Circunferencia

Perímetro de un círculo o elipse

  circunferencia C

  diámetro D

  radio R

  centro u origen O

Circunferencia = π × diámetro = 2 π × radio.

En geometría , la circunferencia (del latín circumferens , que significa "llevar de un lado a otro") es el perímetro de un círculo o elipse . ^[1] La circunferencia es la longitud del arco del círculo, como si estuviera abierto y enderezado hasta formar un segmento de línea . ^[2] De manera más general, el perímetro es la longitud de la curva alrededor de cualquier figura cerrada. Circunferencia también puede referirse al círculo mismo, es decir, al lugar correspondiente al borde de un disco . ElLa circunferencia de una esfera es la circunferencia o longitud de cualquiera de suscírculos máximos.

Círculo

La circunferencia de un círculo es la distancia que lo rodea, pero si, como en muchos tratamientos elementales, la distancia se define en términos de líneas rectas, esto no puede usarse como definición. En estas circunstancias, la circunferencia de un círculo puede definirse como el límite de los perímetros de polígonos regulares inscritos a medida que el número de lados aumenta sin límite. ^[3] El término circunferencia se utiliza al medir objetos físicos, así como al considerar formas geométricas abstractas.

Cuando el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia es ${\displaystyle \pi .}$

Cuando el radio de un círculo es 1 (llamado círculo unitario) , su circunferencia es ${\displaystyle 2\pi .}$

Relación con π

La circunferencia de un círculo está relacionada con una de las constantes matemáticas más importantes . Esta constante , pi , está representada por la letra griega . Los primeros dígitos decimales del valor numérico de son 3,141592653589793... ^[4] Pi se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro . ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d:}$

$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$

O, de manera equivalente, como la relación entre la circunferencia y el doble del radio . La fórmula anterior se puede reorganizar para resolver la circunferencia:

$${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$$

La relación entre la circunferencia del círculo y su radio se llama constante del círculo y es equivalente a . El valor es también la cantidad de radianes en una vuelta . El uso de la constante matemática π es omnipresente en matemáticas, ingeniería y ciencias. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

En Medida de un círculo , escrita alrededor del año 250 a. C., Arquímedes demostró que esta proporción ( ya que no usó el nombre π ) era mayor que 3. ${\displaystyle C/d,}$10/71pero menos de 31/7calculando los perímetros de un polígono regular inscrito y circunscrito de 96 lados. ^[5] Este método de aproximación de π se utilizó durante siglos, obteniendo mayor precisión al utilizar polígonos de cada vez mayor número de lados. El último cálculo de este tipo fue realizado en 1630 por Christoph Grienberger , quien utilizó polígonos con 10 ⁴⁰ lados.

Elipse

Algunos autores utilizan la circunferencia para indicar el perímetro de una elipse. No existe una fórmula general para la circunferencia de una elipse en términos de los ejes semimayor y semimenor de la elipse que utilice solo funciones elementales. Sin embargo, existen fórmulas aproximadas en cuanto a estos parámetros. Una de esas aproximaciones, debida a Euler (1773), para la elipse canónica ,

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$

$${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

^[6] ${\displaystyle a\geq b}$

$${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,}$$

$${\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),}$$

$${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.}$$

Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor. ${\displaystyle 2\pi a}$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

La circunferencia de una elipse se puede expresar exactamente en términos de la integral elíptica completa de segundo tipo . ^[7] Más precisamente,

$${\displaystyle C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,}$$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

Ver también

• Longitud del arco  : distancia a lo largo de una curva
• Área  : tamaño de una superficie bidimensional.
• Circumgon  – Figura geométrica que circunscribe un círculo.
• Desigualdad isoperimétrica  : desigualdad geométrica que establece un límite inferior en el área de superficie de un conjunto dado su volumen.
• Lista de fórmulas en geometría elemental.

Referencias

1. Universidad Estatal de San Diego (2004). «Perímetro, Área y Circunferencia» (PDF) . Addison-Wesley . Archivado desde el original (PDF) el 6 de octubre de 2014.
2. Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas/un enfoque de razonamiento cuantitativo (3ª ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
3. Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman and Co., pág. 565, ISBN 0-7167-0456-0
4. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000796". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
5. Katz, Victor J. (1998), Una historia de las matemáticas / Introducción (2ª ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
6. Jameson, GJO (2014). "Desigualdades para el perímetro de una elipse". Gaceta Matemática . 98 (499): 227–234. doi :10.2307/3621497. JSTOR  3621497. S2CID  126427943.
7. Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, la media aritmético-geométrica, elipses, π y el diario de las mujeres", American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi :10.2307/2323302, JSTOR  2323302, SEÑOR  0966232, S2CID  119810884

enlaces externos

• Numericana - Circunferencia de una elipse