el método Puissant , el método Gauss de latitudes medias y el método Bowring. ^[13] Karl Hubeny ^[14] obtuvo la serie ampliada de Gauss de latitud media representada como la corrección a la de superficie plana.

Fórmula de Lambert para colas largas

Las fórmulas de Lambert ^[15] dan una precisión del orden de 10 metros en miles de kilómetros. Primero convierta las latitudes de los dos puntos a latitudes reducidas , ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$

${\displaystyle \tan \beta =(1-f)\tan \phi ,}$

¿ Dónde está el aplanamiento ? Luego calcula el ángulo central en radianes entre dos puntos y en una esfera usando el método de distancia del círculo máximo ( fórmula de Haversine ), siendo las longitudes y las mismas en la esfera que en el esferoide. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$ ${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\;}$ ${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle \mathrm {distance} =a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$

¿Dónde está el radio ecuatorial del esferoide elegido? ${\displaystyle a}$

En el esferoide GRS 80, la fórmula de Lambert está desviada por

0 Norte 0 Oeste a 40 Norte 120 Oeste, 12,6 metros

0N 0W a 40N 60W, 6,6 metros

40N 0W a 40N 60W, 0,85 metros

Método de Gauss de latitud media para líneas cortas

Tiene la forma de la longitud del arco convertida a partir de la distancia del túnel. Rapp proporciona fórmulas detalladas, ^[12] §6.4.

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi }{2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)^{2}}}.}$

Método de Bowring para líneas cortas.

Bowring asigna los puntos a una esfera de radio R′ , con latitud y longitud representadas como φ′ y λ′. Definir

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

donde la segunda excentricidad al cuadrado es

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

El radio esférico es

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

(La curvatura gaussiana del elipsoide en φ ₁ es 1/ R′ ² .) Las coordenadas esféricas están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi }{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

dónde , , , . El problema resultante en la esfera se puede resolver utilizando técnicas de navegación en círculo máximo para dar aproximaciones de la distancia esferoidal y el rumbo. ^{Rapp, [12]} §6.5 y Bowring proporcionan fórmulas detalladas . ^[13] ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$ ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$

Corrección de altitud

La variación de altitud desde el nivel topográfico o del suelo hasta la superficie de la esfera o elipsoide también cambia la escala de las mediciones de distancia. ^[16] La distancia inclinada s ( longitud de la cuerda ) entre dos puntos se puede reducir a la longitud del arco en la superficie elipsoide S como: ^[17]

${\displaystyle S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s}$

donde R se evalúa a partir del radio de curvatura azimutal de la Tierra y h son las alturas elipsoidales de cada punto. El primer término en el lado derecho de la ecuación representa la elevación media y el segundo término representa la inclinación. Una reducción adicional de la longitud de la sección normal de la Tierra a la longitud geodésica elipsoidal es a menudo insignificante. ^[17]

Ver también

• Medición de arco
• Radio de la Tierra
• Tierra esférica
• Distancia del gran círculo
• Navegación en círculo máximo
• Distancia de muestra del suelo
• Las fórmulas de Vincenty
• arco meridiano
• Escala (mapa)

Referencias

1. "La Sociedad Cartográfica Británica> ¿Cuánto mide la costa del Reino Unido?". Archivado desde el original el 22 de mayo de 2012 . Consultado el 6 de diciembre de 2008 .
2. Williams, E. (2002). «Navegación sobre la tierra esferoidal» . Consultado el 28 de noviembre de 2023 .
3. "Puntos de referencia y cálculos de distancia" (PDF) . Código de Regulaciones Federales (Edición Anual). Título 47: Telecomunicaciones . 73 (208). 1 de octubre de 2016 . Consultado el 8 de noviembre de 2017 .
4. Claraut, CA (1735). "Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini" [Determinación geométrica de la perpendicular al meridiano dibujada por Jacques Cassini]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 (en francés): 406–416.
5. Legendre, AM (1806). "Analyse des Triangles tracées sur la Surface d'un sphéroïde" [Análisis de triángulos esferoidales]. Mémoires de l'Institut National de France (en francés) (primer semestre): 130–161.
6. Bessel, FW (2010) [1825]. "El cálculo de longitud y latitud a partir de mediciones geodésicas". Astronomische Nachrichten . 331 (8). . Traducido por CFF Karney y RE Deakin: 852–861. arXiv : 0908.1824 . Código Bib : 2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590. Traducción al inglés de Astron. Nachr. 4, 241–254 (1825). Erratas. {{cite journal}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
7. Helmert, FR (1964) [1880]. Teorías matemáticas y físicas de la geodesia superior. vol. 1. St. Louis: Centro de información y cartas aeronáuticas. Traducción al inglés de Die Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, vol. 1 (Teubner, Leipzig, 1880). {{cite book}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
8. Rapp, RH (marzo de 1993). Geodesia geométrica, Parte II (Informe técnico). Universidad del Estado de Ohio . Consultado el 1 de agosto de 2011 .
9. Vincenty, T. (abril de 1975). «Soluciones Directas e Inversas de Geodésicas sobre el Elipsoide con aplicación de ecuaciones anidadas» (PDF) . Revisión de la encuesta . 23 (176): 88–93. doi :10.1179/sre.1975.23.176.88 . Consultado el 11 de julio de 2009 . Anexo: Revisión de la encuesta 23 (180): 294 (1976).{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
10. Karney, CFF (2013). "Algoritmos para geodésicas". Revista de Geodesia . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Código Bib : 2013JGeod..87...43K. doi :10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141 (acceso abierto). Adenda. {{cite journal}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
11. Karney, CFF (2013). "Libregrafía". 1.32.
12. Rapp, R, H (1991). Geodesia geométrica, parte I (Reporte). Universidad de inicio de Ohio. hdl :1811/24333.{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Bowring, BR (1981). "Los problemas directo e inverso de líneas geodésicas cortas en el elipsoide". Topografía y cartografía . 41 (2): 135-141.
14. Hubeny, K. (1954). Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln, Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen.
15. Lambert, WD (1942). "La distancia entre dos puntos muy separados de la superficie de la tierra". J. Academia de Ciencias de Washington . 32 (5): 125-130.
16. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de agosto de 2014 . Consultado el 26 de agosto de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
17. Torge & Müller (2012) Geodesia, De Gruyter, p.249

enlaces externos

• Una calculadora geodésica en línea (basada en GeographicLib).
• Una bibliografía geodésica en línea.