tensor de einstein

Tensor utilizado en la relatividad general.

En geometría diferencial , el tensor de Einstein (llamado así por Albert Einstein ; también conocido como tensor de Ricci de traza invertida ) se utiliza para expresar la curvatura de una variedad pseudo-riemanniana . En la relatividad general , ocurre en las ecuaciones de campo de Einstein para la gravitación que describen la curvatura del espacio-tiempo de una manera consistente con la conservación de la energía y el momento.

Definición

El tensor de Einstein es un tensor de orden 2 definido sobre variedades pseudo-riemannianas . En notación libre de índice se define como ${\displaystyle \mathbf {G} }$

$${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$$

donde es el tensor de Ricci , es el tensor métrico y es la curvatura escalar , que se calcula como la traza del tensor de Ricci por . En forma de componentes, la ecuación anterior se lee como ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }}$

$${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

El tensor de Einstein es simétrico.

$${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$

y, al igual que el tensor tensión-energía en la capa , tiene divergencia cero :

$${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

forma explícita

El tensor de Ricci depende sólo del tensor métrico, por lo que el tensor de Einstein se puede definir directamente sólo con el tensor métrico. Sin embargo, esta expresión es compleja y rara vez se cita en los libros de texto. La complejidad de esta expresión se puede mostrar usando la fórmula del tensor de Ricci en términos de símbolos de Christoffel :

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$

donde está el tensor de Kronecker y el símbolo de Christoffel se define como ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$

y los términos de la forma representan su derivada parcial en la dirección μ, es decir: ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

Antes de las cancelaciones, esta fórmula resulta en plazos individuales. Las cancelaciones reducen un poco este número. ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$

En el caso especial de un sistema de referencia localmente inercial cerca de un punto, las primeras derivadas del tensor métrico desaparecen y la forma componente del tensor de Einstein se simplifica considerablemente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$

donde los corchetes convencionalmente denotan antisimetrización sobre índices entre corchetes, es decir

$${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

Rastro

La traza del tensor de Einstein se puede calcular contrayendo la ecuación de la definición con el tensor métrico . En dimensiones (de firma arbitraria): ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

Por tanto, en el caso especial de n = 4 dimensiones, . Es decir, la traza del tensor de Einstein es el negativo de la traza del tensor de Ricci . Por tanto, otro nombre para el tensor de Einstein es tensor de Ricci de traza invertida . Este caso es especialmente relevante en la teoría de la relatividad general . ${\displaystyle G\ =-R}$ ${\displaystyle n=4}$

Uso en relatividad general

El tensor de Einstein permite escribir las ecuaciones de campo de Einstein de forma concisa:

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$

constante cosmológicaconstante gravitacional de Einstein ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

Desde la forma explícita del tensor de Einstein, el tensor de Einstein es una función no lineal del tensor métrico, pero es lineal en las segundas derivadas parciales de la métrica. Como tensor simétrico de orden 2, el tensor de Einstein tiene 10 componentes independientes en un espacio de 4 dimensiones. De ello se deduce que las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales de segundo orden para el tensor métrico.

Las identidades contraídas de Bianchi también se pueden expresar fácilmente con la ayuda del tensor de Einstein:

$${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

Las identidades de Bianchi (contraídas) aseguran automáticamente la conservación covariante del tensor tensión-energía en espacios-tiempos curvos:

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

Esta identidad resalta la importancia física del tensor de Einstein. En términos del tensor de tensión densitizado contraído en un vector Killing , se cumple una ley de conservación ordinaria: ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

Unicidad

David Lovelock ha demostrado que, en una variedad diferenciable de cuatro dimensiones , el tensor de Einstein es la única función tensorial y libre de divergencia de y, como máximo, su primera y segunda derivada parcial. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein no es la única ecuación que satisface las tres condiciones: ^[6]

1. Se parece pero generaliza la ecuación gravitacional de Newton-Poisson
2. Aplicar a todos los sistemas de coordenadas, y
3. Garantizar la conservación covariante local de energía-momento para cualquier tensor métrico.

Se han propuesto muchas teorías alternativas, como la teoría de Einstein-Cartan , que también satisfacen las condiciones anteriores.

Ver también

• Portal de física

• Identidades de Bianchi contratadas
• teorema de vermeil
• Matemáticas de la relatividad general.
• Recursos de relatividad general

Notas

1. Lovelock, D. (1971). "El tensor de Einstein y sus generalizaciones". Revista de Física Matemática . 12 (3): 498–502. Código bibliográfico : 1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
2. Lovelock, D. (1972). "La tetradimensionalidad del espacio y el tensor de Einstein". Revista de Física Matemática . 13 (6): 874–876. Código bibliográfico : 1972JMP....13..874L. doi :10.1063/1.1666069.
3. Lovelock, D. (1969). "La unicidad de las ecuaciones de campo de Einstein en un espacio de cuatro dimensiones". Archivo de Análisis y Mecánica Racional . 33 (1): 54–70. Código Bib : 1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
4. Farhoudi, M. (2009). "Lovelock Tensor como tensor de Einstein generalizado". Relatividad General y Gravitación . 41 (1): 17–29. arXiv : gr-qc/9510060 . Código Bib : 2009GReGr..41..117F. doi :10.1007/s10714-008-0658-9. S2CID  119159537.
5. Rindler, Wolfgang (2001). Relatividad: especial, general y cosmológica . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 299.ISBN​ 978-0-19-850836-6.
6. Schutz, Bernard (31 de mayo de 2009). Un primer curso de relatividad general (2 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 185.ISBN​ 978-0-521-88705-2.

Referencias

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitación y espacio-tiempo (Segunda ed.). W. W. Norton & Company . ISBN 978-0-393-96501-8.
• Martín, John Legat (1995). Relatividad general: un primer curso para físicos . Serie internacional de Prentice Hall sobre física y física aplicada (edición revisada). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-291196-2.