Constante gravitacional

Constante física que relaciona la fuerza gravitacional entre objetos con su masa y distancia.

La constante gravitacional G es una cantidad clave en la ley de gravitación universal de Newton .

La constante gravitacional (también conocida como constante gravitacional universal , constante newtoniana de gravitación o constante gravitacional de Cavendish ), ^[a] denotada por la letra G mayúscula , es una constante física empírica involucrada en el cálculo de los efectos gravitacionales en Sir Isaac. La ley de gravitación universal de Newton y la teoría de la relatividad general de Albert Einstein .

En la ley de Newton, es la constante de proporcionalidad que conecta la fuerza gravitacional entre dos cuerpos con el producto de sus masas por el inverso del cuadrado de su distancia . En las ecuaciones de campo de Einstein , cuantifica la relación entre la geometría del espacio-tiempo y el tensor de energía-momento (también conocido como tensor de tensión-energía ).

El valor medido de la constante se conoce con cierta certeza hasta cuatro dígitos significativos. En unidades SI , su valor es aproximadamente6,674 × 10 ⁻¹¹  N⋅m ² /kg ² . ^[1]

La notación moderna de la ley de Newton que involucra a G fue introducida en la década de 1890 por CV Boys . La primera medición implícita con una precisión de aproximadamente el 1% se atribuye a Henry Cavendish en un experimento de 1798 . ^[b]

Definición

Según la ley de gravitación universal de Newton , la magnitud de la fuerza de atracción ( F ) entre dos cuerpos cada uno con una distribución de densidad esféricamente simétrica es directamente proporcional al producto de sus masas , m ₁ y m ₂ , e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia , r , dirigida a lo largo de la línea que conecta sus centros de masa:

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$$

constante de proporcionalidadGgcampo gravitacional local de la Tierra^{[2] [3]}masa de la Tierraradio de la Tierra ${\displaystyle M_{\oplus }}$ ${\displaystyle r_{\oplus }}$

$${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r_{\oplus }^{2}}}.}$$

La constante gravitacional aparece en las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , ^{[4] [5]}

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

G _μνtensor de EinsteinGΛconstante cosmológicag _μνtensor métricoT _μνtensor de tensión-energíaκconstante gravitacional de EinsteinEinstein^{[5] [6] [c]}

$${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\mathrm {\,N^{-1}} .}$$

Valor e incertidumbre

La constante gravitacional es una constante física difícil de medir con gran precisión. ^[7] Esto se debe a que la fuerza gravitacional es una fuerza extremadamente débil en comparación con otras fuerzas fundamentales a escala de laboratorio. ^[d]

En unidades SI , el valor recomendado por el Comité de Datos para Ciencia y Tecnología (CODATA) de 2018 de la constante gravitacional (con la incertidumbre estándar entre paréntesis) es: ^{[1] [8]}

$${\displaystyle G=6.67430(15)\times 10^{-11}{\rm {\ m^{3}{\cdot }kg^{-1}{\cdot }s^{-2}}}}$$

Esto corresponde a una incertidumbre estándar relativa de2,2 × 10 ⁻⁵ . (22 ppm )

Unidades naturales

Debido a su uso como constante definitoria en algunos sistemas de unidades naturales , particularmente sistemas de unidades geometrizadas como las unidades de Planck y las unidades de Stoney , el valor de la constante gravitacional generalmente tendrá un valor numérico de 1 o un valor cercano a él cuando se expresa en términos de esas unidades. Debido a la importante incertidumbre en el valor medido de G en términos de otras constantes fundamentales conocidas, un nivel similar de incertidumbre aparecerá en el valor de muchas cantidades cuando se expresen en dicho sistema unitario.

Mecánica orbital

En astrofísica , conviene medir distancias en pársecs (pc), velocidades en kilómetros por segundo (km/s) y masas en unidades solares M _⊙ . En estas unidades, la constante gravitacional es:

$${\displaystyle G\approx 4.3009\times 10^{-3}\ {\mathrm {pc{\cdot }(km/s)^{2}} \,M_{\odot }}^{-1}.}$$

los radios solares

$${\displaystyle G\approx 1.90809\times 10^{5}\mathrm {\ (km/s)^{2}} \,R_{\odot }M_{\odot }^{-1}.}$$

mecánica orbitalP

$${\displaystyle GM={\frac {3\pi V}{P^{2}}},}$$

V

${\displaystyle P^{2}={\frac {3\pi }{G}}{\frac {V}{M}}\approx 10.896\,\mathrm {h^{2}{\cdot }g{\cdot }cm^{-3}\,} {\frac {V}{M}}.}$

Esta forma de expresar G muestra la relación entre la densidad promedio de un planeta y el período de un satélite que orbita justo sobre su superficie.

Para órbitas elípticas, aplicando la 3.ª ley de Kepler , expresada en unidades características de la órbita terrestre :

${\displaystyle G=4\pi ^{2}\mathrm {\ AU^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ M^{-1}\approx 39.478\mathrm {\ AU^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ M_{\odot }^{-1},}$

donde la distancia se mide en términos del semieje mayor de la órbita de la Tierra (la unidad astronómica , AU), el tiempo en años y la masa en la masa total del sistema en órbita ( M = M _☉ + M _E + M _☾ ^{[e ]} ).

La ecuación anterior es exacta sólo dentro de la aproximación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol como un problema de dos cuerpos en la mecánica newtoniana, las cantidades medidas contienen correcciones de las perturbaciones de otros cuerpos del sistema solar y de la relatividad general.

Desde 1964 hasta 2012, sin embargo, se utilizó como definición de unidad astronómica y, por lo tanto, se mantuvo por definición:

$${\displaystyle 1\ \mathrm {AU} =\left({\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\mathrm {yr} ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.495979\times 10^{11}\ \mathrm {m} .}$$

1,495 978 707 × 10 ¹¹  m

La cantidad GM , el producto de la constante gravitacional y la masa de un cuerpo astronómico determinado, como el Sol o la Tierra, se conoce como parámetro gravitacional estándar (también denominado μ ). El parámetro gravitacional estándar GM aparece como arriba en la ley de gravitación universal de Newton, así como en las fórmulas para la desviación de la luz causada por lentes gravitacionales , en las leyes del movimiento planetario de Kepler y en la fórmula para la velocidad de escape .

Esta cantidad proporciona una simplificación conveniente de varias fórmulas relacionadas con la gravedad. El producto modificado genéticamente se conoce con mucha más precisión que cualquiera de los dos factores.

Los cálculos en mecánica celeste también se pueden realizar utilizando las unidades de masa solar , días solares medios y unidades astronómicas en lugar de las unidades estándar del SI. Para este propósito, la constante gravitacional gaussiana fue históricamente de uso generalizado, k =0,017 202 098 95 radianes por día , que expresa la velocidad angular mediadel sistema Sol-Tierra. ^{[ cita necesaria ] La} IAU ha desaprobadoel uso de esta constante y la definición implícita de la unidad astronómica analizada anteriormente desde 2012. ^{[ cita necesaria ]}

Historia de la medición

Historia temprana

La existencia de la constante está implícita en la ley de gravitación universal de Newton publicada en la década de 1680 (aunque su notación como G data de la década de 1890), ^[11] pero no se calcula en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , donde postula el cuadrado inverso. ley de gravitación. En los Principia , Newton consideró la posibilidad de medir la fuerza de la gravedad midiendo la deflexión de un péndulo en las proximidades de una gran colina, pero pensó que el efecto sería demasiado pequeño para ser mensurable. ^[12] Sin embargo, tuvo la oportunidad de estimar el orden de magnitud de la constante cuando supuso que "la densidad media de la Tierra podría ser cinco o seis veces mayor que la densidad del agua", lo que equivale a una densidad gravitacional. constante del orden: ^[13]

GRAMO ≈(6,7 ± 0,6) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²

Pierre Bouguer y Charles Marie de La Condamine intentaron realizar una medición en 1738 en su " expedición peruana ". Bouguer minimizó la importancia de sus resultados en 1740, sugiriendo que el experimento al menos había demostrado que la Tierra no podía ser una capa hueca , como habían sugerido algunos pensadores de la época, incluido Edmond Halley . ^[14]

El experimento de Schiehallion , propuesto en 1772 y completado en 1776, fue la primera medición exitosa de la densidad media de la Tierra y, por tanto, indirectamente de la constante gravitacional. El resultado informado por Charles Hutton (1778) sugirió una densidad de4,5 g/cm ³ ( 4+1/2veces la densidad del agua), aproximadamente un 20% por debajo del valor moderno. ^[15] Esto condujo inmediatamente a estimaciones sobre las densidades y masas del Sol , la Luna y los planetas , enviadas por Hutton a Jérôme Lalande para su inclusión en sus tablas planetarias. Como se analizó anteriormente, establecer la densidad promedio de la Tierra equivale a medir la constante gravitacional, dado el radio medio de la Tierra y la aceleración gravitacional media en la superficie de la Tierra, estableciendo ^[11]

$${\displaystyle G=g{\frac {R_{\oplus }^{2}}{M_{\oplus }}}={\frac {3g}{4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}}.}$$

G ≈8 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²

Diagrama de equilibrio de torsión utilizado en el experimento de Cavendish realizado por Henry Cavendish en 1798, para medir G, con la ayuda de una polea, se hacían girar bolas grandes colgadas de un marco hasta colocarlas en su posición junto a las bolas pequeñas.

La primera medición directa de la atracción gravitacional entre dos cuerpos en el laboratorio fue realizada en 1798, setenta y un años después de la muerte de Newton, por Henry Cavendish . ^[16] Determinó un valor para G implícitamente, utilizando una balanza de torsión inventada por el geólogo Rev. John Michell (1753). Usó una viga de torsión horizontal con bolas de plomo cuya inercia (en relación con la constante de torsión) podía determinar cronometrando la oscilación de la viga. Su débil atracción hacia otras bolas colocadas junto al rayo era detectable por la desviación que provocaba. A pesar de que el diseño experimental se debió a Michell, el experimento ahora se conoce como el experimento Cavendish por su primera ejecución exitosa por parte de Cavendish.

El objetivo declarado de Cavendish era "pesar la Tierra", es decir, determinar la densidad media de la Tierra y su masa . Su resultado, ρ _🜨 =5.448(33) g⋅cm ⁻³ , corresponde al valor de G =6.74(4) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . Es sorprendentemente preciso, aproximadamente un 1% por encima del valor moderno (comparable a la incertidumbre estándar declarada del 0,6%). ^[17]

Siglo 19

La precisión del valor medido de G ha aumentado sólo modestamente desde el experimento original de Cavendish. ^[18] G es bastante difícil de medir porque la gravedad es mucho más débil que otras fuerzas fundamentales, y un aparato experimental no puede separarse de la influencia gravitacional de otros cuerpos.

Las mediciones con péndulos fueron realizadas por Francesco Carlini (1821,4,39 g/cm ³ ), Edward Sabine (1827,4,77 g/cm ³ ), Carlo Ignazio Giulio (1841,4,95 g/cm ³ ) y George Biddell Airy (1854,6,6 g/cm3 ⁾ . ^[19]

El experimento de Cavendish fue repetido por primera vez por Ferdinand Reich (1838, 1842, 1853), quien encontró un valor de5,5832(149) g⋅cm ⁻³ , ^[20] que en realidad es peor que el resultado de Cavendish, difiriendo del valor moderno en un 1,5%. Cornu y Baille (1873), encontraron5,56 g⋅cm ⁻³ . ^[21]

El experimento de Cavendish resultó en mediciones más confiables que los experimentos con péndulo del tipo "Schiehallion" (deflexión) o "peruano" (período en función de la altitud). Robert von Sterneck (1883, resultados entre 5,0 y 1883) continuó realizando experimentos con péndulo.6,3 g/cm ³ ) y Thomas Corwin Mendenhall (1880,5,77 g/cm3 ⁾ . ^[22]

El resultado de Cavendish fue mejorado por primera vez por John Henry Poynting (1891), ^[23] quien publicó un valor de5,49(3) g⋅cm ⁻³ , que difiere del valor moderno en un 0,2%, pero es compatible con el valor moderno dentro de la incertidumbre estándar citada del 0,55%. Además de Poynting, CV Boys (1895) ^[24] y Carl Braun (1897), ^[25] realizaron mediciones con resultados compatibles que sugerían G =6.66(1) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . La notación moderna que implica la constante G fue introducida por Boys en 1894 ^[11] y se convierte en estándar a finales de la década de 1890, con valores normalmente citados en el sistema cgs . Richarz y Krigar-Menzel (1898) intentaron repetir el experimento de Cavendish utilizando 100.000 kg de plomo como masa atrayente. La precisión de su resultado de6.683(11) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² fue, sin embargo, del mismo orden de magnitud que los otros resultados en ese momento. ^[26]

Arthur Stanley Mackenzie en Las leyes de la gravitación (1899) reseña los trabajos realizados en el siglo XIX. ^[27] Poynting es el autor del artículo "Gravitación" en la Encyclopædia Britannica Undécima Edición (1911). Aquí, cita un valor de G =6,66 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² con una incertidumbre del 0,2%.

Valor moderno

Paul R. Heyl (1930) publicó el valor de6.670(5) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (incertidumbre relativa 0,1%), ^[28] mejorado a6,673(3) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (incertidumbre relativa 0,045% = 450 ppm) en 1942. ^[29]

Sin embargo, Heyl utilizó la dispersión estadística como desviación estándar y admitió que las mediciones con el mismo material arrojaban resultados muy similares, mientras que las mediciones con diferentes materiales arrojaban resultados muy diferentes. Pasó los siguientes 12 años después de su artículo de 1930 para realizar mediciones más precisas, con la esperanza de que el efecto dependiente de la composición desapareciera, pero no fue así, como señaló en su artículo final del año 1942.

Los valores publicados de G derivados de mediciones de alta precisión desde la década de 1950 han seguido siendo compatibles con Heyl (1930), pero dentro de la incertidumbre relativa de alrededor del 0,1% (o 1.000 ppm) han variado bastante, y no está del todo claro si la incertidumbre se ha reducido en absoluto desde la medición de 1942. Algunas mediciones publicadas entre los años 1980 y 2000 fueron, de hecho, mutuamente excluyentes. ^{[7] [30]} Por lo tanto, establecer un valor estándar para G con una incertidumbre estándar mejor que 0,1% sigue siendo bastante especulativo.

En 1969, el valor recomendado por el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) se citó con una incertidumbre estándar del 0,046% (460 ppm), reducida al 0,012% (120 ppm) en 1986. Pero la continua publicación de mediciones contradictorias llevó a NIST aumentar considerablemente la incertidumbre estándar en el valor recomendado de 1998, por un factor de 12, hasta una incertidumbre estándar del 0,15%, mayor que la dada por Heyl (1930).

La incertidumbre se redujo nuevamente en 2002 y 2006, pero volvió a aumentar, en un 20% más conservador, en 2010, igualando la incertidumbre estándar de 120 ppm publicada en 1986. ^[31] Para la actualización de 2014, CODATA redujo la incertidumbre a 46 ppm, menos de la mitad del valor de 2010 y un orden de magnitud por debajo de la recomendación de 1969.

La siguiente tabla muestra los valores recomendados por el NIST publicados desde 1969:

Cronología de mediciones y valores recomendados para G desde 1900: los valores recomendados basados ​​en una revisión de la literatura se muestran en rojo, los experimentos de equilibrio de torsión individuales en azul, otros tipos de experimentos en verde.

En la edición de enero de 2007 de Science , Fixler et al. describió una medición de la constante gravitacional mediante una nueva técnica, la interferometría atómica , reportando un valor de G =6,693(34) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² , 0,28% (2800 ppm) superior al valor CODATA de 2006. ^[41] Una medición mejorada de átomos fríos realizada por Rosi et al. fue publicado en 2014 de G =6.671 91 (99) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^{[42] [43]} Aunque mucho más cercano al valor aceptado (lo que sugiere que la medición de Fixler et al. fue errónea), este resultado fue 325 ppm por debajo del valor CODATA recomendado de 2014, con intervalos de incertidumbre estándar que no se superponen.

A partir de 2018, se están realizando esfuerzos para reevaluar los resultados contradictorios de las mediciones, coordinados por el NIST, en particular una repetición de los experimentos informados por Quinn et al. (2013). ^[44]

En agosto de 2018, un grupo de investigación chino anunció nuevas mediciones basadas en balanzas de torsión,6.674 184 (78) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² y6,674 484 (78) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² basado en dos métodos diferentes. ^[45] Estas se afirman como las mediciones más precisas jamás realizadas, con incertidumbres estándar citadas tan bajas como 12 ppm. La diferencia de 2,7 σ entre los dos resultados sugiere que podría haber fuentes de error no contabilizadas.

Constancia

El análisis de las observaciones de 580 supernovas de tipo Ia muestra que la constante gravitacional ha variado en menos de una parte en diez mil millones por año durante los últimos nueve mil millones de años. ^[46]

Ver también

• Portal de física

• gravedad de la tierra
• Gravedad estándar
• Constante gravitacional gaussiana
• Mecánica orbital
• Velocidad de escape
• Potencial gravitacional
• onda gravitacional
• Fuerte gravedad
• Hipótesis de los grandes números de Dirac
• La expansión acelerada del universo
• Experimento de alcance láser lunar
• Constante cosmológica

Referencias

Notas a pie de página

1. "Constante de gravitación newtoniana" es el nombre introducido para G por Boys (2000). El uso del término por TE Stern (1928) fue citado erróneamente como "constante de gravitación de Newton" en Pure Science Reviewed for Profound and Unsophisticated Students (1930), en lo que aparentemente es el primer uso de ese término. El uso de la "constante de Newton" (sin especificar "gravitación" o "gravedad") es más reciente, ya que la "constante de Newton" también se usó para el coeficiente de transferencia de calor en la ley de enfriamiento de Newton , pero ahora se ha vuelto bastante común, por ejemplo, Calmet. et al, Agujeros negros cuánticos (2013), p. 93; P. de Aquino, Más allá de la fenomenología del modelo estándar en el LHC (2013), pág. 3. El nombre "constante gravitacional de Cavendish", a veces "constante gravitacional de Newton-Cavendish", parece haber sido común entre los años 1970 y 1980, especialmente en (traducciones de) la literatura rusa de la era soviética, por ejemplo, Sagitov (1970 [1969]) , Física soviética: Uspekhi 30 (1987), números 1 a 6, pág. 342 [etc.]. La "constante de Cavendish" y la "constante gravitacional de Cavendish" también se utilizan en Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, "Gravitation", (1973), 1126 y siguientes. El uso coloquial de "Gran G", a diferencia de " pequeña g " para la aceleración gravitacional se remonta a la década de 1960 (RW Fairbridge, The encyclopedia of atmosférica ciencias y astrogeología , 1967, p. 436; nótese el uso de "Gran G" vs. " pequeñas g" ya en la década de 1940 del tensor de Einstein G _μν vs. el tensor métrico g _μν , Libros científicos, médicos y técnicos publicados en los Estados Unidos de América: una lista seleccionada de títulos impresos con anotaciones: suplemento de libros publicado entre 1945 y 1948 , Comité de Bibliografía Científica y Técnica Estadounidense (Consejo Nacional de Investigación), 1950, pág.26).
2. Cavendish determinó el valor de G indirectamente, informando un valor de la masa de la Tierra , o la densidad promedio de la Tierra, como5,448 g⋅cm ⁻³ .
3. Dependiendo de la elección de la definición del tensor de Einstein y del tensor tensión-energía, también se puede definir como κ =8πG​/c ²≈1.866 × 10 ⁻²⁶  m⋅kg ⁻¹
4. Por ejemplo, la fuerza gravitacional entre un electrón y un protón a 1 m de distancia es aproximadamente10 ⁻⁶⁷  N , mientras que la fuerza electromagnética entre las mismas dos partículas es aproximadamente10 ⁻²⁸  norte . La fuerza electromagnética en este ejemplo es del orden de 10 ³⁹ veces mayor que la fuerza de gravedad, aproximadamente la misma proporción que la masa del Sol por microgramo.
5. M ≈ 1.000003040433 M _☉ , de modo que M = M _☉ se puede utilizar para precisiones de cinco o menos dígitos significativos.

Citas

1. "Valor CODATA 2018: constante de gravitación newtoniana". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
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Fuentes

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enlaces externos

• Constante newtoniana de gravitación G en el Instituto Nacional de Estándares y Referencias Tecnológicas sobre constantes, unidades e incertidumbre
• La controversia sobre la constante gravitacional de Newton: comentario adicional sobre problemas de medición