Curva elíptica

En matemáticas , una curva elíptica es una curva algebraica , proyectiva y suave de género uno, en la que hay un punto específico $O.$ Una curva elíptica se define sobre un campo $K$ y describe puntos en $K$ $2$ , el producto cartesiano de $K$ consigo mismo. Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces la curva se puede describir como una curva algebraica plana que consta de soluciones $($ $x$ $,$ $y$ $)$ para:

y^{2}=x^{3}+ax+b

para algunos coeficientes $a$ y $b$ en $K$ . Se requiere que la curva sea no singular , lo que significa que no tiene cúspides ni autointersecciones . (Esto es equivalente a la condición $4 a 3 + 27 b 2 \neq 0$ , es decir, estar libre de cuadrados en $x$ ). Siempre se entiende que la curva realmente está ubicada en el plano proyectivo , siendo el punto $O$ el único punto en el infinito . Muchas fuentes definen una curva elíptica como simplemente una curva dada por una ecuación de esta forma. (Cuando el campo de coeficientes tiene la característica 2 o 3, la ecuación anterior no es lo suficientemente general como para incluir todas las curvas cúbicas no singulares ; consulte § Curvas elípticas sobre un campo general a continuación).

Una curva elíptica es una variedad abeliana (es decir, tiene una ley de grupo definida algebraicamente, con respecto a la cual es un grupo abeliano ) y $O$ sirve como elemento de identidad.

Si $y 2 = P (x)$ , donde $P$ es cualquier polinomio de grado tres en $x$ sin raíces repetidas, el conjunto solución es una curva plana no singular de género uno, una curva elíptica. Si $P$ tiene grado cuatro y no tiene cuadrados, esta ecuación describe nuevamente una curva plana de género uno; sin embargo, no tiene una elección natural de elemento de identidad. De manera más general, cualquier curva algebraica de género uno, por ejemplo la intersección de dos superficies cuádricas incrustadas en un espacio proyectivo tridimensional, se denomina curva elíptica, siempre que esté equipada con un punto marcado que actúe como identidad.

Utilizando la teoría de funciones elípticas , se puede demostrar que las curvas elípticas definidas sobre los números complejos corresponden a incrustaciones del toro en el plano proyectivo complejo . El toro es también un grupo abeliano , y esta correspondencia es también un isomorfismo de grupo .

Las curvas elípticas son especialmente importantes en la teoría de números y constituyen un área importante de investigación actual; por ejemplo, se utilizaron en la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat . También encuentran aplicaciones en criptografía de curva elíptica (ECC) y factorización de enteros .

Una curva elíptica no es una elipse en el sentido de una cónica proyectiva, que tiene género cero: consulte la integral elíptica para conocer el origen del término. Sin embargo, existe una representación natural de curvas elípticas reales con forma invariante $j \geq 1$ como elipses en el plano hiperbólico . Específicamente, las intersecciones del hiperboloide de Minkowski con superficies cuádricas caracterizadas por una cierta propiedad de ángulo constante producen las elipses de Steiner (generadas por colineaciones que preservan la orientación). Además, las trayectorias ortogonales de estas elipses comprenden las curvas elípticas con $j$ $\leq 1$ , y cualquier elipse descrita como un lugar geométrico relativo a dos focos es únicamente la suma de la curva elíptica de dos elipses de Steiner, obtenida sumando los pares de intersecciones en cada ortogonal. trayectoria. Aquí, el vértice del hiperboloide sirve como identidad en cada curva de trayectoria. ^[1] $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$

Topológicamente , una curva elíptica compleja es un toro , mientras que una elipse compleja es una esfera .

Curvas elípticas sobre los números reales.

Gráficas de curvas $y 2 = x 3 - x$ y $y 2 = x 3 - x + 1$

Aunque la definición formal de una curva elíptica requiere algunos conocimientos de geometría algebraica , es posible describir algunas características de las curvas elípticas sobre los números reales utilizando sólo una introducción al álgebra y la geometría .

En este contexto, una curva elíptica es una curva plana definida por una ecuación de la forma

y^{2}=x^{3}+ax+b

después de un cambio lineal de variables ( $a$ y $b$ son números reales). Este tipo de ecuación se llama ecuación de Weierstrass y se dice que está en forma de Weierstrass o forma normal de Weierstrass.

La definición de curva elíptica también requiere que la curva sea no singular . Geométricamente, esto significa que el gráfico no tiene cúspides , autointersecciones ni puntos aislados . Algebraicamente, esto se cumple si y sólo si el discriminante , , no es igual a cero. $\Delta$

\Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)\neq 0

(Aunque el factor −16 es irrelevante para determinar si la curva es no singular o no, esta definición del discriminante es útil en un estudio más avanzado de curvas elípticas). ^[2]

La gráfica real de una curva no singular tiene dos componentes si su discriminante es positivo y una componente si es negativo. Por ejemplo, en los gráficos que se muestran en la figura de la derecha, el discriminante en el primer caso es 64 y en el segundo caso es −368.

la ley de grupo

Cuando se trabaja en el plano proyectivo , la ecuación en coordenadas homogéneas queda:

{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b

Esta ecuación no está definida en la recta del infinito , pero podemos multiplicarla por para obtener una que sea: $Z^{3}$

ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}

Esta ecuación resultante se define en todo el plano proyectivo y la curva que define se proyecta sobre la curva elíptica de interés. Para encontrar su intersección con la recta en el infinito, simplemente podemos plantear . Esto implica , que en un campo significa . por otro lado puede tomar cualquier valor, por lo que todos los tripletes satisfacen la ecuación. En geometría proyectiva este conjunto es simplemente el punto , que es, por tanto, la única intersección de la curva con la línea en el infinito. $Z=0$ $X^{3}=0$ $X=0$ $Y$ $(0,Y,0)$ $O=[0:1:0]$

Dado que la curva es suave y, por tanto, continua , se puede demostrar que este punto en el infinito es el elemento identidad de una estructura de grupo cuya operación se describe geométricamente de la siguiente manera:

Dado que la curva es simétrica con respecto al eje $x$ , dado cualquier punto $P$ , podemos tomar $- P$ como el punto opuesto. Entonces tenemos que , como se encuentra en el plano $XZ$ , por lo que también es simétrico con respecto al origen y, por lo tanto, representa el mismo punto proyectivo. $-O=O$ $O$ $-O$ $O$

Si $P$ y $Q$ son dos puntos de la curva, entonces podemos describir de forma única un tercer punto $P + Q$ de la siguiente manera. Primero, dibuja la línea que corta a $P$ y $Q.$ Esto generalmente cortará la cúbica en un tercer punto , $R.$ Luego tomamos $P + Q$ como $- R$ , el punto opuesto $a R$ .

Esta definición de suma funciona excepto en algunos casos especiales relacionados con el punto en el infinito y la multiplicidad de intersección. La primera es cuando uno de los puntos es $O.$ Aquí, definimos $P + O = P = O + P$ , haciendo que $O$ sea la identidad del grupo. Si $P = Q$ solo tenemos un punto, por lo tanto no podemos definir la línea entre ellos. En este caso, usamos la línea tangente a la curva en este punto como nuestra línea. En la mayoría de los casos, la tangente cortará un segundo punto $R$ y podemos tomar su opuesto. Si $P$ y $Q$ son opuestos entre sí , definimos $P + Q = O.$ Por último, si $P$ es un punto de inflexión (un punto donde cambia la concavidad de la curva), tomamos que $R$ es $P$ en sí y $P + P$ es simplemente el punto opuesto a él, es decir, a sí mismo.

Sea $K$ un campo sobre el cual se define la curva (es decir, los coeficientes de la ecuación o ecuaciones que definen la curva están en $K$ ) y denotemos la curva por $E.$ Entonces los $K$ - puntos racionales de $E$ son los puntos de $E$ cuyas coordenadas se encuentran todas en $K$ , incluido el punto en el infinito. El conjunto de $K$ puntos racionales se denota por $E (K)$ . $E (K)$ es un grupo, porque las propiedades de las ecuaciones polinomiales muestran que si $P$ está en $E (K)$ , entonces $- P$ también está en $E (K)$ , y si dos de $P$ , $Q$ , $R$ están en $E (K)$ , entonces también lo es el tercero. Además, si $K$ es un subcampo de $L$ , entonces $E (K)$ es un subgrupo de $E (L)$ .

Interpretación algebraica

Los grupos anteriores se pueden describir tanto algebraica como geométricamente. Dada la curva $y 2 = x 3 + ax + b$ sobre el campo $K$ (cuya característica suponemos que no es ni 2 ni 3), y los puntos $P = (x P, y P)$ y $Q = (x Q, y Q)$ en la curva, supongamos primero que $x P \neq x Q$ (caso 1 ). Sea $y = sx + d$ la ecuación de la recta que corta a $P$ y $Q$ , la cual tiene la siguiente pendiente:

s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}

La ecuación lineal y la ecuación curva se cruzan en los puntos $x P$ , $x Q$ y $x R$ , por lo que las ecuaciones tienen valores $de y$ idénticos en estos valores.

\left(sx+d\right)^{2}=x^{3}+ax+b

que es equivalente a

x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0

Dado que $x P$ , $x Q$ y $x R$ son soluciones, esta ecuación tiene sus raíces exactamente en los mismos valores $de x que$

(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}

y como ambas ecuaciones son cúbicas, deben ser el mismo polinomio hasta un escalar. Luego igualando los coeficientes de $x 2$ en ambas ecuaciones

-s^{2}=(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})

y resolviendo la incógnita $x R$ .

x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}

$y R$ se sigue de la ecuación lineal

y_{R}=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})

y este es un elemento de $K$ , porque $s lo$ es.

Si $x P = x Q$ , entonces hay dos opciones: si $y P = - y Q$ (caso 3 ), incluido el caso en el que $y P = y Q = 0$ (caso 4 ), entonces la suma se define como 0; por tanto, la inversa de cada punto de la curva se encuentra reflejándola a través del eje $x$ .

Si $y P = y Q \neq 0$ , entonces $Q = P$ y $R = (x R, y R) = -(P + P) = -2 P = -2 Q$ (caso 2 usando $P$ como $R$ ). La pendiente viene dada por la tangente a la curva en ( x _P , y _P ).

{\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}-s(x_{P}-x_{R})\end{aligned}}

Curvas no Weierstrass

Para una curva cúbica que no está en la forma normal de Weierstrass, todavía podemos definir una estructura de grupo designando uno de sus nueve puntos de inflexión como la identidad $O.$ En el plano proyectivo, cada línea cortará a un cúbico en tres puntos al tener en cuenta la multiplicidad. Para un punto $P$ , $- P$ se define como el único tercer punto en la línea que pasa por $O$ y $P.$ Entonces, para cualquier $P$ y $Q$ , $P + Q$ se define como $- R$ donde $R$ es el tercer punto único en la línea que contiene a $P$ y $Q.$

Para ver un ejemplo de la ley de grupo sobre una curva que no es de Weierstrass, consulte Curvas de Hesse .

Curvas elípticas sobre los números racionales.

Una curva E definida sobre el campo de los números racionales también se define sobre el campo de los números reales. Por tanto, se puede aplicar a E la ley de la suma (de puntos con coordenadas reales) por el método tangente y secante . Las fórmulas explícitas muestran que la suma de dos puntos P y Q con coordenadas racionales tiene nuevamente coordenadas racionales, ya que la recta que une P y Q tiene coeficientes racionales. De esta manera, se demuestra que el conjunto de puntos racionales de E forma un subgrupo del grupo de puntos reales de E.

Puntos integrales

Esta sección se ocupa de los puntos P = ( x , y ) de E tales que x es un número entero.

Por ejemplo, la ecuación y ² = x ³ + 17 tiene ocho soluciones integrales con y > 0: ^[3]^[4]

( x , y ) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234 ,378 661 ).

Como otro ejemplo, la ecuación de Ljunggren , una curva cuya forma de Weierstrass es y ² = x ³ − 2 x , tiene sólo cuatro soluciones con y ≥ 0: ^[5]

( x , y ) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,6214 ).

La estructura de los puntos racionales.

Los puntos racionales se pueden construir mediante el método de tangentes y secantes detallado anteriormente, comenzando con un número finito de puntos racionales. Más precisamente ^[6] el teorema de Mordell-Weil establece que el grupo E ( Q ) es un grupo finitamente generado (abeliano). Según el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente, es por tanto una suma directa finita de copias de Z y grupos cíclicos finitos.

La demostración del teorema ^[7] consta de dos partes. La primera parte muestra que para cualquier número entero m > 1, el grupo cociente E ( Q )/ mE ( Q ) es finito (este es el teorema débil de Mordell-Weil). En segundo lugar, introducir una función de altura h en los puntos racionales E ( Q ) definidos por h ( P ₀ ) = 0 y $h (P) = log max(| p |, | q |)$ si P (desigual al punto en el infinito P ₀ ) tiene como abscisa el número racional x = p / q (con coprimos p y q ). Esta función de altura h tiene la propiedad de que h ( mP ) crece aproximadamente como el cuadrado de m . Además, sólo existen un número finito de puntos racionales con una altura menor que cualquier constante en E.

La demostración del teorema es, por tanto, una variante del método de descenso infinito ^[8] y se basa en la aplicación repetida de divisiones euclidianas en E : sea P ∈ E ( Q ) un punto racional de la curva, escribiendo P como la suma 2 P ₁ + Q ₁ donde Q ₁ es un representante fijo de P en E ( Q )/2 E ( Q ), la altura de P ₁ es aproximadamente1/4del de P (más generalmente, reemplazando 2 por cualquier m > 1, y1/4por1/metros ²). Rehaciendo lo mismo con P ₁ , es decir P ₁ = 2 P ₂ + Q ₂ , luego P ₂ = 2 P ₃ + Q ₃ , etc. finalmente expresa P como una combinación lineal integral de puntos Q _i y de puntos cuyos la altura está limitada por una constante fija elegida de antemano: por el teorema débil de Mordell-Weil y la segunda propiedad de la función de altura P se expresa así como una combinación lineal integral de un número finito de puntos fijos.

Sin embargo, el teorema no proporciona un método para determinar ningún representante de E ( Q )/ mE ( Q ).

El rango de E ( Q ), es decir el número de copias de Z en E ( Q ) o, equivalentemente, el número de puntos independientes de orden infinito , se llama rango de E. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ocupa de determinar el rango. Se conjetura que puede ser arbitrariamente grande, incluso si sólo se conocen ejemplos con un rango relativamente pequeño. La curva elíptica con el mayor rango conocido exactamente actualmente es

y ² + xy + y = x ³ − x ² − 244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573 821 859 853 707 x + 961 710 182 053 183 034 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

Tiene el rango 20, encontrado por Noam Elkies y Zev Klagsbrun en 2020. Desde 1994 se conocen curvas de rango superior a 20, con límites inferiores en sus rangos que van del 21 al 28, pero no se conocen sus rangos exactos y, en particular, No está demostrado cuál de ellos tiene mayor rango que los demás o cuál es el verdadero "campeón actual". ^[9]

En cuanto a los grupos que constituyen el subgrupo de torsión de E ( Q ), se sabe lo siguiente: ^[10] el subgrupo de torsión de E ( Q ) es uno de los 15 grupos siguientes ( teorema debido a Barry Mazur ): Z / N Z para N = 1, 2, ..., 10 o 12, o Z /2 Z × Z /2 N Z con N = 1, 2, 3, 4. Se conocen ejemplos para cada caso. Además, las curvas elípticas cuyos grupos de Mordell-Weil sobre Q tienen los mismos grupos de torsión pertenecen a una familia parametrizada. ^[11]

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD) es uno de los problemas del Milenio del Clay Mathematics Institute . La conjetura se basa en objetos analíticos y aritméticos definidos por la curva elíptica en cuestión.

Desde el punto de vista analítico, un ingrediente importante es una función de una variable compleja, L , la función zeta de Hasse-Weil de E sobre Q. Esta función es una variante de la función zeta de Riemann y de las funciones L de Dirichlet . Se define como un producto de Euler , con un factor por cada número primo p .

Para una curva E sobre Q dada por una ecuación mínima

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

con coeficientes integrales , la reducción de los coeficientes módulo p define una curva elíptica sobre el campo finito F _p (excepto para un número finito de primos p , donde la curva reducida tiene una singularidad y por lo tanto no es elíptica, en cuyo caso se dice que E ser de mala reducción en p ). $a_{i}$

La función zeta de una curva elíptica sobre un campo finito F _p es, en cierto sentido, una función generadora que ensambla la información del número de puntos de E con valores en las extensiones del campo finito F _{p ⁿ} de F _p . Está dado por ^[12]

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)

La suma interior de la exponencial se asemeja al desarrollo del logaritmo y, de hecho, la función zeta así definida es una función racional en T :

Z(E(\mathbf {F} _{p}),T)={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}},

donde el término 'rastro de Frobenius' ^[13] se define como la diferencia entre el número 'esperado' y el número de puntos en la curva elíptica sobre , a saber. $a_{p}$ $p+1$ $E$ $\mathbb {F} _{p}$

a_{p}=p+1-\#E(\mathbb {F} _{p})

o equivalente,

\#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-a_{p}

Podemos definir las mismas cantidades y funciones sobre un campo finito arbitrario de características , reemplazando en todas partes. $p$ $q=p^{n}$ $p$

La función L de E sobre Q se define recopilando esta información en conjunto, para todos los primos p . Se define por

L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1}\cdot \prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}

donde N es el conductor de E , es decir, el producto de números primos con mala reducción, en cuyo caso a _p se define de forma diferente al método anterior: véase Silverman (1986) más adelante.

Este producto converge para Re( s ) > 3/2 únicamente. La conjetura de Hasse afirma que la función L admite una continuación analítica en todo el plano complejo y satisface una ecuación funcional que relaciona, para cualquier s , L ( E , s ) con L ( E , 2 − s ). En 1999 se demostró que esto era una consecuencia de la prueba de la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, que afirma que toda curva elíptica sobre Q es una curva modular , lo que implica que su función L es la función L de una forma modular. cuya continuación analítica se conoce. Por tanto, se puede hablar de los valores de L ( E , s ) en cualquier número complejo s .

En s=1 (el producto conductor puede descartarse ya que es finito), la función L se convierte en

L(E(\mathbf {Q} ),1)=\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1}\right)^{-1}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{p-a_{p}+1}}=\prod _{p\not \mid N}{\frac {p}{\#E(\mathbb {F} _{p})}}

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona la aritmética de la curva con el comportamiento de esta función L en s = 1. Afirma que el orden de desaparición de la función L en s = 1 es igual al rango de E y predice el orden principal término de la serie de Laurent de L ( E , s ) en ese punto en términos de varias cantidades adjuntas a la curva elíptica.

Al igual que la hipótesis de Riemann , la verdad de la conjetura BSD tendría múltiples consecuencias, incluidas las dos siguientes:

Un número congruente se define como un entero impar sin cuadrados n que es el área de un triángulo rectángulo con longitudes de lados racionales. Se sabe que n es un número congruente si y sólo si la curva elíptica tiene un punto racional de orden infinito; suponiendo BSD, esto es equivalente a que su función L tenga un cero en s = 1. Tunnell ha mostrado un resultado relacionado: suponiendo BSD, n es un número congruente si y sólo si el número de tripletes de números enteros ( x , y , z ) satisfactorio es el doble del número de triples satisfactorios . El interés de esta afirmación es que la condición es fácil de comprobar. ^[14] $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ $2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n$ $2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n$
En una dirección diferente, ciertos métodos analíticos permiten una estimación del orden de cero en el centro de la franja crítica para ciertas L -funciones. Admitiendo BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de familias de las curvas elípticas correspondientes. Por ejemplo: suponiendo la hipótesis generalizada de Riemann y BSD, el rango promedio de las curvas dado por es menor que 2. ^[15] $y^{2}=x^{3}+ax+b$

Curvas elípticas sobre campos finitos.

Sea K = F _q el campo finito con q elementos y E una curva elíptica definida sobre K . Si bien el número preciso de puntos racionales de una curva elíptica E sobre K es en general difícil de calcular, el teorema de Hasse sobre curvas elípticas da la siguiente desigualdad:

|\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}

En otras palabras, el número de puntos de la curva crece proporcionalmente al número de elementos del campo. Este hecho puede entenderse y probarse con la ayuda de alguna teoría general; consulte la función zeta local y la cohomología étale, por ejemplo.

El conjunto de puntos E ( F _q ) es un grupo abeliano finito. Siempre es cíclico o producto de dos grupos cíclicos, dependiendo de si q es par o impar. Por ejemplo, ^[16] la curva definida por

y^{2}=x^{3}-x

over F ₇₁ tiene 72 puntos (71 puntos afines incluyendo (0,0) y un punto en el infinito ) sobre este campo, cuya estructura de grupo está dada por Z /2 Z × Z /36 Z . El número de puntos en una curva específica se puede calcular con el algoritmo de Schoof .

El estudio de la curva sobre las extensiones de campo de F _q se ve facilitado por la introducción de la función zeta local de E sobre F _q , definida por una serie generadora (ver también arriba)

Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)

donde el campo K _n es la extensión (única hasta el isomorfismo) de K = F _q de grado n (es decir, F _{q ⁿ} ).

La función zeta es una función racional en T . Para ver esto, el número entero tal que $a_{n}$

\#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}

tiene un número complejo asociado tal que $\alpha$

1-a_{n}+q^{n}=1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}

¿Dónde está el conjugado complejo ? Elegimos para que su valor absoluto sea , es decir , y eso , para que y , o en otras palabras, . ${\bar {\alpha }}$ $\alpha$ ${\sqrt {q}}$ $\alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }$ $\cos n\theta ={\frac {a_{n}}{2{\sqrt {q}}}}$ $\alpha ^{n}{\bar {\alpha }}^{n}=q^{n}$ $\alpha ^{n}+{\bar {\alpha }}^{n}=a_{n}$ $(1-\alpha ^{n})(1-{\bar {\alpha }}^{n})=1-a_{n}+q^{n}$

$\alpha$ luego se puede usar en la función zeta local ya que se puede decir que sus valores cuando se elevan a las distintas potencias de $n$ se aproximan razonablemente al comportamiento de . $a_{n}$

{\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}

Entonces , finalmente $(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}$

Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}

Por ejemplo, ^[17] la función zeta de E : y ² + y = x ³ sobre el campo F ₂ viene dada por

{\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}

que se desprende de:

\left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}

La ecuación funcional es

Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)

Como sólo nos interesa el comportamiento de , podemos utilizar una función zeta reducida $a_{n}$

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)

Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)

y entonces

Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)

que conduce directamente a las funciones L locales

L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}

La conjetura de Sato-Tate es una afirmación sobre cómo varía el término de error en el teorema de Hasse con los diferentes primos q , si una curva elíptica E sobre Q se reduce módulo q. Se demostró (para casi todas estas curvas) en 2006 debido a los resultados de Taylor, Harris y Shepherd-Barron, ^[18] y dice que los términos de error están equidistribuidos. $2{\sqrt {q}}$

Las curvas elípticas sobre campos finitos se aplican especialmente en criptografía y para la factorización de números enteros grandes. Estos algoritmos suelen hacer uso de la estructura de grupo en los puntos de E. Los algoritmos que son aplicables a grupos generales, por ejemplo el grupo de elementos invertibles en campos finitos, F * _q , pueden aplicarse al grupo de puntos en una curva elíptica. Por ejemplo, el logaritmo discreto es uno de esos algoritmos. El interés de esto es que elegir una curva elíptica permite más flexibilidad que elegir q (y por tanto el grupo de unidades en F _q ). Además, la estructura de grupo de curvas elípticas es generalmente más complicada.

Curvas elípticas sobre un campo general.

Se pueden definir curvas elípticas sobre cualquier campo K ; la definición formal de curva elíptica es una curva algebraica proyectiva no singular sobre K con género 1 y dotada de un punto distinguido definido sobre K.

Si la característica de K no es ni 2 ni 3, entonces toda curva elíptica sobre K se puede escribir en la forma

y^{2}=x^{3}-px-q

después de un cambio lineal de variables. Aquí p y q son elementos de K tales que el polinomio del lado derecho x ³ − px − q no tiene raíces dobles. Si la característica es 2 o 3, entonces es necesario conservar más términos: en la característica 3, la ecuación más general tiene la forma

y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}

para constantes arbitrarias b ₂ , b ₄ , b ₆ tales que el polinomio del lado derecho tiene raíces distintas (la notación se elige por razones históricas). En la característica 2, ni siquiera esto es posible, y la ecuación más general es

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

siempre que la variedad que defina sea no singular. Si la característica no fuera un obstáculo, cada ecuación se reduciría a las anteriores por un adecuado cambio lineal de variables.

Normalmente se considera que la curva es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación anterior y que tanto x como y son elementos de la clausura algebraica de K. Los puntos de la curva cuyas coordenadas pertenecen a K se denominan puntos K -racionales .

Muchos de los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando el campo de definición de E es un campo numérico K , es decir, una extensión de campo finito de Q. En particular, el grupo E(K) de K -puntos racionales de una curva elíptica E definida sobre K se genera de forma finita, lo que generaliza el teorema de Mordell-Weil anterior. Un teorema de Loïc Merel muestra que para un entero dado d , hay ( hasta el isomorfismo) solo un número finito de grupos que pueden ocurrir como grupos de torsión de E ( K ) para una curva elíptica definida sobre un campo numérico K de grado d. . Más precisamente, ^[19] existe un número B ( d ) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre un campo numérico K de grado d , cualquier punto de torsión de E ( K ) es de orden menor que B ( d ). El teorema es efectivo: para d > 1, si un punto de torsión es de orden p , con p primo, entonces

p<d^{3d^{2}}

En cuanto a los puntos integrales, el teorema de Siegel se generaliza a lo siguiente: Sea E una curva elíptica definida sobre un campo numérico K , xey las coordenadas de Weierstrass. Entonces sólo hay un número finito de puntos de E(K) cuya coordenada x está en el anillo de los números _enteros OK .

Las propiedades de la función zeta de Hasse-Weil y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer también pueden extenderse a esta situación más general.

Curvas elípticas sobre los números complejos.

La formulación de curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se deriva naturalmente de una curiosa propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass . Estas funciones y su primera derivada están relacionadas por la fórmula

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

Aquí, $g 2$ y $g 3$ son constantes; $℘(z)$ es la función elíptica de Weierstrass y $℘' (z)$ su derivada. Debe quedar claro que esta relación tiene la forma de una curva elíptica (sobre los números complejos ). Las funciones de Weierstrass son doblemente periódicas; es decir, son periódicos con respecto a una red $Λ$ ; en esencia, las funciones de Weierstrass se definen naturalmente en un toro $T = C /Λ$ . Este toro puede incrustarse en el plano proyectivo complejo mediante el mapa

z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]

Este mapa es un isomorfismo de grupo del toro (considerado con su estructura de grupo natural) con la ley de grupo de cuerda y tangente en la curva cúbica que es la imagen de este mapa. También es un isomorfismo de las superficies de Riemann desde el toro a la curva cúbica, por lo que topológicamente, una curva elíptica es un toro. Si la red $Λ está relacionada mediante la multiplicación por un número complejo$ $c$ distinto de cero con una red $c Λ$ , entonces las curvas correspondientes son isomorfas. Las clases de isomorfismo de curvas elípticas están especificadas por el invariante j .

Las clases de isomorfismo también se pueden entender de una manera más sencilla. Las constantes $g 2$ y $g 3$ , llamadas invariantes modulares , están determinadas únicamente por la red, es decir, por la estructura del toro. Sin embargo, todos los polinomios reales se factorizan completamente en factores lineales sobre los números complejos, ya que el cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica de los reales. Entonces, la curva elíptica se puede escribir como

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )

Uno encuentra que

{\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}

j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}

con $j$ -invariante $j (τ)$ y $λ (τ)$ a veces se denomina función lambda modular . Por ejemplo, sea $τ = 2 i$ , entonces $λ (2 i) = (-1 + \sqrt 2) 4$ lo que implica $g' 2$ , $g' 3$ , y por lo tanto $g' 23 - 27 gramos' 32$ de la fórmula anterior son todos números algebraicos si $τ$ involucra un campo cuadrático imaginario . De hecho, produce el número entero $j (2 i) = 66 3 = 287496$ .

Por el contrario, el discriminante modular

\Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )

es generalmente un número trascendental . En particular, el valor de la función eta de Dedekind $η (2 i)$ es

\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}

Tenga en cuenta que el teorema de uniformización implica que cada superficie compacta de Riemann de género uno puede representarse como un toro. Esto también permite una fácil comprensión de los puntos de torsión en una curva elíptica: si la red $Λ$ está abarcada por los períodos fundamentales $ω 1$ y $ω 2$ , entonces los $n$ -puntos de torsión son los (clases de equivalencia de) puntos de la forma

{\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}

para números enteros $a$ y $b$ en el rango $0 \leq (a, b) < n$ .

E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})

es una curva elíptica sobre los números complejos y

a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},

entonces un par de períodos fundamentales de $E$ se pueden calcular muy rápidamente mediante

\omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}

$M(w, z)$ es la media aritmético-geométrica de $w$ y $z$ . En cada paso de la iteración de la media aritmético-geométrica, los signos de $z n$ que surgen de la ambigüedad de las iteraciones de la media geométrica se eligen de modo que $| w norte - z norte | \leq | w norte + z norte |$ donde $w n$ y $z n$ denotan las iteraciones individuales de la media aritmética y la media geométrica de $w$ y $z$ , respectivamente. Cuando $| w norte - z norte | = | w norte + z norte |$ , hay una condición adicional de que $soy (zn / wn ) > 0$ .^[20]

En los números complejos, cada curva elíptica tiene nueve puntos de inflexión . Cada línea que pasa por dos de estos puntos también pasa por un tercer punto de inflexión; Los nueve puntos y las 12 líneas así formadas forman una realización de la configuración de Hesse .

La isogenia dual

Dada una isogenia

f:E\rightarrow E'

de curvas elípticas de grado , la isogenia dual es una isogenia $n$

{\hat {f}}:E'\rightarrow E

del mismo grado tal que

f\circ {\hat {f}}=[n].

Aquí denota la multiplicación por isogenia que tiene grado $[n]$ $n$ $e\mapsto ne$ $n^{2}.$

Construcción de la isogenia dual

A menudo sólo se necesita la existencia de una isogenia dual, pero se puede dar explícitamente como la composición

E'\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E')\to {\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,

donde está el grupo de divisores de grado 0. Para hacer esto, necesitamos mapas dados por donde está el punto neutro de y dado por ${\mathrm {Div} }^{0}$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $P\to P-O$ $O$ $E$ ${\mbox{Div}}^{0}(E)\rightarrow E\,$ $\sum n_{P}P\to \sum n_{P}P.$

Para ver esto , tenga en cuenta que la isogenia original se puede escribir como una isogenia compuesta. $f\circ {\hat {f}}=[n]$ $f$

E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)\to {\mbox{Div}}^{0}(E')\to E'\,

y que como es finito de grado , es multiplicación por on $f$ $n$ $f_{*}f^{*}$ $n$ ${\mbox{Div}}^{0}(E').$

Alternativamente, podemos usar el grupo Picard más pequeño , un cociente de El mapa desciende a un isomorfismo , La isogenia dual es ${\mathrm {Pic} }^{0}$ ${\mbox{Div}}^{0}.$ $E\rightarrow {\mbox{Div}}^{0}(E)$ $E\to {\mbox{Pic}}^{0}(E).$

E'\to {\mbox{Pic}}^{0}(E')\to {\mbox{Pic}}^{0}(E)\to E\,

Tenga en cuenta que la relación también implica la relación conjugada. De hecho, sea Then But es sobreyectiva , por lo que debemos tener $f\circ {\hat {f}}=[n]$ ${\hat {f}}\circ f=[n].$ $\phi ={\hat {f}}\circ f.$ $\phi \circ {\hat {f}}={\hat {f}}\circ [n]=[n]\circ {\hat {f}}.$ ${\hat {f}}$ $\phi =[n].$

Algoritmos que utilizan curvas elípticas

Las curvas elípticas sobre campos finitos se utilizan en algunas aplicaciones criptográficas , así como para la factorización de números enteros . Normalmente, la idea general en estas aplicaciones es que un algoritmo conocido que hace uso de ciertos grupos finitos se reescribe para usar grupos de puntos racionales de curvas elípticas. Para obtener más información, consulte también:

Criptografía de curva elíptica
Intercambio de claves Diffie-Hellman de curva elíptica
Intercambio de claves de isogenia supersingular
Algoritmo de firma digital de curva elíptica
Algoritmo de firma digital EdDSA
Generador de números aleatorios Dual EC DRBG
Factorización de curva elíptica de Lenstra
Prueba de primalidad de la curva elíptica

Representaciones alternativas de curvas elípticas.

Ver también

Notas

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^ Silverman 1986, III.1 Ecuaciones de Weierstrass (p.45)
^ T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur , Mémorial des sciences mathématiques 39, París, Gauthier-Villars, 1929, págs.
^ OEIS: https://oeis.org/A029728
^ Siksek, Samir (1995), Descensos de curvas del género 1 (tesis doctoral), Universidad de Exeter, págs. 16-17, hdl :10871/8323.
^ Silverman 1986, Teorema 4.1
^ Silverman 1986, págs. 199-205
^ Véase también JWS Cassels, Mordell 's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 y el comentario de A. Weil sobre la génesis de su trabajo: A. Weil, Collected Papers , vol. 1, 520–521.
^ Dujella, Andrej . "Historia de los récords de clasificación de curvas elípticas". Universidad de Zagreb.
^ Silverman 1986, Teorema 7.5
^ Silverman 1986, comentario 7.8 en el cap. VIII
^ La definición es formal, el exponencial de esta serie de potencias sin término constante denota el desarrollo habitual.
^ ver, por ejemplo, Silverman, Joseph H. (2006). "Introducción a la teoría de las curvas elípticas" (PDF) . Escuela de verano sobre teoría computacional de números y aplicaciones a la criptografía . Universidad de Wyoming.
^ Koblitz 1993
^ Heath-Brown, DR (2004). "El rango analítico promedio de las curvas elípticas". Revista de Matemáticas de Duke . 122 (3): 591–623. arXiv : matemáticas/0305114 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3. S2CID 15216987.
^ Véase Koblitz 1994, pag. 158
^ Koblitz 1994, pag. 160
^ Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). "Una familia de variedades Calabi-Yau y posible automorfía". Anales de Matemáticas . 171 (2): 779–813. doi : 10.4007/anales.2010.171.779 .
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Referencias

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la curva elíptica.

Wikiquote tiene citas relacionadas con la curva elíptica .

LMFDB: Base de datos de curvas elípticas sobre Q
"Curva elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Curvas elípticas". MundoMatemático .
La aritmética de curvas elípticas de PlanetMath
Curva elíptica interactiva sobre R y Zp: aplicación web que requiere un navegador compatible con HTML5.

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