Período trimestral

Función especial en la teoría de funciones elípticas.

En matemáticas , los cuartos de período K ( m ) e i K  ′( m ) son funciones especiales que aparecen en la teoría de funciones elípticas .

Los cuartos de período K e i K  ′ están dados por

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

y

${\displaystyle {\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,}$

Cuando m es un número real, 0 < m < 1, entonces tanto K como K  ′ son números reales. Por convención, a K se le llama cuarto de período real y a i K  ′ se le llama cuarto de período imaginario . Cualquiera de los números m , K , K  ′ o K  ′/ K determina de forma única a los demás.

Estas funciones aparecen en la teoría de las funciones elípticas jacobianas ; se llaman cuartos de período porque las funciones elípticas y son funciones periódicas con períodos y Sin embargo, la función también es periódica con un período más pequeño (en términos de valor absoluto) que , es decir . ${\displaystyle \operatorname {sn} u}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4{\rm {i}}K'.}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle 4\mathrm {i} K'}$ ${\displaystyle 2\mathrm {i} K'}$

Notación

Los cuartos de periodo son esencialmente la integral elíptica de primer tipo, haciendo la sustitución . En este caso, se escribe en lugar de , comprender la diferencia entre los dos depende notablemente de si se usa o . Esta diferencia de notación ha generado una terminología que la acompaña: ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle K(k)\,}$ ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

• ${\displaystyle m}$se llama parámetro
• ${\displaystyle m_{1}=1-m}$se llama parámetro complementario
• ${\displaystyle k}$se llama módulo elíptico
• ${\displaystyle k'}$se llama módulo elíptico complementario , donde ${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}$
• ${\displaystyle \alpha }$el ángulo modular , donde ${\displaystyle k=\sin \alpha ,}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$El ángulo modular complementario . Tenga en cuenta que

${\displaystyle m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .}$

El módulo elíptico se puede expresar en términos de períodos trimestrales como

${\displaystyle k=\operatorname {ns} (K+{\rm {i}}K')}$

y

${\displaystyle k'=\operatorname {dn} K}$

donde y son funciones elípticas jacobianas . ${\displaystyle \operatorname {ns} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$

El nombre viene dado por ${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.}$

El nombre complementario viene dado por

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.}$

El período del trimestre real se puede expresar como una serie de Lambert que involucra el nomo:

${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.}$

Se pueden encontrar expansiones y relaciones adicionales en la página de integrales elípticas .

Referencias

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun (1964), Manual de funciones matemáticas , Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN  0-486-61272-4 . Véanse los capítulos 16 y 17.