grupo cociente

Grupo obtenido agregando elementos similares de un grupo más grande

Un grupo de cocientes o grupo de factores es un grupo matemático que se obtiene agregando elementos similares de un grupo más grande utilizando una relación de equivalencia que preserva parte de la estructura del grupo (el resto de la estructura se "factoriza"). Por ejemplo, el grupo cíclico de suma módulo n se puede obtener a partir del grupo de números enteros bajo suma identificando elementos que difieren en un múltiplo de y definiendo una estructura de grupo que opera en cada una de esas clases (conocida como clase de congruencia ) como una sola. entidad. Forma parte del campo matemático conocido como teoría de grupos . ${\displaystyle n}$

Para una relación de congruencia en un grupo, la clase de equivalencia del elemento de identidad es siempre un subgrupo normal del grupo original, y las otras clases de equivalencia son precisamente las clases laterales de ese subgrupo normal. El cociente resultante se escribe , donde es el grupo original y es el subgrupo normal. (Esto se pronuncia , donde es la abreviatura de módulo ). ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G{\bmod {N}}}$ ${\displaystyle {\mbox{mod}}}$

Gran parte de la importancia de los grupos cocientes se deriva de su relación con los homomorfismos . El primer teorema del isomorfismo establece que la imagen de cualquier grupo G bajo un homomorfismo es siempre isomorfa a un cociente de . Específicamente, la imagen de bajo un homomorfismo es isomorfa a donde denota el núcleo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G\,/\,\ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

La noción dual de grupo cociente es la de subgrupo , siendo estas las dos formas principales de formar un grupo más pequeño a partir de uno más grande. Cualquier subgrupo normal tiene un grupo cociente correspondiente, formado a partir del grupo más grande eliminando la distinción entre elementos del subgrupo. En la teoría de categorías , los grupos de cocientes son ejemplos de objetos cocientes , que son duales con subobjetos .

Definición e ilustración

Dado un grupo y un subgrupo , y un elemento fijo , se puede considerar la clase lateral izquierda correspondiente : . Las clases laterales son una clase natural de subconjuntos de un grupo; por ejemplo, considere el grupo abeliano G de números enteros , con operación definida por la suma habitual, y el subgrupo de números enteros pares. Entonces hay exactamente dos clases laterales: , que son los números enteros pares, y , que son los números enteros impares (aquí estamos usando notación aditiva para la operación binaria en lugar de notación multiplicativa). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle aH:=\left\{ah:h\in H\right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0+H}$ ${\displaystyle 1+H}$

Para un subgrupo general , es deseable definir una operación de grupo compatible en el conjunto de todas las clases laterales posibles ,. Esto es posible exactamente cuando se trata de un subgrupo normal, ver más abajo. Un subgrupo de un grupo es normal si y sólo si la igualdad de clases laterales se cumple para todos . Se denota un subgrupo normal de . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \left\{aH:a\in G\right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aN=Na}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Definición

Sea un subgrupo normal de un grupo . Defina el conjunto como el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de in . Eso es, . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$

Dado que el elemento de identidad , . Defina una operación binaria en el conjunto de clases laterales, de la siguiente manera. Para cada y en , el producto de y , , es . Esto funciona sólo porque no depende de la elección de los representantes, y , de cada clase lateral izquierda, y . Para probar esto, supongamos y para algunos . Entonces ${\displaystyle e\in N}$ ${\displaystyle a\in aN}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle (aN)(bN)}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle (ab)N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle bN}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G}$

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Esto depende del hecho de que sea un subgrupo normal. Aún queda por demostrar que esta condición no sólo es suficiente sino necesaria para definir la operación en . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Para demostrar que es necesario, considere que para un subgrupo de , se nos ha dado que la operación está bien definida. Es decir, para todos y para . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xN=aN}$ ${\displaystyle yN=bN}$ ${\displaystyle x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N}$

Deja y . Desde que tenemos . ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle eN=nN}$ ${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$

Ahora, y . ${\displaystyle gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Por tanto, es un subgrupo normal de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

También se puede comprobar que esta operación on siempre es asociativa, tiene identidad elemento y la inversa de elemento siempre se puede representar por . Por tanto, el conjunto junto con la operación definida por forma un grupo, el grupo cociente de by . ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a^{-1}N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Debido a la normalidad de , las clases laterales izquierdas y derechas de in son iguales y, por lo tanto, podrían haberse definido como el conjunto de clases laterales derechas de in . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplo: Suma módulo 6

Por ejemplo, considere el grupo con suma módulo 6: . Considere el subgrupo , que es normal porque es abeliano . Entonces el conjunto de clases laterales (izquierda) es de tamaño tres: ${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$ ${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}}$.

La operación binaria definida anteriormente convierte este conjunto en un grupo, conocido como grupo cociente, que en este caso es isomorfo al grupo cíclico de orden 3.

Motivación del nombre "cociente"

La razón por la que se llama grupo cociente proviene de la división de números enteros . Al dividir 12 entre 3 se obtiene la respuesta 4 porque se pueden reagrupar 12 objetos en 4 subcolecciones de 3 objetos. El grupo cociente es la misma idea, aunque terminamos con un grupo para una respuesta final en lugar de un número porque los grupos tienen más estructura que una colección arbitraria de objetos. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle G\,/\,N}$

Para elaborar, cuando se mira con un subgrupo normal de , la estructura del grupo se utiliza para formar una "reagrupación" natural. Estas son las clases laterales de en . Debido a que comenzamos con un grupo y un subgrupo normal, el cociente final contiene más información que solo el número de clases laterales (que es lo que produce la división regular), sino que tiene una estructura de grupo en sí. ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

Enteros pares e impares

Considere el grupo de números enteros (bajo la suma) y el subgrupo que consta de todos los números enteros pares. Este es un subgrupo normal, porque es abeliano . Sólo hay dos clases laterales: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de los enteros impares, y por tanto el grupo cociente es el grupo cíclico con dos elementos. Este grupo cociente es isomorfo con el conjunto con suma módulo 2; Informalmente, a veces se dice que es igual al conjunto con suma módulo 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$

Ejemplo explicado con más detalle...

Sean los restos de al dividir por . Entonces, cuando es par y cuando es impar. ${\displaystyle \gamma (m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \gamma (m)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma (m)=1}$ ${\displaystyle m}$

Por definición de , el núcleo de , es el conjunto de todos los números enteros pares. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}}$

Dejar . Entonces, es un subgrupo, porque la identidad en , que es , es en , la suma de dos enteros pares es par y por lo tanto si y están en , está en (cierre) y si es par, también es par y por eso contiene sus inversos . ${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -m}$ ${\displaystyle H}$

Defina como para y es el grupo cociente de clases laterales izquierdas; . ${\displaystyle \mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$

Tenga en cuenta que hemos definido , es si es impar y si es par. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (aH)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$

Por tanto, es un isomorfismo de a . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Restos de la división de números enteros

Una ligera generalización del último ejemplo. Una vez más, considere el grupo de números enteros bajo la suma. Sea cualquier número entero positivo. Consideraremos el subgrupo de formado por todos los múltiplos de . Una vez más es normal porque es abeliano. Los cosets son la colección . Un número entero pertenece a la clase lateral , donde está el resto al dividir por . El cociente puede considerarse como el grupo de "restos" módulo . Este es un grupo cíclico de orden . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Raíces enteras complejas de 1

Las clases laterales de las raíces cuartas de la unidad N en las raíces duodécimas de la unidad G.

Las duodécimas raíces de la unidad , que son puntos en el círculo unitario complejo , forman un grupo abeliano multiplicativo , que se muestra en la imagen de la derecha como bolas de colores con el número en cada punto dando su argumento complejo. Considere su subgrupo formado por las raíces cuartas de la unidad, que se muestran como bolas rojas. Este subgrupo normal divide el grupo en tres clases laterales, que se muestran en rojo, verde y azul. Se puede comprobar que las clases laterales forman un grupo de tres elementos (el producto de un elemento rojo por un elemento azul es azul, el inverso de un elemento azul es verde, etc.). Así, el grupo cociente es el grupo de tres colores, que resulta ser el grupo cíclico de tres elementos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Números reales módulo de los números enteros.

Considere el grupo de números reales bajo la suma y el subgrupo de números enteros. Cada clase lateral de in es un conjunto de la forma , donde es un número real. Dado que y son conjuntos idénticos cuando las partes no enteras de y son iguales, se puede imponer la restricción sin cambio de significado. La suma de tales clases laterales se realiza sumando los números reales correspondientes y restando 1 si el resultado es mayor o igual a 1. El grupo cociente es isomorfo al grupo circular , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 bajo multiplicación, o correspondientemente , el grupo de rotaciones en 2D sobre el origen, es decir, el grupo ortogonal especial . Un isomorfismo viene dado por (ver identidad de Euler ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$

Matrices de números reales

Si es el grupo de matrices reales invertibles y es el subgrupo de matrices reales con determinante 1, entonces es normal en (ya que es el núcleo del homomorfismo del determinante ). Las clases laterales de son los conjuntos de matrices con un determinante dado y, por lo tanto, son isomorfas al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero. El grupo se conoce como grupo lineal especial . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$

Aritmética modular de enteros

Considere el grupo abeliano (es decir, el conjunto con suma módulo 4) y su subgrupo . El grupo cociente es . Este es un grupo con elemento de identidad y operaciones de grupo como . Tanto el subgrupo como el grupo cociente son isomorfos con . ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$ ${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

multiplicación de enteros

Considere el grupo multiplicativo . El conjunto de th residuos es un subgrupo multiplicativo isomorfo a . Entonces es normal y el grupo de factores tiene las clases laterales . El criptosistema Paillier se basa en la conjetura de que es difícil determinar la clase lateral de un elemento aleatorio sin conocer la factorización de . ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

El grupo cociente es isomorfo al grupo trivial (el grupo con un elemento) y es isomorfo a . ${\displaystyle G\,/\,G}$ ${\displaystyle G\,/\,\left\{e\right\}}$ ${\displaystyle G}$

El orden de , por definición el número de elementos, es igual al índice de . Si es finito, el índice también es igual al orden de dividido por el orden de . El conjunto puede ser finito, aunque ambos y sean infinitos (por ejemplo, ). ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \vert G:N\vert }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$

Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" , enviando cada elemento de a la clase lateral de a la que pertenece, es decir: . El mapeo a veces se denomina proyección canónica de sobre . Su núcleo es . ${\displaystyle \pi :G\rightarrow G\,/\,N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$

Existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de que contienen y los subgrupos de ; si es un subgrupo de que contiene , entonces el subgrupo correspondiente de es . Esta correspondencia también es válida para subgrupos normales de y y está formalizada en el teorema de red . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \pi (H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Varias propiedades importantes de los grupos cocientes se registran en el teorema fundamental sobre homomorfismos y en los teoremas de isomorfismo .

Si es abeliano , nilpotente , soluble , cíclico o finitamente generado , entonces también lo es . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Si es un subgrupo en un grupo finito , y el orden de es la mitad del orden de , entonces se garantiza que es un subgrupo normal, por lo que existe y es isomorfo a . Este resultado también se puede expresar como "cualquier subgrupo del índice 2 es normal", y de esta forma se aplica también a grupos infinitos. Además, si es el número primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito, entonces, si tiene orden , debe ser un subgrupo normal de . ^[1] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,H}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Dado y un subgrupo normal , entonces es una extensión de grupo de by . Cabría preguntarse si esta extensión es trivial o dividida; en otras palabras, cabría preguntarse si es un producto directo o semidirecto de y . Éste es un caso especial del problema de la extensión . Un ejemplo en el que la extensión no está dividida es el siguiente: Sea , y , que es isomorfo a . Entonces también es isomorfo a . Pero sólo tiene el automorfismo trivial , por lo que el único producto semidirecto de y es el producto directo. Como es diferente de , concluimos que no es un producto semidirecto de y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}}$ ${\displaystyle N=\left\{0,2\right\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$

Cocientes de grupos de mentiras

Si es un grupo de Lie y es un subgrupo de Lie normal y cerrado (en el sentido topológico más que algebraico de la palabra) de , el cociente también es un grupo de Lie. En este caso, el grupo original tiene la estructura de un haz de fibras (específicamente, un haz principal ), con espacio base y fibra . La dimensión de los iguales . ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle \dim G-\dim N}$

Tenga en cuenta que la condición de que esté cerrado es necesaria. De hecho, si no es cerrado, entonces el espacio cociente no es un espacio T1 (ya que hay una clase lateral en el cociente que no puede separarse de la identidad mediante un conjunto abierto) y, por tanto, no es un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Para un subgrupo de Lie no normal , el espacio de clases laterales izquierdas no es un grupo, sino simplemente una variedad diferenciable sobre la que actúa. El resultado se conoce como espacio homogéneo . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G\,/\,N}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Extensión de grupo
• categoría de cociente
• secuencia exacta corta

Notas

1. Dummit y Foote (2003, pág.120)
2. John M. Lee, Introducción a las variedades suaves, segunda edición, teorema 21.17

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-02371-X