Radián

Unidad de ángulo derivada del SI

El radian , denotado por el símbolo rad , es la unidad de ángulo en el Sistema Internacional de Unidades (SI) y es la unidad estándar de medida angular utilizada en muchas áreas de las matemáticas . Se define de manera que un radian es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco de igual longitud que el radio. ^[2] La unidad era anteriormente una unidad suplementaria del SI y actualmente es una unidad derivada del SI adimensional , ^[2] definida en el SI como 1 rad = 1 ^[3] y expresada en términos de la unidad base del SI metro (m) como rad = metro/metro . ^[4] Generalmente se supone que los ángulos sin unidades especificadas explícitamente se miden en radianes, especialmente en la escritura matemática. ^[5]

Definición

Un radian se define como el ángulo subtendido desde el centro de un círculo que intercepta un arco de igual longitud al radio del círculo. ^[6] De manera más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un ángulo recto es exactamente radianes. ^[7] ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

El ángulo de rotación (360°) correspondiente a una revolución completa es la longitud de la circunferencia dividida por el radio, que es , o 2 π . Por tanto, 2 π  radianes equivalen a 360 grados. ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$

La relación 2 π rad = 360° se puede derivar usando la fórmula para la longitud del arco ,. Dado que el radian es la medida de un ángulo subtendido por un arco de longitud igual al radio del círculo, . Esto se puede simplificar aún más a . Multiplicar ambos lados por 360° da 360° = 2 π rad . ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$

Símbolo de unidad

La Oficina Internacional de Pesas y Medidas ^[7] y la Organización Internacional de Normalización ^[8] especifican rad como símbolo del radian. Los símbolos alternativos que estaban en uso en 1909 son ^c (la letra c en superíndice, para "medida circular"), la letra r o un superíndice ^R , ^[1] pero estas variantes se utilizan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un grado. símbolo (°) o un radio (r). Por tanto, un ángulo de 1,2 radianes se escribiría hoy como 1,2 rad; las notaciones arcaicas podrían incluir 1,2 r, 1,2 ^rad , 1,2 ^c o 1,2 ^R.

En la escritura matemática, a menudo se omite el símbolo "rad". Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se supone que son radianes, y cuando se trata de grados, se utiliza el signo de grado ° .

Análisis dimensional

El ángulo plano se puede definir como θ = s / r , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. Un radian corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 radian = 1 m/m . ^[9] Sin embargo, rad solo debe usarse para expresar ángulos, no para expresar proporciones de longitudes en general. ^[7] Un cálculo similar utilizando el área de un sector circular θ = 2 A / r ² da 1 radian como 1 m ² /m ² . ^[10] El hecho clave es que el radian es una unidad adimensional igual a 1 . En SI 2019, el radian se define en consecuencia como 1 rad = 1 . ^[11] Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de rad = 1 . ^{[4] [12]}

Giacomo Prando escribe que "el estado actual de las cosas conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de ecuaciones físicas". ^[13] Por ejemplo, un objeto que cuelga de una cuerda de una polea subirá o bajará en y = rθ centímetros, donde r es el radio de la polea en centímetros y θ es el ángulo que gira la polea en radianes. Al multiplicar r por θ la unidad de radianes desaparece del resultado. De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que rueda, ω = v / r , los radianes aparecen en las unidades de ω pero no en el lado derecho. ^[14] Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica". ^[15] Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar radianes durante el análisis dimensional y agregar o eliminar radianes en unidades de acuerdo con la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". ^[dieciséis]

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radian debería aparecer explícitamente en cantidades sólo cuando se obtendrían diferentes valores numéricos cuando se utilizaran otras medidas de ángulos, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad /s), aceleración angular (rad/s ² ) y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de par (N⋅m) y momento angular (kg⋅m ² /s). ^[17]

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radian como una unidad de medida base para una cantidad (y dimensión) base de "ángulo plano". ^{[18] [19] [20]} La revisión de propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radianes, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , π r ² . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares". ^[21] Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar las ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impida su uso generalizado. ^[20]

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante η igual a 1 radian inverso (1 rad ⁻¹ ) de una manera similar a la introducción de la constante ε ₀ . ^{[21] [a]} Con este cambio la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, s = rθ , se modifica para convertirse en s = ηrθ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo θ queda: ^{[20] [22]}

$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

Sin^[22]sin _radnúmeros puros^{[23][20] [24]} ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

El SI actual puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades naturales donde se supone que se cumple la ecuación η = 1 , o de manera similar, 1 rad = 1 . Esta convención de radianes permite la omisión de η en fórmulas matemáticas. ^[25]

Definir radianes como unidad base puede resultar útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. ^[26] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades de ángulos con una plane_angledimensión, ^[27] y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión de ángulo. ^{[28] [29]}

Conversiones

Entre grados

Como se dijo, un radianes es igual a . Por lo tanto, para convertir de radianes a grados, multiplique por . ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$ ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$

${\displaystyle {\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

Por el contrario, para convertir de grados a radianes, multiplique por . ${\displaystyle {\pi }/{180^{\circ }}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Los radianes se pueden convertir en vueltas (una vuelta es el ángulo correspondiente a una revolución) dividiendo el número de radianes por 2 π .

Entre gradianes

${\displaystyle 2\pi }$radianes equivale a una vuelta , que por definición son 400 gradianes (400 gons o 400 ^g ). Para convertir de radianes a gradianes multiplica por , y para convertir de gradianes a radianes multiplica por . Por ejemplo, ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$ ${\displaystyle \pi /200^{\text{g}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50^{\text{g}}\cdot {\frac {\pi }{200^{\text{g}}}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

Uso

Matemáticas

Algunos ángulos comunes, medidos en radianes. Todos los polígonos grandes de este diagrama son polígonos regulares .

En cálculo y en la mayoría de las otras ramas de las matemáticas más allá de la geometría práctica , los ángulos se miden en radianes. Esto se debe a que los radianes tienen una naturalidad matemática que conduce a una formulación más elegante de algunos resultados importantes.

Los resultados del análisis que involucra funciones trigonométricas se pueden expresar elegantemente cuando los argumentos de las funciones se expresan en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes conduce a la fórmula límite simple

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

que es la base de muchas otras identidades en matemáticas, incluida

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Debido a estas y otras propiedades, las funciones trigonométricas aparecen en soluciones a problemas matemáticos que no están obviamente relacionados con los significados geométricos de las funciones (por ejemplo, las soluciones a la ecuación diferencial , la evaluación de la integral , etc.). En todos estos casos, se descubre que los argumentos de las funciones se escriben más naturalmente en la forma que corresponde, en contextos geométricos, a la medida de los ángulos en radianes. ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

Las funciones trigonométricas también tienen expansiones en serie simples y elegantes cuando se usan radianes. Por ejemplo, cuando x está en radianes, la serie de Taylor para sen  x se convierte en:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Si x se expresara en grados, entonces la serie contendría factores desordenados que involucran potencias de π /180: si x es el número de grados, el número de radianes es y = π x / 180 , entonces

${\displaystyle \sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Con un espíritu similar, las relaciones matemáticamente importantes entre las funciones seno y coseno y la función exponencial (ver, por ejemplo, la fórmula de Euler ) se pueden establecer elegantemente, cuando los argumentos de las funciones están en radianes (y de otra manera son confusos).

Física

El radianes se usa ampliamente en física cuando se requieren mediciones angulares. Por ejemplo, la velocidad angular normalmente se expresa en radianes por segundo (rad/s). Una revolución por segundo corresponde a 2 π radianes por segundo.

De manera similar, la unidad utilizada para la aceleración angular suele ser radianes por segundo por segundo (rad/s ² ).

A los efectos del análisis dimensional , las unidades de velocidad angular y aceleración angular son s ⁻¹ y s ⁻² respectivamente.

Asimismo, la diferencia de fase de dos ondas también se puede expresar utilizando el radian como unidad. Por ejemplo, si la diferencia de fase de dos ondas es ( n ⋅2 π ) radianes con n es un número entero, se consideran que están en fase , mientras que si la diferencia de fase de dos ondas es ( n ⋅2 π + π ) con En un número entero, se considera que están en antifase.

Los radianes recíprocos o radianes inversos (rad ^-1 ) intervienen en unidades derivadas como metros por radianes (para longitud de onda angular ) o julios por radianes (equivalente a newton-metro ).

Prefijos y variantes

Los prefijos métricos para submúltiplos se utilizan con radianes. Un miliradián (mrad) es una milésima de radian (0,001 rad), es decir, 1 rad = 10 ³ mrad . Hay 2 π × 1000 miliradianes (≈ 6283,185 mrad) en un círculo. Entonces un miliradianes está justo debajo1/6283del ángulo subtendido por un círculo completo. Esta unidad de medida angular de un círculo es de uso común por parte de los fabricantes de miras telescópicas que utilizan telémetro (estadiamétrico) en retículas . La divergencia de los rayos láser también suele medirse en miliradianes.

El mil angular es una aproximación del miliradian utilizado por la OTAN y otras organizaciones militares en artillería y puntería . Cada mil angular representa1/6400de un círculo y es15/8% o 1,875% más pequeño que el miliradian. Para los ángulos pequeños que normalmente se encuentran en el trabajo de puntería, la conveniencia de utilizar el número 6400 en el cálculo supera los pequeños errores matemáticos que introduce. En el pasado, otros sistemas de artillería han utilizado diferentes aproximaciones para1/2000 π; por ejemplo Suecia utilizó el1/6300 Streck y la URSS utilizaron1/6000. Al basarse en los milirradianes, el mil de la OTAN subtiende aproximadamente 1 m en un rango de 1000 m (en ángulos tan pequeños, la curvatura es insignificante).

Los prefijos menores que mili- son útiles para medir ángulos extremadamente pequeños. Microrradianes (μrad,10 ⁻⁶  rad ) y nanoradianes (nrad,10 ⁻⁹  rad ) se utilizan en astronomía y también se pueden utilizar para medir la calidad del haz de láseres con divergencia ultrabaja. Más común es el segundo de arco , que esπ/648.000 rad (alrededor de 4,8481 microradianes).

Historia

Antes del siglo XX

La idea de medir ángulos por la longitud del arco fue utilizada por los matemáticos desde muy temprano. Por ejemplo, al-Kashi (c. 1400) utilizó las llamadas partes de diámetro como unidades, donde una parte de diámetro era1/60radián. También utilizaron subunidades sexagesimales de la parte del diámetro. ^[30] Newton en 1672 habló de "la cantidad angular del movimiento circular de un cuerpo", pero la utilizó sólo como una medida relativa para desarrollar un algoritmo astronómico. ^[31]

El concepto de medida en radianes normalmente se atribuye a Roger Cotes , quien murió en 1716. En 1722, su primo Robert Smith había recopilado y publicado los escritos matemáticos de Cotes en un libro, Harmonia mensurarum . ^[32] En un capítulo de comentarios editoriales, Smith dio lo que probablemente sea el primer cálculo publicado de un radian en grados, citando una nota de Cotes que no ha sobrevivido. Smith describió el radián en todo menos en el nombre: "Ahora bien, este número es igual a 180 grados como el radio de un círculo a la semicircunferencia , esto es como 1 a 3,141592653589", y reconoció su naturalidad como unidad de medida angular. ^{[33] [34]}

En 1765, Leonhard Euler adoptó implícitamente el radian como unidad de ángulo. ^[31] Específicamente, Euler definió la velocidad angular como "La velocidad angular en el movimiento de rotación es la velocidad de ese punto, cuya distancia desde el eje de giro se expresa en uno". ^[35] Euler fue probablemente el primero en adoptar esta convención, conocida como convención de radianes, que proporciona la fórmula simple para la velocidad angular ω = v / r . Como se analiza en la sección Análisis dimensional , la convención de radianes ha sido ampliamente adoptada y otras convenciones tienen el inconveniente de requerir una constante dimensional, por ejemplo ω = v /( ηr ) . ^[25]

Antes de que se generalizara el término radianes , la unidad se llamaba comúnmente medida circular de un ángulo. ^[36] El término radián apareció impreso por primera vez el 5 de junio de 1873, en las preguntas de un examen formulado por James Thomson (hermano de Lord Kelvin ) en el Queen's College de Belfast . Había utilizado el término ya en 1871, mientras que en 1869, Thomas Muir , entonces de la Universidad de St Andrews , vaciló entre los términos rad , radial y radian . En 1874, después de consultar con James Thomson, Muir adoptó el radián . ^{[37] [38] [39]} El nombre radián no fue adoptado universalmente durante algún tiempo después de esto. La trigonometría de la escuela de Longmans todavía se llamaba medida circular en radianes cuando se publicó en 1890. ^[40]

En 1893, Alexander Macfarlane escribió "el verdadero argumento analítico a favor de las razones circulares no es la razón entre el arco y el radio, sino la razón entre el doble del área de un sector y el cuadrado del radio". ^[41] Por alguna razón, el artículo fue retirado de las actas publicadas del congreso matemático celebrado en relación con la Exposición Mundial Colombina en Chicago (reconocido en la página 167) y publicado de forma privada en sus Artículos sobre análisis espacial (1894). Macfarlane alcanzó esta idea de proporciones de áreas considerando la base del ángulo hiperbólico que se define de manera análoga. ^[42]

Como unidad SI

Como señalan Paul Quincey et al. escribe, "el estado de los ángulos dentro del Sistema Internacional de Unidades (SI) ha sido durante mucho tiempo una fuente de controversia y confusión". ^[43] En 1960, la CGPM estableció el SI y el radian fue clasificado como una "unidad suplementaria" junto con el estereorradián . Esta clase especial se consideraba oficialmente "como unidades base o como unidades derivadas", ya que la CGPM no pudo tomar una decisión sobre si el radian era una unidad base o una unidad derivada. ^[44] Richard Nelson escribe: "Esta ambigüedad [en la clasificación de las unidades suplementarias] provocó una animada discusión sobre su interpretación adecuada". ^[45] En mayo de 1980, el Comité Consultivo de Unidades (CCU) consideró una propuesta para convertir los radianes en una unidad base del SI, utilizando una constante α ₀ = 1 rad , ^{[46] [25]} pero la rechazó para evitar un trastorno en la situación actual. práctica. ^[25]

En octubre de 1980, la CGPM decidió que las unidades suplementarias eran unidades derivadas adimensionales para las cuales la CGPM permitía la libertad de usarlas o no en expresiones para unidades derivadas del SI, ^[45] sobre la base de que "[no existe ningún formalismo] que esté en al mismo tiempo coherente y conveniente y en el que las cantidades ángulo plano y ángulo sólido podrían considerarse como cantidades base" y que "[la posibilidad de tratar el radian y el estereorradián como unidades base del SI] compromete la coherencia interna del SI basándose únicamente en siete unidades básicas". ^[47] En 1995, la CGPM eliminó la clase de unidades suplementarias y definió el radian y el estereorradián como "unidades derivadas adimensionales, cuyos nombres y símbolos pueden usarse, aunque no es necesario, en expresiones para otras unidades derivadas del SI, como es el caso conveniente". ^[48] ​​Mikhail Kalinin, escribiendo en 2019, criticó la decisión de la CGPM de 1980 como "infundada" y dice que la decisión de la CGPM de 1995 utilizó argumentos inconsistentes e introdujo "numerosas discrepancias, inconsistencias y contradicciones en la redacción de la IS". ^[49]

En la reunión del CCU de 2013, Peter Mohr hizo una presentación sobre supuestas inconsistencias que surgen al definir el radián como una unidad adimensional en lugar de una unidad base. El presidente del CCU, Ian M. Mills, declaró que se trataba de un "problema formidable" y se estableció el Grupo de Trabajo del CCU sobre Ángulos y Cantidades Adimensionales en el SI . ^[50] El CCU se reunió por última vez en 2021, ^[actualizar]pero no llegó a un consenso. Un pequeño número de miembros argumentó firmemente que el radian debería ser una unidad básica, pero la mayoría consideró que el status quo era aceptable o que el cambio causaría más problemas de los que resolvería. Se estableció un grupo de trabajo para "revisar el uso histórico de unidades suplementarias del SI y considerar si su reintroducción sería beneficiosa", entre otras actividades. ^{[51] [52]}

Ver también

• Frecuencia angular
• Minuto y segundo de arco.
• Estereorradián , un análogo de dimensiones superiores del radian que mide el ángulo sólido
• Trigonometría

Notas

1. Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade 1936), la notación (Romain 1962) y las constantes ם (Brownstein 1997), ◁ (Lévy-Leblond 1998), k (Foster 2010), θ _C (Quincey 2021) , y (Mohr et al.2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Referencias

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2. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "La CGPM decidió interpretar las unidades suplementarias del SI, a saber, el radian y el estereorradián, como unidades derivadas adimensionales".
3. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radian corresponde al ángulo para el cual s = r, por tanto 1 rad = 1".
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7. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151.
8. "ISO 80000-3:2006 Cantidades y unidades: espacio y tiempo". 17 de enero de 2017.
9. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radian corresponde al ángulo para el cual s = r "
10. Quincey 2016, pag. 844: "Además, como se menciona en Mohr y Phillips 2015, el radian se puede definir en términos del área A de un sector ( A =1/2 θ r ² ), en cuyo caso tiene las unidades m ² ⋅m ⁻² ".
11. Oficina Internacional de Pesas y Medidas 2019, p. 151: "Un radian corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 rad = 1 ".
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enlaces externos

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