Niels Henrik Abel ( / ˈ ɑː b əl / AH -bəl , noruego: [ˌnɪls ˈhɛ̀nːɾɪk ˈɑ̀ːbl̩] ; 5 de agosto de 1802 - 6 de abril de 1829) fue un matemático noruego que hizo contribuciones pioneras en una variedad de campos. [1] Su resultado individual más famoso es la primera prueba completa que demuestra la imposibilidad de resolver la ecuación quíntica general en radicales. Esta cuestión era uno de los problemas abiertos más destacados de su época y había estado sin resolver durante más de 250 años. [2] También fue un innovador en el campo de las funciones elípticas , descubridor de las funciones abelianas . Hizo sus descubrimientos mientras vivía en la pobreza y murió a la edad de 26 años de tuberculosis .
La mayor parte de su trabajo lo realizó en seis o siete años de su vida laboral. [3] Respecto a Abel, el matemático francés Charles Hermite dijo: "Abel ha dejado a los matemáticos suficientes para mantenerlos ocupados durante quinientos años". [3] [4] Otro matemático francés, Adrien-Marie Legendre , dijo: "¡Qué cabeza tiene el joven noruego!" [5]
El Premio Abel de Matemáticas, propuesto originalmente en 1899 para complementar los Premios Nobel (pero concedido por primera vez en 2003), lleva su nombre.
Niels Henrik Abel nació prematuramente en Nedstrand , Noruega, como segundo hijo del pastor Søren Georg Abel y Anne Marie Simonsen. Cuando nació Niels Henrik Abel, la familia vivía en una rectoría en Finnøy . Todo indica que Niels Henrik nació en la parroquia vecina, ya que sus padres fueron invitados del alguacil de Nedstrand en julio/agosto de su año de nacimiento. [6] [nota 1]
El padre de Niels Henrik Abel, Søren Georg Abel, era licenciado en teología y filosofía y se desempeñaba como pastor en Finnøy . El padre de Søren, el abuelo de Niels, Hans Mathias Abel, también era pastor en la iglesia de Gjerstad , cerca de la ciudad de Risør . Søren había pasado su infancia en Gjerstad y también había servido allí como capellán; y tras la muerte de su padre en 1804, Søren fue nombrado pastor en Gjerstad y la familia se mudó allí. La familia Abel era originaria de Schleswig y llegó a Noruega en el siglo XVII.
Anne Marie Simonsen era de Risør ; su padre, Niels Henrik Saxild Simonsen, era comerciante y armador de barcos mercantes, y se decía que era la persona más rica de Risør. Anne Marie había crecido con dos madrastras , en un entorno relativamente lujoso. En la rectoría de Gjerstad, le gustaba organizar bailes y reuniones sociales. Mucho sugiere que ella fue alcohólica desde temprana edad y se interesó poco en la crianza de los niños. Niels Henrik y sus hermanos recibieron la educación de su padre, con libros escritos a mano para leer. Una tabla de suma en un libro de matemáticas dice: 1+0=0. [6]
Con la independencia de Noruega y las primeras elecciones celebradas en Noruega, en 1814, Søren Abel fue elegido representante del Storting . Las reuniones del Storting se llevaron a cabo hasta 1866 en el salón principal de la Escuela Catedralicia de Christiania (ahora conocida como Oslo ). Seguramente así fue como entró en contacto con la escuela y decidió que su hijo mayor, Hans Mathias, comenzaría allí el año siguiente. Sin embargo, cuando se acercaba el momento de su partida, Hans estaba tan triste y deprimido por tener que irse de casa que su padre no se atrevió a despedirlo. Decidió enviar a Niels en su lugar. [6]
En 1815, Niels Abel ingresó a la escuela de la catedral a la edad de 13 años. Su hermano mayor, Hans, se unió a él allí un año después. Compartían habitaciones y tenían clases juntos. Hans obtuvo mejores notas que Niels; sin embargo, en 1818 se nombró un nuevo profesor de matemáticas, Bernt Michael Holmboe , que dio a los estudiantes tareas matemáticas para hacer en casa. Vio el talento de Niels Henrik en matemáticas y lo animó a estudiar la materia a un nivel avanzado. Incluso le dio lecciones privadas a Niels después de la escuela.
En 1818, Søren Abel tuvo una discusión teológica pública con el teólogo Stener Johannes Stenersen sobre su catecismo de 1806. La discusión fue bien cubierta por la prensa. Søren recibió el sobrenombre de "Abel Treating" ( en noruego : "Abel Spandabel") . Se dijo que la reacción de Niels a la pelea fue "excesiva alegría". Al mismo tiempo, Søren también estuvo a punto de enfrentarse a un juicio político tras insultar a Carsten Anker , el anfitrión de la Asamblea Constituyente de Noruega ; y en septiembre de 1818 regresó a Gjerstad con su carrera política en ruinas. Comenzó a beber mucho y murió sólo dos años después, en 1820, a la edad de 48 años.
Bernt Michael Holmboe apoyó a Niels Henrik Abel con una beca para permanecer en la escuela y recaudó dinero de sus amigos para que pudiera estudiar en la Royal Frederick University .
Cuando Abel ingresó en la universidad en 1821, ya era el matemático con más conocimientos de Noruega. Holmboe no tenía nada más que enseñarle y Abel había estudiado toda la literatura matemática más reciente en la biblioteca de la universidad. Durante ese tiempo, Abel comenzó a trabajar en la ecuación quíntica en radicales. Los matemáticos llevaban más de 250 años buscando una solución a este problema. En 1821, Abel pensó que había encontrado la solución. Los dos profesores de matemáticas de Christiania, Søren Rasmussen y Christopher Hansteen , no encontraron errores en las fórmulas de Abel y enviaron el trabajo al principal matemático de los países nórdicos, Carl Ferdinand Degen , en Copenhague. Él tampoco encontró fallos, pero aún dudaba de que la solución que tantos matemáticos destacados habían buscado durante tanto tiempo pudiera realmente haberla encontrado un estudiante desconocido en la lejana Christiania. Degen notó, sin embargo, la mente inusualmente aguda de Abel, y creía que un joven tan talentoso no debería desperdiciar sus habilidades en un "objeto estéril" como la ecuación de quinto grado, sino más bien en funciones elípticas y la trascendencia ; porque entonces, escribió Degen, "descubriría vías magallánicas hacia grandes porciones de un vasto océano analítico". [6] Degen le pidió a Abel que le diera un ejemplo numérico de su método. Al intentar dar un ejemplo, Abel encontró un error en su artículo. [9] Esto llevó al descubrimiento en 1823 de que una solución a una ecuación de quinto grado o superior era imposible. [10]
Abel se graduó en 1822. Su desempeño fue excepcionalmente alto en matemáticas y promedio en otras materias.
Después de graduarse, los profesores de la universidad apoyaron económicamente a Abel y el profesor Christopher Hansteen le dejó vivir en una habitación en el ático de su casa. Más tarde, Abel vería a la Sra. Hansteen como su segunda madre. Mientras vivía aquí, Abel ayudó a su hermano menor, Peder Abel, a través del examen artium . También ayudó a su hermana Elisabeth a encontrar trabajo en la localidad.
A principios de 1823, Niels Abel publicó su primer artículo en "Magazin for Naturvidenskaberne", la primera revista científica de Noruega, cofundada por el profesor Hansteen. Abel publicó varios artículos, pero la revista pronto se dio cuenta de que no era material para el lector común. En 1823, Abel también escribió un artículo en francés. Era "una representación general de la posibilidad de integrar todas las fórmulas diferenciales" ( noruego : en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler) . Solicitó fondos a la universidad para publicarlo. Sin embargo, el trabajo se perdió mientras se revisaba y nunca más se volvió a encontrar. [6]
A mediados de 1823, el profesor Rasmussen le regaló a Abel 100 speciedaler para que pudiera viajar a Copenhague y visitar a Ferdinand Degen y otros matemáticos allí. Mientras estuvo en Copenhague, Abel trabajó algo sobre el último teorema de Fermat . El tío de Abel, Peder Mandrup Tuxen, vivía en la base naval de Christianshavn , Copenhague, y en un baile allí Niels Abel conoció a Christine Kemp, su futura prometida. En 1824, Christine se mudó a Son , Noruega, para trabajar como institutriz y la pareja se comprometió durante la Navidad. [6]
Después de regresar de Copenhague, Abel solicitó una beca del gobierno para visitar a los mejores matemáticos en Alemania y Francia, pero en cambio le concedieron 200 speciedaler al año durante dos años para quedarse en Christiania y estudiar alemán y francés. Durante los dos años siguientes le prometieron una beca de 600 speciedaler al año y luego le permitirían viajar al extranjero. [6] Mientras estudiaba estos idiomas, Abel publicó su primer trabajo notable en 1824, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré [11] (Memoria sobre ecuaciones algebraicas, en la que se demuestra la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado). En 1823, Abel había demostrado por fin la imposibilidad de resolver la ecuación quíntica en radicales (ahora denominado teorema de Abel-Ruffini ). Sin embargo, este documento estaba en una forma abstrusa y difícil, en parte porque se había limitado a sólo seis páginas para ahorrar dinero en la impresión. Una prueba más detallada se publicó en 1826 en el primer volumen del Crelle's Journal .
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En 1825, Abel escribió una carta personal al rey Carl Johan de Noruega/Suecia solicitando permiso para viajar al extranjero. Se le concedió este permiso y en septiembre de 1825 abandonó Christiania junto con cuatro amigos de la universidad (Christian PB Boeck, Balthazar M. Keilhau, Nicolay B. Møller y Otto Tank). Estos cuatro amigos de Abel viajaban a Berlín y a los Alpes para estudiar geología. Abel quería seguirlos hasta Copenhague y desde allí llegar a Göttingen. Las condiciones de su beca estipulaban que visitaría a Gauss en Göttingen y luego continuaría hacia París. Sin embargo, cuando llegó a Copenhague cambió de planes. En cambio, quería seguir a sus amigos a Berlín y después visitar Göttingen y París. [6]
En el camino visitó al astrónomo Heinrich Christian Schumacher en Altona, hoy distrito de Hamburgo. Luego pasó cuatro meses en Berlín, donde conoció bien a August Leopold Crelle , quien entonces estaba a punto de publicar su revista de matemáticas, Journal für die reine und angewandte Mathematik . Este proyecto fue alentado calurosamente por Abel, quien contribuyó mucho al éxito del emprendimiento. Abel contribuyó con siete artículos en su primer año.
Desde Berlín, Abel también siguió a sus amigos hasta los Alpes. Fue a Leipzig y Freiberg para visitar a Georg Amadeus Carl Friedrich Naumann y a su hermano, el matemático August Naumann. En Freiberg, Abel investigó la teoría de funciones, en particular las elípticas , hiperelípticas y una nueva clase ahora conocida como funciones abelianas .
De Freiberg pasaron a Dresde, Praga, Viena, Trieste, Venecia, Verona, Bolzano, Innsbruck, Lucerna y Basilea. A partir de julio de 1826, Abel viajó solo de Basilea a París. Abel había enviado la mayor parte de su trabajo a Berlín para ser publicado en el Crelle's Journal, pero había guardado lo que consideraba su trabajo más importante para la Academia Francesa de Ciencias , un teorema sobre la suma de diferenciales algebraicas. Con la ayuda del pintor Johan Gørbitz , encontró un apartamento en París y continuó su trabajo sobre el teorema. Lo terminó en octubre de 1826 y lo presentó a la academia. Iba a ser revisado por Augustin-Louis Cauchy . La obra de Abel era poco conocida en París y su modestia le impidió proclamar sus investigaciones. El teorema fue dejado de lado y olvidado hasta su muerte.
Las limitadas finanzas de Abel finalmente lo obligaron a abandonar su gira en enero de 1827. Regresó a Berlín y le ofrecieron un puesto como editor del Crelle's Journal, pero optó por no participar. En mayo de 1827 estaba de regreso en Noruega. Su gira por el extranjero fue vista como un fracaso. [ ¿ por quién? ] No había visitado a Gauss en Göttingen y no había publicado nada en París. Por lo tanto, su beca no fue renovada y tuvo que solicitar un préstamo privado en el Norges Bank por valor de 200 spesidaler. Nunca pagó este préstamo. También comenzó a dar clases particulares. Continuó enviando la mayor parte de su trabajo al Crelle's Journal. Pero a mediados de 1828 publicó, en rivalidad con Carl Jacobi , un importante trabajo sobre funciones elípticas en Astronomische Nachrichten en Altona.
Mientras estaba en París, Abel contrajo tuberculosis . En la Navidad de 1828, viajó en trineo a Froland , Noruega, para visitar a su prometida. Enfermó gravemente durante el viaje. Aunque una mejora temporal permitió a la pareja disfrutar de las vacaciones juntos, él murió relativamente poco después, el 6 de abril de 1829, apenas dos días antes de que llegara una carta de August Crelle diciéndole a Abel que Crelle le había conseguido un nombramiento como profesor en la Universidad de Berlín. . [ cita necesaria ]
Abel demostró que no existe una solución algebraica general para las raíces de una ecuación quíntica , ni ninguna ecuación polinómica general de grado mayor que cuatro, en términos de operaciones algebraicas explícitas con el teorema de Abel-Ruffini . Para ello, inventó (independientemente de Galois ) una rama de las matemáticas conocida como teoría de grupos , que es invaluable no sólo en muchas áreas de las matemáticas, sino también para gran parte de la física . Abel envió un artículo sobre la insolubilidad de la ecuación quíntica a Carl Friedrich Gauss , quien procedió a descartar sin siquiera mirar lo que creía que era el trabajo inútil de un chiflado. [12]
Cuando tenía 16 años, Abel hizo una prueba rigurosa del teorema del binomio válido para todos los números, ampliando el resultado de Euler que había sido válido sólo para los racionales . [13] [14] Abel escribió una obra fundamental sobre la teoría de las integrales elípticas , que contiene los fundamentos de la teoría de las funciones elípticas . Mientras viajaba a París publicó un artículo que revelaba la doble periodicidad de las funciones elípticas, que Adrien-Marie Legendre describió más tarde a Augustin-Louis Cauchy como "un monumento más duradero que el bronce" (tomando prestada una famosa frase del poeta romano Horacio ). Sin embargo, Cauchy extravió el documento. [12]
Mientras estaba en el extranjero, Abel había enviado la mayor parte de su trabajo a Berlín para ser publicado en el Crelle's Journal , pero había guardado lo que consideraba su trabajo más importante para la Academia de Ciencias de Francia, un teorema sobre la suma de diferenciales algebraicas. El teorema fue dejado de lado y olvidado hasta su muerte. Mientras estuvo en Freiberg, Abel investigó la teoría de funciones, particularmente las elípticas , hiperelípticas y una nueva clase ahora conocida como funciones abelianas .
En 1823, Abel escribió un artículo titulado "una representación general de la posibilidad de integrar todas las fórmulas diferenciales" ( noruego : en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler ). Solicitó fondos a la universidad para publicarlo. Sin embargo, el trabajo se perdió mientras era revisado y nunca más se volvió a encontrar. [6]
Abel dijo lo siguiente sobre el estilo de escritura de Carl Friedrich Gauss : "Es como el zorro, que borra sus huellas en la arena con su cola". Gauss le respondió diciendo: "Ningún arquitecto que se precie deja el andamio en su lugar después de terminar su edificio". [15]
Bajo la dirección de Abel, las oscuridades prevalecientes en el análisis comenzaron a aclararse, se abordaron nuevos campos y el estudio de funciones avanzó tanto que proporcionó a los matemáticos numerosas ramificaciones a lo largo de las cuales se podía avanzar. Sus obras, la mayor parte de las cuales aparecieron originalmente en el Crelle's Journal , fueron editadas por Bernt Michael Holmboe y publicadas en 1839 por el gobierno noruego, y en 1881 se publicó una edición más completa de Ludwig Sylow y Sophus Lie . El adjetivo "abelian" , derivado de su nombre, se ha vuelto tan común en la escritura matemática que convencionalmente se escribe con una "a" inicial minúscula (p. ej., grupo abeliano , categoría abeliana y variedad abeliana ).
El 6 de abril de 1929 se emitieron cuatro sellos noruegos con motivo del centenario de la muerte de Abel. Su retrato aparece en el billete de 500 coronas (versión V) emitido entre 1978 y 1985. El 5 de junio de 2002 se emitieron cuatro sellos noruegos en honor de Abel, dos meses antes del bicentenario de su nacimiento. También hay una moneda de 20 coronas emitida por Noruega en su honor. En Oslo hay una estatua de Abel, y el cráter Abel de la Luna lleva su nombre. En 2002 se instituyó en su memoria el Premio Abel .
El matemático Felix Klein escribió sobre Abel:
Pero no me gustaría alejarme de este tipo ideal de investigador, como pocas veces ha aparecido en la historia de las matemáticas, sin evocar a una figura de otro ámbito que, a pesar de su campo totalmente diferente, todavía parece relacionado. Así, aunque Abel compartía con muchos matemáticos una completa falta de talento musical, no parecería absurdo si comparo su tipo de productividad y su personalidad con la de Mozart . Así, se podría erigir un monumento a este matemático divinamente inspirado, como el de Mozart en Viena: sencillo y sin pretensiones, permanece allí escuchando, mientras gráciles ángeles flotan, trayendo juguetonamente inspiración de otro mundo. En cambio, debo mencionar el tipo muy diferente de monumento que de hecho se erigió a Abel en Christiania y que debe decepcionar enormemente a cualquiera que esté familiarizado con su naturaleza. Sobre un imponente y empinado bloque de granito, un joven atleta al estilo byroniano pasa por encima de dos víctimas de sacrificio grisáceas, dirigiéndose hacia el cielo. Si fuera necesario, uno podría tomar al héroe como un símbolo del espíritu humano, pero reflexiona en vano sobre el significado más profundo de los dos monstruos. ¿Son las ecuaciones quinticas conquistadas o funciones elípticas? ¿O las penas y preocupaciones de su vida cotidiana? El pedestal del monumento lleva, en letras inmensas, la inscripción ABEL. [dieciséis]
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