Ejes semimayor y semimenor

Término en geometría; semidiámetros más largo y más corto de una elipse

El semieje mayor ( a ) y el semieje menor ( b ) de una elipse

En geometría , el eje mayor de una elipse es su diámetro más largo : un segmento de línea que pasa por el centro y ambos focos , con extremos en los dos puntos más separados del perímetro . El semieje mayor ( semieje mayor ) es el semidiámetro más largo o la mitad del eje mayor y, por lo tanto, va desde el centro, a través de un foco y hasta el perímetro. El semieje menor ( semieje menor ) de una elipse o hipérbola es un segmento de recta que forma ángulo recto con el semieje mayor y tiene un extremo en el centro de la sección cónica . Para el caso especial de un círculo, las longitudes de los semiejes son ambas iguales al radio del círculo.

La longitud del semieje mayor a de una elipse está relacionada con la longitud del semieje menor b a través de la excentricidad e y el semilatus recto , de la siguiente manera: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas. Por tanto, es la distancia desde el centro a cualquiera de los vértices de la hipérbola.

Se puede obtener una parábola como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que al otro se le permite moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniéndose fijo. Por tanto, a y b tienden al infinito, a más rápido que b . ${\displaystyle \ell }$

Los ejes mayor y menor son los ejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es la que no corta a la hipérbola.

Elipse

La ecuación de una elipse es

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

donde ( h ,  k ) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas , en la que un punto arbitrario está dado por ( x ,  y ).

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima y de la elipse desde un foco, es decir, de las distancias desde un foco hasta los puntos finales del eje mayor. ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

En astronomía a estos puntos extremos se les llama ábsides . ^[1]

El semieje menor de una elipse es la media geométrica de estas distancias:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

La excentricidad de una elipse se define como

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

entonces

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Ahora considere la ecuación en coordenadas polares , con un foco en el origen y el otro en la dirección: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

El valor medio de y , para y es ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

En una elipse, el semieje mayor es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia del centro a cualquiera de las directrices.

El semieje menor de una elipse va desde el centro de la elipse (un punto a medio camino entre los focos y en la línea que los separa ) hasta el borde de la elipse. El semieje menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que conecta dos puntos en el borde de la elipse.

El semieje menor b está relacionado con el semieje mayor a través de la excentricidad e y el recto semilato , de la siguiente manera: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Se puede obtener una parábola como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que al otro se le permite moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniéndose fijo. Por tanto, a y b tienden al infinito, a más rápido que b . ${\displaystyle \ell }$

La longitud del semieje menor también se puede encontrar usando la siguiente fórmula: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

donde f es la distancia entre los focos, p y q son las distancias desde cada foco a cualquier punto de la elipse.

Hipérbola

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si esto es a en la dirección x, la ecuación es: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

En términos del recto semi-latus y la excentricidad tenemos

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor. ^[3]

En una hipérbola, un eje conjugado o eje menor de longitud , correspondiente al eje menor de una elipse, puede trazarse perpendicular al eje transversal o eje mayor, conectando este último los dos vértices (puntos de inflexión) de la hipérbola, con el dos ejes que se cruzan en el centro de la hipérbola. Los puntos finales del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas encima/debajo de los vértices de la hipérbola. Cualquiera de las mitades del eje menor se llama semieje menor, de longitud b . Al denotar la longitud del semieje mayor (distancia desde el centro a un vértice) como a , las longitudes de los ejes semimenor y semimayor aparecen en la ecuación de la hipérbola en relación con estos ejes de la siguiente manera: ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

El semieje menor es también la distancia desde uno de los focos de la hipérbola a una asíntota. A menudo llamado parámetro de impacto , esto es importante en física y astronomía, y mide la distancia a la que una partícula no alcanzará el foco si su viaje no es perturbado por el cuerpo en el foco. ^{[ cita necesaria ]}

El semieje menor y el semieje mayor se relacionan a través de la excentricidad, de la siguiente manera:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[4]

Tenga en cuenta que en una hipérbola b puede ser mayor que a . ^[5]

Astronomía

Periodo orbital

Gráfico log-log del período T frente al semieje mayor a (promedio de afelio y perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (cruces que denotan los valores de Kepler) que muestra que a ³  /  T ^{‍ 2} es constante (línea verde)

En astrodinámica, el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

dónde:

a es la longitud del semieje mayor de la órbita,

${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo central.

Tenga en cuenta que para todas las elipses con un semieje mayor determinado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.

El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

dónde:

a y son como se definen anteriormente, ${\displaystyle \mu }$

e es la excentricidad de la órbita.

En astronomía , el semieje mayor es uno de los elementos orbitales más importantes de una órbita , junto con su período orbital . Para los objetos del Sistema Solar , el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita mediante la tercera ley de Kepler (originalmente derivada empíricamente ): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

donde T es el período y a es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de dos cuerpos , tal como lo determinó Newton : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo central y m es la masa del cuerpo en órbita. Normalmente, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo que m puede ignorarse. Hacer esa suposición y utilizar unidades astronómicas típicas da como resultado la forma más simple que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor del baricentro y su trayectoria relativa a su primario son ambas elipses. ^[1] El semieje mayor se utiliza a veces en astronomía como la distancia del primario al secundario cuando la relación de masa del primario al secundario es significativamente grande ( ); por tanto, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntrica y "absoluta" puede ilustrarse mejor observando el sistema Tierra-Luna. La relación de masas en este caso es ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59 . La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunar geocéntrica , es de 384.400 km. (Dada la excentricidad de la órbita lunar e  = 0,0549, su semieje menor es de 383.800 km. Por lo tanto, la órbita de la Luna es casi circular.) La órbita lunar baricéntrica , por otro lado, tiene un semieje mayor de 379.730 km, el de la Tierra. contraórbita compensando la diferencia, 4.670 km. La velocidad orbital baricéntrica promedio de la Luna es de 1,010 km/s, mientras que la de la Tierra es de 0,012 km/s. La suma de estas velocidades da una velocidad orbital promedio lunar geocéntrica de 1,022 km/s; el mismo valor se puede obtener considerando solo el valor del semieje mayor geocéntrico. ^{[ cita necesaria ]}

Distancia promedio

A menudo se dice que el semieje mayor es la distancia "promedio" entre el foco primario de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, porque depende del promedio que se tome. La distancia promedio en tiempo y ángulo del cuerpo en órbita puede variar entre un 50 y un 100% del semieje mayor orbital, dependiendo de la excentricidad. ^[6]

• promediar la distancia sobre la anomalía excéntrica da como resultado el semieje mayor.
• el promedio de la verdadera anomalía (el ángulo orbital verdadero, medido en el foco) da como resultado el semieje menor . ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• promediando la anomalía media (la fracción del período orbital que ha transcurrido desde el pericentro, expresada como un ángulo) da el promedio de tiempo . ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

El valor promediado en el tiempo del recíproco del radio, , es . ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Energía; cálculo del semieje mayor a partir de vectores de estado

En astrodinámica , el semieje mayor a se puede calcular a partir de vectores de estado orbital :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

para una órbita elíptica y, según la convención, igual o

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

para una trayectoria hiperbólica , y

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( energía orbital específica ) y

${\displaystyle \mu =GM,}$

( parámetro gravitacional estándar ), donde:

v es la velocidad orbital del vector de velocidad de un objeto en órbita,

r es un vector de posición cartesiano de un objeto en órbita en coordenadas de un sistema de referencia con respecto al cual deben calcularse los elementos de la órbita (por ejemplo, ecuatorial geocéntrico para una órbita alrededor de la Tierra, o eclíptica heliocéntrica para una órbita alrededor del Sol),

G es la constante gravitacional ,

M es la masa del cuerpo gravitante, y

${\displaystyle \varepsilon }$es la energía específica del cuerpo en órbita.

Tenga en cuenta que para una cantidad determinada de masa total, la energía específica y el semieje mayor son siempre los mismos, independientemente de la excentricidad o la relación de masas. Por el contrario, para una masa total y un semieje mayor determinados, la energía orbital específica total es siempre la misma. Esta afirmación siempre será cierta bajo cualquier condición dada. ^{[ cita necesaria ]}

Semieje mayor y semieje de las órbitas de los planetas.

Las órbitas de los planetas siempre se citan como excelentes ejemplos de elipses ( primera ley de Kepler ). Sin embargo, la mínima diferencia entre los ejes semimayor y semimenor muestra que tienen una apariencia prácticamente circular. Esa diferencia (o relación) se basa en la excentricidad y se calcula como , que para las excentricidades típicas de los planetas produce resultados muy pequeños. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

La razón para suponer órbitas elípticas prominentes radica probablemente en la diferencia mucho mayor entre afelio y perihelio. Esa diferencia (o relación) también se basa en la excentricidad y se calcula como . Debido a la gran diferencia entre afelio y perihelio, la segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 UA (unidad astronómica) equivale a 149,6 millones de kilómetros.

Referencias

1. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias Planetarias Fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 24-31. ISBN 9781108411981.
2. "Eje mayor/menor de una elipse", Math Open Reference, 12 de mayo de 2013.
3. "7.1 Caracterización alternativa". www.geom.uiuc.edu . Archivado desde el original el 24 de octubre de 2018 . Consultado el 6 de septiembre de 2007 .
4. "La geometría de las órbitas: elipses, parábolas e hipérbolas". www.bogan.ca .
5. "7.1 Caracterización alternativa". Archivado desde el original el 24 de octubre de 2018 . Consultado el 6 de septiembre de 2007 .
6. Williams, Darren M. (noviembre de 2003). "Distancia media entre una estrella y un planeta en una órbita excéntrica". Revista Estadounidense de Física . 71 (11): 1198-1200. Código bibliográfico : 2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

enlaces externos

• Semieje mayor y semieje menor de una elipse Con animación interactiva