Paralelogramo

Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos

En geometría euclidiana , un paralelogramo es un cuadrilátero simple (que no se interseca ) con dos pares de lados paralelos . Los lados opuestos o enfrentados de un paralelogramo tienen la misma longitud y los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen la misma medida. La congruencia de lados opuestos y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado de las paralelas euclidianas y ninguna de las condiciones puede probarse sin apelar al postulado de las paralelas euclidianas o una de sus formulaciones equivalentes.

En comparación, un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos es un trapezoide en inglés americano o un trapecio en inglés británico.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo .

La etimología (en griego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , una forma "de líneas paralelas") refleja la definición.

Casos especiales

• Rectángulo : un paralelogramo con cuatro ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).
• Rombo : paralelogramo con cuatro lados de igual longitud. Cualquier paralelogramo que no sea ni rectángulo ni rombo se llamaba tradicionalmente romboide, pero este término no se utiliza en las matemáticas modernas. ^[1]
• Cuadrado : un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (que no se intersecta a sí mismo) es un paralelogramo si y sólo si cualquiera de las siguientes afirmaciones es verdadera: ^{[2] [3]}

• Dos pares de lados opuestos son paralelos (por definición).
• Dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud.
• Dos pares de ángulos opuestos tienen la misma medida.
• Las diagonales se bisecan entre sí.
• Un par de lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
• Los ángulos adyacentes son suplementarios .
• Cada diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes .
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. (Esta es la ley del paralelogramo ).
• Tiene simetría rotacional de orden 2.
• La suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados es independiente de la ubicación del punto. ^[4] (Esta es una extensión del teorema de Viviani ).
• Hay un punto X en el plano del cuadrilátero con la propiedad de que toda recta que pasa por X divide el cuadrilátero en dos regiones de igual área. ^[5]

Por lo tanto, todos los paralelogramos tienen todas las propiedades enumeradas anteriormente y, a la inversa , si solo una de estas afirmaciones es verdadera en un cuadrilátero simple, entonces es un paralelogramo.

Otras propiedades

• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición) y por eso nunca se cruzarán.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por una de sus diagonales.
• El área de un paralelogramo también es igual a la magnitud del producto vectorial de dos lados adyacentes .
• Cualquier recta que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área. ^[6]
• Cualquier transformación afín no degenerada lleva un paralelogramo a otro paralelogramo.
• Un paralelogramo tiene simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°) (o de orden 4 si es un cuadrado). Si también tiene exactamente dos ejes de simetría reflexiva, entonces debe ser un rombo o un oblongo (un rectángulo no cuadrado). Si tiene cuatro ejes de simetría reflexiva, es un cuadrado .
• El perímetro de un paralelogramo es 2 ( a + b ), donde a y b son las longitudes de los lados adyacentes.
• A diferencia de cualquier otro polígono convexo, un paralelogramo no puede inscribirse en ningún triángulo con menos del doble de su área. ^[7]
• Los centros de cuatro cuadrados, todos construidos interna o externamente en los lados de un paralelogramo, son los vértices de un cuadrado. ^[8]
• Si dos líneas paralelas a los lados de un paralelogramo se construyen al mismo tiempo que una diagonal, entonces los paralelogramos formados en lados opuestos de esa diagonal tienen el mismo área. ^[8]
• Las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos de igual área.

Fórmula de área

Un paralelogramo se puede reorganizar en un rectángulo con la misma área.

Animación para la fórmula del área . ${\displaystyle K=bh}$

Todas las fórmulas de áreas para cuadriláteros convexos generales se aplican a paralelogramos. Otras fórmulas son específicas de paralelogramos:

Un paralelogramo con base b y altura h se puede dividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , y reorganizarse en un rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es la misma que la de un rectángulo con la misma base y altura:

${\displaystyle K=bh.}$

El área del paralelogramo es el área de la región azul, que es el interior del paralelogramo.

La fórmula del área base × altura también se puede derivar usando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo de la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. El área del rectángulo es

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

y el área de un solo triángulo es

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

Por tanto, el área del paralelogramo es

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y un ángulo θ, es

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

El área de un paralelogramo con lados B y C ( B ≠ C ) y ángulo en la intersección de las diagonales está dado por ^[9] ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D ₁ de cualquiera de las diagonales, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Heron . Específicamente es

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}}$

donde y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes. ${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$

Desde coordenadas de vértice

Sean vectores y denoten la matriz con elementos de a y b . Entonces el área del paralelogramo generado por a y b es igual a . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$

Dejemos vectores y dejemos . Entonces el área del paralelogramo generado por a y b es igual a . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$

Deja puntos . Entonces, el área con signo del paralelogramo con vértices en a , b y c es equivalente al determinante de una matriz construida usando a , b y c como filas con la última columna rellenada con unos de la siguiente manera: ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle K=\left|{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{matrix}}\right|.}$

Prueba de que las diagonales se bisecan

Paralelogramo ABCD

Para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan, usaremos triángulos congruentes :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (los ángulos alternos internos tienen la misma medida)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (los ángulos alternos internos tienen la misma medida) .

(ya que estos son ángulos que forma una transversal con las rectas paralelas AB y DC ).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC , ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado de ASA, dos ángulos correspondientes y el lado incluido ).

Por lo tanto,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Como las diagonales AC y BD se dividen en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Por separado, dado que las diagonales AC y BD se bisecan en el punto E , el punto E es el punto medio de cada diagonal.

Red de paralelogramos

Los paralelogramos pueden formar mosaicos en el plano mediante traslación. Si las aristas son iguales o los ángulos son rectos, la simetría de la red es mayor. Estos representan las cuatro redes de Bravais en 2 dimensiones .

Paralelogramos que surgen de otras figuras.

Triángulo automediano

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas tienen las mismas proporciones que sus lados (aunque en diferente orden). Si ABC es un triángulo automediano en el que el vértice A está opuesto al lado a , G es el centroide (donde se cruzan las tres medianas de ABC ) y AL es una de las medianas extendidas de ABC con L en la circunferencia circunscrita de ABC , entonces BGCL es un paralelogramo.

paralelogramo de Varignon

Prueba sin palabras del teorema de Varignon.

El teorema de Varignon sostiene que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo, llamado paralelogramo de Varignon . Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (es decir, no se interseca), entonces el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Prueba sin palabras (ver figura):

1. Un cuadrilátero arbitrario y sus diagonales.
2. Las bases de triángulos semejantes son paralelas a la diagonal azul.
3. Lo mismo ocurre con la diagonal roja.
4. Los pares de bases forman un paralelogramo con la mitad del área del cuadrilátero, A _q , como suma de las áreas de los cuatro triángulos grandes, Al _es 2 A _q (cada uno de los dos pares reconstruye el cuadrilátero) mientras que la del pequeño triángulos, A _s es un cuarto de Al (la mitad _de las dimensiones lineales produce un cuarto de área), y el área del paralelogramo es A _q menos A _s .

Paralelogramo tangente de una elipse

Para una elipse , se dice que dos diámetros son conjugados si y sólo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo delimitador, formado por las líneas tangentes a la elipse en los cuatro puntos finales de los diámetros conjugados. Todos los paralelogramos tangentes de una elipse dada tienen la misma área.

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados o de cualquier paralelogramo tangente.

Caras de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas seis caras son paralelogramos.

Ver también

• Paralelogramo fundamental (desambiguación)
• antiparalelogramo
• Paralelogramoide de Levi-Civita

Referencias

1. "CIMT: la página ya no está disponible en los servidores de la Universidad de Plymouth" (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2014.
2. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos de geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, págs.
3. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición", Information Age Publishing, 2008, pág. 22.
4. Chen, Zhibo y Liang, Tian. "Lo contrario del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, págs. 390–391.
5. Problema 5, Olimpiada Británica de Matemáticas de 2006 , [1].
6. Dunn, JA y JE Pretty, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, pág. 105.
7. Weisstein, Eric W. "Triángulo circunscrito". Mundo matemático Wolfram .
8. Weisstein, Eric W. "Paralelogramo". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
9. Mitchell, Douglas W., "El área de un cuadrilátero", Mathematical Gazette , julio de 2009.

enlaces externos

• Paralelogramo y Rombo - Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Weisstein, Eric W. "Paralelogramo". MundoMatemático .
• Paralelogramo interactivo: lados, ángulos y pendiente
• Área del paralelogramo en el corte del nudo
• Triángulos equiláteros en los lados de un paralelogramo al cortar el nudo
• Definición y propiedades de un paralelogramo con subprograma animado.
• Subprograma interactivo que muestra el cálculo del área del paralelogramo subprograma interactivo