Integral elíptica

Función especial definida por una integral

En cálculo integral , una integral elíptica es una de una serie de funciones relacionadas definidas como el valor de ciertas integrales, que fueron estudiadas por primera vez por Giulio Fagnano y Leonhard Euler ( c.  1750 ). Su nombre se debe a que originalmente surgieron en relación con el problema de encontrar la longitud del arco de una elipse .

Las matemáticas modernas definen una "integral elíptica" como cualquier función f que pueda expresarse en la forma

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

donde R es una función racional de sus dos argumentos, P es un polinomio de grado 3 o 4 sin raíces repetidas y c es una constante.

En general, las integrales en esta forma no se pueden expresar en términos de funciones elementales . Las excepciones a esta regla general son cuando P tiene raíces repetidas, o cuando R ( x , y ) no contiene potencias impares de y o si la integral es pseudoelíptica. Sin embargo, con la fórmula de reducción adecuada , cada integral elíptica se puede llevar a una forma que incluya integrales sobre funciones racionales y las tres formas canónicas de Legendre (es decir, las integrales elípticas de primer, segundo y tercer tipo).

Además de la forma de Legendre que se proporciona a continuación, las integrales elípticas también se pueden expresar en la forma simétrica de Carlson . Se puede obtener información adicional sobre la teoría de la integral elíptica mediante el estudio del mapeo de Schwarz-Christoffel . Históricamente, las funciones elípticas se descubrieron como funciones inversas de integrales elípticas.

Notación de argumentos

Las integrales elípticas incompletas son funciones de dos argumentos; Las integrales elípticas completas son funciones de un solo argumento. Estos argumentos se expresan de diversas formas diferentes pero equivalentes (dan la misma integral elíptica). La mayoría de los textos se adhieren a un esquema de nomenclatura canónico, utilizando las siguientes convenciones de nomenclatura.

Para expresar un argumento:

• α , el ángulo modular
• k = sin α , el módulo elíptico o excentricidad
• m = k ² = sen ² α , el parámetro

Cada una de las tres cantidades anteriores está completamente determinada por cualquiera de las demás (siempre que no sean negativas). Por tanto, se pueden utilizar indistintamente.

El otro argumento también se puede expresar como φ , la amplitud , o como x o u , donde x = sin φ = sn u y sn es una de las funciones elípticas jacobianas .

Especificar el valor de cualquiera de estas cantidades determina las demás. Tenga en cuenta que u también depende de m . Algunas relaciones adicionales que involucran a usted incluyen

$${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

Esta última a veces se denomina amplitud delta y se escribe como Δ( φ ) = dn u . En ocasiones la literatura también hace referencia al parámetro complementario , al módulo complementario o al ángulo modular complementario . Estos se definen con más detalle en el artículo sobre períodos trimestrales .

En esta notación, el uso de una barra vertical como delimitador indica que el argumento que le sigue es el "parámetro" (como se define arriba), mientras que la barra invertida indica que es el ángulo modular. El uso de punto y coma implica que el argumento que lo precede es el seno de la amplitud:

$${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}$$

Abramowitz y StegunGradshteyn y Ryzhik

Todavía existen otras convenciones para la notación de integrales elípticas empleadas en la literatura. La notación con argumentos intercambiados, F ( k , φ ) , se encuentra a menudo; y de manera similar E ( k , φ ) para la integral de segundo tipo. Abramowitz y Stegun sustituyen la integral de primer tipo, F ( φ , k ) , por el argumento φ en su definición de las integrales de segundo y tercer tipo, a menos que este argumento vaya seguido de una barra vertical: es decir, E ( F ( φ , k ) | k ² ) para mi ( φ | k ² ) . Además, sus integrales completas emplean el parámetro k ² como argumento en lugar del módulo k , es decir, K ( k ² ) en lugar de K ( k ) . Y la integral de tercer tipo definida por Gradshteyn y Ryzhik , Π( φ , n , k ) , pone primero la amplitud φ y no la "característica" n .

Por lo tanto, hay que tener cuidado con la notación al utilizar estas funciones, porque varias referencias y paquetes de software acreditados utilizan diferentes convenciones en las definiciones de las funciones elípticas. Por ejemplo, el software Mathematica de Wolfram y Wolfram Alpha definen la integral elíptica completa del primer tipo en términos del parámetro m , en lugar del módulo elíptico k .

Integral elíptica incompleta de primer tipo

La integral elíptica incompleta de primer tipo F se define como

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

Ésta es la forma trigonométrica de la integral; sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma normal de Legendre:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular, se tiene:

$${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

Con x = sn( u , k ) se tiene:

$${\displaystyle F(x;k)=u;}$$

función elíptica jacobiana

La integral elíptica incompleta del primer tipo tiene el siguiente teorema de la suma ^{[ cita necesaria ]} :

$${\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

El módulo elíptico se puede transformar de la siguiente manera:

$${\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}$$

Integral elíptica incompleta de segundo tipo

La integral elíptica incompleta de segundo tipo E en forma trigonométrica es

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

Sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma normal de Legendre:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular:

$${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

Las relaciones con las funciones elípticas de Jacobi incluyen

$${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

La longitud del arco del meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ se escribe en términos de E :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$

asemieje mayoreexcentricidad

La integral elíptica incompleta de segundo tipo tiene el siguiente teorema de la suma ^{[ cita necesaria ]} :

$${\displaystyle E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}=E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$$

El módulo elíptico se puede transformar de la siguiente manera:

$${\displaystyle E{\left[\arcsin(x),k\right]}=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}$$

Integral elíptica incompleta de tercer tipo

La integral elíptica incompleta de tercer tipo Π es

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

o

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

El número n se llama característica y puede tomar cualquier valor, independientemente de los demás argumentos. Sin embargo, tenga en cuenta que el valor Π(1;π/2| m ) es infinito, para cualquier m .

Una relación con las funciones elípticas jacobianas es

$${\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

La longitud del arco del meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ también está relacionada con un caso especial de Π :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

Integral elíptica completa de primer tipo

Gráfica de la integral elíptica completa de primer tipo K ( k )

Se dice que las integrales elípticas son 'completas' cuando la amplitud φ =π/2y por lo tanto x = 1 . La integral elíptica completa de primer tipo K puede definirse así como

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$

$${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

Se puede expresar como una serie de potencias.

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}$$

donde P _n son los polinomios de Legendre , lo que equivale a

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

donde n !! denota el doble factorial . En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de primer tipo se puede expresar como

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

La integral elíptica completa del primer tipo a veces se denomina cuarto de periodo . Se puede calcular de manera muy eficiente en términos de la media aritmético-geométrica : ^[1]

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

Por tanto el módulo se puede transformar como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$$

Esta expresión es válida para todos y 0 ≤ k ≤ 1 : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

Relación con la función gamma

Si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces K ( k ) es expresable en forma cerrada en términos de la función gamma . ^[2] Por ejemplo, r = 2 , r = 3 y r = 7 dan, respectivamente, ^[3] ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}$$

y

$${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$$

De manera más general, la condición de que

$${\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}$$

campo cuadrático imaginario ^{[nota 1][4] [5]}k = e ^{5 πi /6}iK ′/k= e ^{2 πi /3[6]}

$${\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}$$

Relación con la función theta de Jacobi

La relación con la función theta de Jacobi viene dada por

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}^{2}(q),}$$

nombre q

$${\displaystyle q(k)=\exp \left(-\pi {\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}\right).}$$

Expresiones asintóticas

$${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$$

3 × 10 ⁻⁴k <1/2k <1/2^{[ cita necesaria ]}

Ecuación diferencial

La ecuación diferencial para la integral elíptica de primer tipo es

$${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}$$

Una segunda solución a esta ecuación es . Esta solución satisface la relación ${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$$

fracción continua

Una expansión de fracción continua es: ^[7]

$${\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},}$$

nomo ${\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}$

Integral elíptica completa de segunda especie.

Gráfica de la integral elíptica completa de segundo tipo E ( k )

La integral elíptica completa de segundo tipo E se define como

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

o más compactamente en términos de la integral incompleta de segundo tipo E ( φ , k ) como

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

Para una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y excentricidad e = √ 1 − b ² / a ² , la integral elíptica completa de segunda clase E ( e ) es igual a un cuarto de la circunferencia C de la elipse medida en unidades del semieje mayor a . En otras palabras:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

La integral elíptica completa de segundo tipo se puede expresar como una serie de potencias ^[8]

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

que es equivalente a

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

En términos de la función hipergeométrica de Gauss , la integral elíptica completa de segundo tipo se puede expresar como

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

El módulo se puede transformar de esa manera:

$${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

Cálculo

Al igual que la integral del primer tipo, la integral elíptica completa del segundo tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica . ^[1]

Defina secuencias a _n y g _n , donde a ₀ = 1 , g ₀ = √ 1 − k ² = k ′ y las relaciones de recurrencia a _{n + 1} =un _norte + g _norte/2, g _{n + 1} = √ a _n g _n mantener. Además, define

$${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}$$

Por definición,

$${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}$$

También

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}$$

Entonces

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$$

En la práctica, la media aritmético-geométrica simplemente se calcularía hasta cierto límite. Esta fórmula converge cuadráticamente para todos | k | ≤ 1 . Para acelerar aún más el cálculo, la relación c _{n + 1} =cn ²_​/4 un _{+ 1}puede ser usado.

Además, si k ² = λ ( i √ r ) y (donde λ es la función lambda modular ), entonces E ( k ) es expresable en forma cerrada en términos de ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}$$

r = 1r = 3r = 7^[9]

$${\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}$$

y

$${\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}$$

y

$${\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}$$

Ecuación derivada y diferencial

$${\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$$

$${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}$$

Una segunda solución a esta ecuación es E ( √ 1 − k ² ) − K ( √ 1 − k ² ) .

Integral elíptica completa de tercer tipo

Gráfica de la integral elíptica completa de tercer tipo Π( n , k ) con varios valores fijos de n

La integral elíptica completa de tercer tipo Π se puede definir como

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Tenga en cuenta que a veces la integral elíptica de tercer tipo se define con un signo inverso para la característica n ,

$${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

Al igual que las integrales elípticas completas de primer y segundo tipo, la integral elíptica completa de tercer tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica. ^[1]

Derivadas parciales

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$$

Función zeta de Jacobi

En 1829, Jacobi definió la función Jacobi zeta :

$${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$

función Jacobi zn ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {zn} }$

La relación de Legendre

La relación de Legendre o Identidad de Legendre muestra la relación de las integrales K y E de un módulo elíptico y su contraparte antirelacionada ^{[10] [11]} en una ecuación integral de segundo grado:

Para dos módulos que son homólogos pitagóricos entre sí, esta relación es válida:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$$

Por ejemplo:

${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Y para dos módulos que son contrapartes tangenciales entre sí, es válida la siguiente relación:

${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

La relación de Legendre para las contrapartes modulares tangenciales resulta directamente de la identidad de Legendre para las contrapartes modulares pitagóricas mediante el uso de la transformación modular de Landen en el contramódulo pitagórico.

Identidad especial para el caso lemniscatico.

Para el caso lemniscático, el módulo elíptico o excentricidad específica ε es igual a la mitad de la raíz cuadrada de dos. La identidad de Legendre para el caso lemniscático se puede demostrar de la siguiente manera:

Según la regla de la cadena estas derivadas cumplen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

Utilizando el teorema fundamental del cálculo se pueden generar estas fórmulas:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$

La combinación lineal de las dos integrales ahora mencionadas conduce a la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}$

${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

Al formar la antiderivada original relacionada con x a partir de la función que ahora se muestra usando la regla del Producto , se obtiene esta fórmula:

${\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

Si el valor se inserta en esta identidad integral, entonces surge la siguiente identidad: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}$

Así aparece este extracto lemniscatico de la identidad de Legendre:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Generalización para el caso general.

Ahora se resuelve el caso general modular ^{[12] [13]} . Para ello, después del módulo se derivan las derivadas de las integrales elípticas completas y luego se combinan. Y luego se determina el equilibrio de identidad de Legendre. ${\displaystyle \varepsilon }$

Porque la derivada de la función circular es el producto negativo de la función cartográfica idéntica y el recíproco de la función circular:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$

Estas son las derivadas de K y E que se muestran en este artículo en las secciones anteriores:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

En combinación con la derivada de la función circular, estas derivadas son válidas entonces:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

La identidad de Legendre incluye productos de dos integrales elípticas completas cualesquiera. Para derivar el lado de la función a partir de la escala de la ecuación de la identidad de Legendre, la regla del Producto ahora se aplica de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

De estas tres ecuaciones, sumar las dos ecuaciones superiores y restar la ecuación inferior da este resultado:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

En relación con la ecuación, la balanza da constantemente el valor cero. ${\displaystyle \varepsilon }$

El resultado previamente determinado se combinará con la ecuación de Legendre al módulo que se calcula en el apartado anterior: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

La combinación de las dos últimas fórmulas da el siguiente resultado:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Porque si la derivada de una función continua toma constantemente el valor cero, entonces la función en cuestión es una función constante. Esto significa que esta función da como resultado el mismo valor de función para cada valor de abscisa y, por lo tanto, el gráfico de función asociado es una línea recta horizontal. ${\displaystyle \varepsilon }$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Curva elíptica
• Mapeo de Schwarz-Christoffel
• Forma simétrica de Carlson
• Funciones elípticas de Jacobi
• Funciones elípticas de Weierstrass
• Función theta de Jacobi
• Función theta de Ramanujan
• Media aritmético-geométrica
• Período pendular
• arco meridiano

Referencias

Notas

1. K se puede extender analíticamente al plano complejo .

Referencias

1. Carlson 2010, 19.8.
2. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 296
3. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 298
4. Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "Sobre la función Zeta de Epstein (I)". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. Código bibliográfico : 1949PNAS...35..371C. doi :10.1073/PNAS.35.7.371. PMC 1063041 . PMID  16588908. S2CID  45071481. 
5. Chowla, S.; Selberg, A. (1967). "Sobre la función Zeta de Epstein". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 227 : 86-110.
6. "Integrales elípticas de Legendre (entrada 175b7a)".
7. N.Bagis, L.Glasser.(2015) "Evaluaciones de una fracción continua de Ramanujan". Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, Vol.133 págs. 1-10
8. "Integral elíptica completa de segundo tipo: representaciones en serie (Fórmula 08.01.06.0002)".
9. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 26, 161
10. «Legendre-Relation» (en alemán) . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
11. "Relación legendaria" . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
12. "integración: demostración de la relación de Legendres para curvas elípticas" . Consultado el 10 de febrero de 2023 .
13. Internet Archive (1991), Paul Halmos celebrando los 50 años de las matemáticas, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97509-8, recuperado el 10 de febrero de 2023

Fuentes

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• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.12. Integrales elípticas y funciones elípticas jacobianas", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 9 de agosto de 2011

enlaces externos

• "Integral elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, "Integral elíptica" (Mathworld)
• Código Matlab para evaluación de integrales elípticas por proyecto elíptico
• Aproximaciones racionales para integrales elípticas completas (Laboratorios Exstrom)
• Una breve historia de los teoremas de suma integral elíptica