trigonometría esférica

La trigonometría esférica es la rama de la geometría esférica que se ocupa de las relaciones métricas entre los lados y ángulos de triángulos esféricos , tradicionalmente expresadas mediante funciones trigonométricas . En la esfera , las geodésicas son círculos máximos . La trigonometría esférica es de gran importancia para los cálculos en astronomía , geodesia y navegación .

Los orígenes de la trigonometría esférica en las matemáticas griegas y los principales avances en las matemáticas islámicas se analizan detalladamente en Historia de la trigonometría y Matemáticas en el Islam medieval . El tema llegó a buen término en la época moderna temprana con importantes desarrollos de John Napier , Delambre y otros, y alcanzó una forma esencialmente completa a finales del siglo XIX con la publicación del libro de texto de Todhunter Trigonometría esférica para el uso de colegios y escuelas . ^[1] Desde entonces, avances significativos han sido la aplicación de métodos vectoriales, métodos de cuaterniones y el uso de métodos numéricos.

Preliminares

Polígonos esféricos

Un polígono esférico es un polígono en la superficie de la esfera. Sus lados son arcos de círculos máximos , el equivalente en geometría esférica a los segmentos de línea en la geometría plana .

Estos polígonos pueden tener cualquier número de lados mayor que 1. Los polígonos esféricos de dos lados ( lunes , también llamados digones o bi-ángulos) están delimitados por dos arcos de círculo máximo: un ejemplo familiar es la superficie curvada de un segmento que mira hacia afuera. de una naranja. Tres arcos sirven para definir un triángulo esférico, tema principal de este artículo. Los polígonos con mayor número de lados (cuadriláteros esféricos de 4 lados, pentágonos esféricos de 5 lados, etc.) se definen de manera similar. De manera análoga a sus homólogos planos, los polígonos esféricos con más de 3 lados siempre pueden considerarse como la composición de triángulos esféricos.

Un polígono esférico con propiedades interesantes es el pentagramma mirificum , un polígono estrella esférico de cinco lados con un ángulo recto en cada vértice.

A partir de este punto del artículo, la discusión se limitará a los triángulos esféricos, denominados simplemente triángulos .

Notación

Tanto los vértices como los ángulos en los vértices de un triángulo se indican con las mismas letras mayúsculas $A$ , $B$ y $C.$
Los lados se indican con letras minúsculas: $a$ , $b$ y $c$ .
El ángulo $A$ (respectivamente, $B$ y $C$ ) puede considerarse como el ángulo entre los dos planos que cortan la esfera en el vértice A $o$ , de manera equivalente, como el ángulo entre las tangentes de los arcos de círculo máximo donde se encuentran en el punto final. vértice.
Los ángulos se expresan en radianes . Los ángulos de triángulos esféricos propios son (por convención) menores que $π$ , de modo que $\pi <A+B+C<3\pi$ (Todhunter, ^[1] Art.22,32).

En particular, la suma de los ángulos de un triángulo esférico es estrictamente mayor que la suma de los ángulos de un triángulo definido en el plano euclidiano, que siempre es exactamente $π$ radianes.

Los lados también se expresan en radianes. Un lado (considerado como un arco de círculo máximo) se mide por el ángulo que subtiende en el centro. En la esfera unitaria, esta medida en radianes es numéricamente igual a la longitud del arco. Por convención, los lados de triángulos esféricos propios son menores que $π$ , de modo que $0<a+b+c<2\pi$ (Todhunter, ^[1] Art.22,32).
El radio de la esfera se toma como unidad. Para problemas prácticos específicos en una esfera de radio $R$ , las longitudes medidas de los lados deben dividirse por $R$ antes de usar las identidades que se indican a continuación. Asimismo, después de un cálculo en la esfera unitaria, los lados a $,$ b $y$ c $deben$ multiplicarse por $R.$

Triángulos polares

El triángulo polar asociado a un triángulo $△ ABC$ se define de la siguiente manera. Considere el círculo máximo que contiene el lado $BC$ . Este círculo máximo está definido por la intersección de un plano diametral con la superficie. Dibuje la normal a ese plano en el centro: intersecta la superficie en dos puntos y el punto que está en el mismo lado del plano que $A$ se denomina (convencionalmente) polo de $A$ y se denota por $A'$ . Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar.

El triángulo $△ A'B'C'$ es el triángulo polar correspondiente al triángulo $△ ABC$ . Un teorema muy importante (Todhunter, ^[1] Art.27) demuestra que los ángulos y lados del triángulo polar están dados por

{\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'& =\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}

△ ABC

Reglas del coseno y reglas del seno.

reglas del coseno

La regla del coseno es la identidad fundamental de la trigonometría esférica: todas las demás identidades, incluida la regla del seno, pueden derivarse de la regla del coseno:

{\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a \cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}

Estas identidades generalizan la regla del coseno de la trigonometría plana , a la que son asintóticamente equivalentes en el límite de los ángulos interiores pequeños. (En la esfera unitaria, si está establecida , etc.; consulte Ley esférica de los cosenos ). $a,b,c\rightarrow 0$ $\sin a\aproximadamente a$ $(\cos a-\cos b)^{2}\aprox 0$

Reglas del seno

La ley esférica de los senos viene dada por la fórmula

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.

la trigonometría

Derivación de la regla del coseno

Las fórmulas del coseno esférico fueron probadas originalmente mediante la geometría elemental y la regla del coseno plano (Todhunter, ^[1] Art.37). También da una derivación utilizando geometría de coordenadas simple y la regla del coseno plano (Art.60). El enfoque descrito aquí utiliza métodos vectoriales más simples . (Estos métodos también se analizan en Ley esférica de los cosenos ).

Considere tres vectores unitarios $OA \to, OB \to, OC \to$ dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo (en la esfera unitaria). El arco $BC$ subtiende un ángulo de magnitud $a$ en el centro y por tanto $OB \to \cdot OC \to = cos a$ . Introduzca una base cartesiana con $OA \to$ a lo largo del eje $z$ y $OB \to$ en el plano $xz$ formando un ángulo $c$ con el eje $z$ . El vector $OC \to$ se proyecta a $ON$ en el plano $xy$ y el ángulo entre $ON$ y el eje $x$ es $A.$ Por tanto, los tres vectores tienen componentes:

{\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}

El producto escalar $OB \to \cdot OC \to$ en términos de los componentes es

{\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.

\cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.

Las otras reglas del coseno se obtienen mediante permutaciones cíclicas.

Derivación de la regla del seno

Esta derivación se da en Todhunter, ^[1] (Art.40). De la identidad y la expresión explícita para $cos$ $A$ dada inmediatamente arriba $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$

{\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}

a

b

c

Derivaciones alternativas

Hay muchas formas de derivar las reglas fundamentales del coseno y del seno y otras reglas que se desarrollan en las siguientes secciones. Por ejemplo, Todhunter ^[1] da dos pruebas de la regla del coseno (artículos 37 y 60) y dos pruebas de la regla del seno (artículos 40 y 42). La página sobre la ley esférica de los cosenos ofrece cuatro pruebas diferentes de la regla del coseno. Los libros de texto sobre geodesia ^[2] y astronomía esférica ^[3] ofrecen diferentes pruebas y los recursos en línea de MathWorld ofrecen aún más. ^[4] Hay derivaciones aún más exóticas, como la de Banerjee ^[5] que deriva las fórmulas utilizando el álgebra lineal de matrices de proyección y también cita métodos en geometría diferencial y la teoría de grupos de rotaciones.

La derivación de la regla del coseno presentada anteriormente tiene las ventajas de ser simple y directa, y la derivación de la regla del seno enfatiza el hecho de que no se requiere ninguna prueba separada aparte de la regla del coseno. Sin embargo, la geometría anterior puede usarse para dar una prueba independiente de la regla del seno. El triple producto escalar , $OA \to \cdot (OB \to \times OC \to)$ se evalúa como $sen b sen c sen A$ en la base que se muestra. De manera similar, en una base orientada con el eje z a lo largo $de$ $OB \to$ , el producto triple $OB \to \cdot (OC \to \times OA \to)$ , se evalúa como $sin c sin a sin B.$ Por lo tanto, la invariancia del producto triple bajo permutaciones cíclicas da $sen b sen A = sen a sen B$ , que es la primera de las reglas del seno. Vea variaciones curvas de la ley de los senos para ver detalles de esta derivación.

Identidades

Reglas suplementarias del coseno

Aplicando las reglas del coseno al triángulo polar se obtiene (Todhunter, ^[1] Art.47), es decir , reemplazando $A$ por $π - a$ , $a$ por $π - A$ , etc.,

{\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}

Fórmulas cotangentes de cuatro partes

Las seis partes de un triángulo se pueden escribir en orden cíclico como ( $aCbAcB$ ). Las fórmulas cotangentes, o de cuatro partes, relacionan dos lados y dos ángulos formando cuatro partes consecutivas alrededor del triángulo, por ejemplo ( $aCbA$ ) o $BaCb$ ). En tal conjunto hay partes internas y externas: por ejemplo en el conjunto ( $BaCb$ ) el ángulo interno es $C$ , el lado interno es $a$ , el ángulo externo es $B$ , el lado externo es $b$ . La regla de la cotangente puede escribirse como (Todhunter, ^[1] Art.44)

\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},

{\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}

cos c

{\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}

sin a sin b

Fórmulas de medio ángulo y medio lado

Con y $2s=(a+b+c)$ $2S=(A+B+C),$

{\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}

Otras doce identidades siguen por permutación cíclica.

La demostración (Todhunter, ^[1] Art.49) de la primera fórmula parte de la identidad utilizando la regla del coseno para expresar $A$ en términos de los lados y sustituyendo la suma de dos cosenos por un producto. (Ver identidades de suma a producto ). La segunda fórmula comienza desde la identidad, la tercera es un cociente y el resto sigue aplicando los resultados al triángulo polar. $2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,$ $2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,$

Analogías de Delambre

Las analogías de Delambre (también llamadas analogías de Gauss) fueron publicadas de forma independiente por Delambre, Gauss y Mollweide en 1807-1809. ^[6]

{\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}

Se demuestra ampliando los numeradores y utilizando las fórmulas del medio ángulo. (Todhunter, ^[1] Art.54 y Delambre ^[7] )

Las analogías de Napier

{\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}

Otras ocho identidades siguen por permutación cíclica.

Estas identidades se siguen por división de las fórmulas de Delambre. (Todhunter, ^[1] artículo 52)

Al tomar los cocientes de estos se obtiene la ley de las tangentes , enunciada por primera vez por el matemático persa Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274),

{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}

Reglas de Napier para triángulos esféricos rectángulos

Cuando uno de los ángulos, digamos $C$ , de un triángulo esférico es igual a $π$ /2, las diversas identidades dadas anteriormente se simplifican considerablemente. Hay diez identidades que relacionan tres elementos elegidos del conjunto $a$ , $b$ , $c$ , $A$ y $B.$

Napier ^[8] proporcionó una elegante ayuda mnemónica para las diez ecuaciones independientes: la mnemónica se llama círculo de Napier o pentágono de Napier (cuando el círculo en la figura anterior, a la derecha, se reemplaza por un pentágono).

Primero, escribe las seis partes del triángulo (tres ángulos de vértice, tres ángulos de arco para los lados) en el orden en que aparecen alrededor de cualquier circuito del triángulo: para el triángulo que se muestra arriba a la izquierda, en el sentido de las agujas del reloj, comenzando con $a,$ se obtiene $aCbAcB$ . Luego reemplace las partes que no son adyacentes a $C$ (es decir, $A$ , $c$ y $B$ ) por sus complementos y luego elimine el ángulo $C$ de la lista. Las partes restantes se pueden dibujar como cinco sectores iguales y ordenados de un pentagrama o círculo, como se muestra en la figura de arriba (derecha). Para cualquier elección de tres partes contiguas, una (la parte central ) será adyacente a dos partes y opuesta a las otras dos. Las diez reglas de Napier están dadas por

seno de la parte media = el producto de las tangentes de las partes adyacentes
seno de la parte media = el producto de los cosenos de las partes opuestas

La clave para recordar qué función trigonométrica corresponde a cada parte es mirar la primera vocal del tipo de parte: las partes intermedias toman el seno, las partes adyacentes toman la tangente y las partes opuestas toman el coseno. Por ejemplo, comenzando con el sector que contiene $a$ tenemos:

{\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}

^[1]

{\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}

Reglas de Napier para triángulos cuadrantales

Un triángulo esférico cuadrantal se define como un triángulo esférico en el que uno de los lados subtiende un ángulo de $π$ /2 radianes en el centro de la esfera: en la esfera unitaria, el lado tiene una longitud de $π$ /2. En el caso de que el lado $c$ tenga longitud $π$ /2 en la esfera unitaria, las ecuaciones que rigen los lados y ángulos restantes se pueden obtener aplicando las reglas para el triángulo rectángulo esférico de la sección anterior al triángulo polar $△ A'B'C '$ con lados $a', b', c'$ tales que $A' = π - a$ , $a' = π - A$ etc. Los resultados son:

{\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}

Reglas de cinco partes

Sustituyendo la segunda regla del coseno en la primera y simplificando se obtiene:

{\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}

sen c

\cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A

Sustituciones similares en otras fórmulas de cosenos y cosenos suplementarios dan una gran variedad de reglas de 5 partes. Rara vez se utilizan.

Ecuación de Cagnoli

Multiplicar la primera regla del coseno por $cos A$ da

\cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.

cos a

\cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.

\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a

\sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a

^[9]

Solución de triángulos

Triángulos oblicuos

La solución de triángulos es el objetivo principal de la trigonometría esférica: dados tres, cuatro o cinco elementos del triángulo, determinar los demás. El caso de cinco elementos dados es trivial y requiere sólo una única aplicación de la regla del seno. Para cuatro elementos dados hay un caso no trivial, que se analiza a continuación. Para tres elementos dados hay seis casos: tres lados, dos lados y un ángulo incluido u opuesto, dos ángulos y un lado incluido u opuesto, o tres ángulos. (El último caso no tiene análogo en la trigonometría plana). Ningún método resuelve todos los casos. La siguiente figura muestra los siete casos no triviales: en cada caso los lados dados están marcados con una barra transversal y los ángulos dados con un arco. (Los elementos dados también se enumeran debajo del triángulo). En la notación resumida aquí, como ASA, A se refiere a un ángulo dado y S se refiere a un lado dado, y la secuencia de A y S en la notación se refiere a la secuencia correspondiente en el triángulo.

Caso 1: tres lados dados (SSS). Se puede utilizar la regla del coseno para obtener los ángulos $A$ , $B$ y $C$ pero, para evitar ambigüedades, se prefieren las fórmulas del medio ángulo.
Caso 2: dos lados y un ángulo incluido dado (SAS). La regla del coseno da $a$ y luego volvemos al Caso 1.
Caso 3: dos lados y un ángulo opuesto dado (SSA). La regla del seno da $C$ y luego tenemos el Caso 7. Hay una o dos soluciones.
Caso 4: dos ángulos y un lado incluido dado (ASA). Las fórmulas cotangentes de cuatro partes para conjuntos ( $cBaC$ ) y ( $BaCb$ ) dan $c$ y $b$ , luego $A$ se sigue de la regla del seno.
Caso 5: dos ángulos y un lado opuesto dado (AAS). La regla del seno da $by$ luego tenemos el Caso 7 (rotado). Hay una o dos soluciones.
Caso 6: tres ángulos dados (AAA). Se puede utilizar la regla del coseno suplementario para obtener los lados $a$ , $byc$ pero, para evitar ambigüedades, se $prefieren$ las fórmulas de los medios lados.
Caso 7: dos ángulos y dos lados opuestos dados (SSAA). Utilice las analogías de Napier para $a$ y $A$ ; o utilice el caso 3 (SSA) o el caso 5 (AAS).

Los métodos de solución enumerados aquí no son las únicas opciones posibles: son posibles muchas otras. En general, es mejor elegir métodos que eviten tomar un seno inverso debido a la posible ambigüedad entre un ángulo y su suplemento. A menudo se recomienda el uso de fórmulas de semiángulos porque los semiángulos serán menores que $π$ /2 y, por lo tanto, estarán libres de ambigüedad. Hay una discusión completa en Todhunter. El artículo Solución de triángulos#Resolver triángulos esféricos presenta variantes de estos métodos con una notación ligeramente diferente.

Hay una discusión completa sobre la solución de triángulos oblicuos en Todhunter. ^[1]^{: Cap. VI} Véase también la discusión en Ross. ^[10]

Solución por triángulos rectángulos

Otro método consiste en dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos. Por ejemplo, tomemos el ejemplo del Caso 3 donde se dan $b$ , $c$ y $B.$ Construya el círculo máximo desde $A$ que sea normal al lado $BC$ en el punto $D.$ Usa las reglas de Napier para resolver el triángulo $△ ABD$ : usa $c$ y $B$ para encontrar los lados $AD$ y $BD$ y el ángulo $∠ BAD$ . Luego usa las reglas de Napier para resolver el triángulo $△ ACD$ : es decir, usa $AD$ y $b$ para encontrar el lado $DC$ y los ángulos $C$ y $∠ DAC$ . El ángulo $A$ y el lado $a$ se siguen por suma.

Consideraciones numéricas

No todas las reglas obtenidas son numéricamente robustas en ejemplos extremos, por ejemplo cuando un ángulo tiende a cero o $π$ . Es posible que sea necesario examinar cuidadosamente los problemas y las soluciones, especialmente cuando se escribe código para resolver un triángulo arbitrario.

Área y exceso esférico.

Considere un polígono esférico $de$ $N$ lados y sea $An$ el $n$ -ésimo ángulo interior. El área de dicho polígono viene dada por (Todhunter, ^[1] Art.99)

{{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .

Para el caso del triángulo esto se reduce al teorema de Girard.

{{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,

E

π

E

exceso esféricoAlbert Girard^{[11] El matemático inglés}Thomas Harriot

R,

R 2

El resultado inverso puede escribirse como

A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.

Como el área de un triángulo no puede ser negativa, el exceso esférico siempre es positivo. No es necesariamente pequeño, porque la suma de los ángulos puede llegar a 5 $π$ (3 $π$ para ángulos propios ). Por ejemplo, un octante de una esfera es un triángulo esférico con tres ángulos rectos, de modo que el exceso es $π$ /2. En aplicaciones prácticas suele ser pequeño: por ejemplo, los triángulos de los estudios geodésicos suelen tener un exceso esférico mucho menor que 1' de arco. (Rapp ^[12] Clarke, ^[13] Teorema de Legendre sobre triángulos esféricos ). En la Tierra, el exceso de un triángulo equilátero con lados de 21,3 km (y área de 393 km ² ) es aproximadamente 1 segundo de arco.

Hay muchas fórmulas para el exceso. Por ejemplo, Todhunter, ^[1] (Art.101-103) da diez ejemplos, incluido el de L'Huilier :

\tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}

s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)

Debido a que algunos triángulos están mal caracterizados por sus aristas (por ejemplo, si ), a menudo es mejor usar la fórmula para el exceso en términos de dos aristas y su ángulo incluido. ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$

\tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.

Cuando el triángulo $△ ABC$ es un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$ , entonces $cos C = 0$ y $sen C = 1$ , entonces esto se reduce a

\tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.

El déficit de ángulo se define de manera similar para la geometría hiperbólica .

Desde latitud y longitud

El exceso esférico de un cuadrilátero esférico delimitado por el ecuador, los dos meridianos de longitud y el arco de círculo máximo entre dos puntos con longitud y latitud y es $\lambda _{1}$ $\lambda _{2},$ $(\lambda _{1},\varphi _{1})$ $(\lambda _{2},\varphi _{2})$

\tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).

Este resultado se obtiene a partir de una de las analogías de Napier. En el límite donde son todos pequeños, esto se reduce a la conocida zona trapezoidal, . $\varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}$ ${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

El área de un polígono se puede calcular a partir de cuadrángulos individuales del tipo anterior, a partir de (análogamente) triángulos individuales delimitados por un segmento del polígono y dos meridianos, ^[14] mediante una línea integral con el teorema de Green , ^[15] o mediante un proyección de áreas iguales como se hace comúnmente en SIG. Los otros algoritmos aún se pueden usar con las longitudes de los lados calculadas usando una fórmula de distancia de círculo máximo .

Ver también

Referencias

^ abcdefghijklmnop Todhunter, I. (1886). Trigonometría esférica (5ª ed.). MacMillan. Archivado desde el original el 14 de abril de 2020 . Consultado el 28 de julio de 2013 .
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enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Trigonometría esférica". MundoMatemático .una lista más completa de identidades, con algunas derivaciones
Weisstein, Eric W. "Triángulo esférico". MundoMatemático .una lista más completa de identidades, con algunas derivaciones
TriSph Un software gratuito para resolver los triángulos esféricos, configurable para diferentes aplicaciones prácticas y configurado para gnomónicos.
"Revisando la trigonometría esférica con proyectores ortogonales" por Sudipto Banerjee. El artículo deriva la ley esférica de los cosenos y la ley de los senos utilizando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.
"Una prueba visual del teorema de Girard". Proyecto de demostraciones de Wolfram .por Ok Arik
"El Libro de Instrucción sobre Planos Desviados y Planos Simples", un manuscrito en árabe que data de 1740 y habla de trigonometría esférica, con diagramas
Algunos algoritmos para polígonos en una esfera Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. El artículo desarrolla y explica muchas fórmulas útiles, quizás centrándose en la navegación y la cartografía.
Cálculo en línea de triángulos esféricos.