En el campo matemático del análisis complejo , las funciones elípticas son tipos especiales de funciones meromórficas que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque provienen de integrales elípticas . Esas integrales a su vez se denominan elípticas porque se encontraron por primera vez para el cálculo de la longitud del arco de una elipse .
Geométricamente, el plano complejo está recubierto de paralelogramos. Todo lo que sucede en un dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón, podemos ver las funciones elípticas como funciones cuyo dominio es el grupo cociente . Este grupo cociente, llamado curva elíptica , se puede visualizar como un paralelogramo en el que se identifican los lados opuestos, que topológicamente es un toro . [1]
Teoremas de Liouville
Los tres teoremas siguientes se conocen como teoremas de Liouville (1847).
1er teorema
Una función elíptica holomorfa es constante. [2]
Esta es la forma original del teorema de Liouville y se puede derivar de él. [3] Una función elíptica holomorfa está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Por lo tanto, es constante según el teorema de Liouville.
2do teorema
Toda función elíptica tiene un número finito de polos y la suma de sus residuos es cero. [4]
Este teorema implica que no existe ninguna función elíptica distinta de cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.
3er teorema
Una función elíptica no constante toma cada valor el mismo número de veces contadas con multiplicidad. [5]
Función ℘ de Weierstrass
Una de las funciones elípticas más importantes es la función de Weierstrass. Para una red de períodos dada, se define por
Está construida de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de la red. El término existe para hacer que la serie sea convergente.
es una función elíptica par; es decir, . [6]
Su derivado
es una función impar, es decir [6]
Uno de los principales resultados de la teoría de funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a un período dado puede expresarse como una función racional en términos de y . [7]
y lo invirtió: . representa seno amplitudinis y es el nombre de la nueva función. [11] Luego introdujo las funciones coseno amplitudinis y delta amplitudinis , que se definen de la siguiente manera:
.
Sólo dando este paso, Jacobi pudo demostrar su fórmula general de transformación de integrales elípticas en 1827. [12]
Historia
Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de funciones elípticas . Cuando intentaron calcular la longitud de arco de una lemniscata se encontraron con problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. [13] Estaba claro que esas llamadas integrales elípticas no podían resolverse utilizando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, que publicó en 1750. [13] Euler inmediatamente generalizó los resultados de Fagnano y planteó su teorema de adición algebraica para integrales elípticas. [13]
A excepción de un comentario de Landen [14], sus ideas no fueron seguidas hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . [15] Posteriormente, Legendre estudió las integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les trascendentes elliptiques (1792), [16] Exercices de calcul intégral (1811-1817), [17] Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). [18] El trabajo de Legendre fue dejado prácticamente intacto por los matemáticos hasta 1826.
Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi retomaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio, invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se llaman funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , que se publicó en 1829. [19] El teorema de adición que Euler encontró fue planteado y demostrado en su forma general por Abel en 1829. En aquellos días, la teoría de funciones elípticas y la teoría de funciones doblemente periódicas se consideraban teorías diferentes. Briot y Bouquet las unieron en 1856. [20] Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema. [21]
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Literatura
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NI Akhiezer , Elementos de la teoría de funciones elípticas , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (Ver Capítulo 1).