En álgebra abstracta , un grupo cíclico o grupo monógeno es un grupo , denotado C n (también frecuentemente n o Z n , que no debe confundirse con el anillo conmutativo de números p -ádicos) , que es generado por un solo elemento. [1] Es decir, es un conjunto de elementos invertibles con una única operación binaria asociativa , y contiene un elemento g tal que todos los demás elementos del grupo pueden obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo a g o su inversa. Cada elemento se puede escribir como una potencia entera de g en notación multiplicativa o como un múltiplo entero de g en notación aditiva. Este elemento g se llama generador del grupo. [1]
Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de Z , los números enteros . Cada grupo cíclico finito de orden n es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z , los números enteros módulo n . Cada grupo cíclico es un grupo abeliano (lo que significa que su operación de grupo es conmutativa ), y cada grupo abeliano generado finitamente es un producto directo de grupos cíclicos.
Todo grupo cíclico de orden primo es un grupo simple , que no puede descomponerse en grupos más pequeños. En la clasificación de grupos finitos simples , una de las tres clases infinitas está formada por los grupos cíclicos de orden primo. Los grupos cíclicos de orden primo se encuentran, por tanto, entre los elementos básicos a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos.
Para cualquier elemento g en cualquier grupo G , se puede formar el subgrupo que consta de todas sus potencias enteras: ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z } , llamado subgrupo cíclico generado por g . El orden de g es |⟨ g ⟩|, el número de elementos en ⟨ g ⟩, abreviado convencionalmente como | g |, como ord( g ) o como o( g ). Es decir, el orden de un elemento es igual al orden del subgrupo cíclico que genera.
Un grupo cíclico es un grupo que es igual a uno de sus subgrupos cíclicos: G = ⟨ g ⟩ para algún elemento g , llamado generador de G .
Para un grupo cíclico finito G de orden n tenemos G = { e , g , g 2 , ... , g n −1 } , donde e es el elemento identidad y g i = g j siempre que i ≡ j ( mod n ); en particular gramo norte = gramo 0 = mi , y gramo −1 = gramo norte −1 . Un grupo abstracto definido por esta multiplicación a menudo se denota como C n , y decimos que G es isomorfo al grupo cíclico estándar C n . Tal grupo también es isomorfo a Z / n Z , el grupo de números enteros módulo n con la operación de suma, que es el grupo cíclico estándar en notación aditiva. Bajo el isomorfismo χ definido por χ ( g i ) = i el elemento de identidad e corresponde a 0, los productos corresponden a sumas y las potencias corresponden a múltiplos.
Por ejemplo, el conjunto de raíces sextas complejas de la unidad:
En lugar de las notaciones de cociente Z / n Z , Z /( n ) o Z / n , algunos autores denotan un grupo cíclico finito como Zn , pero esto choca con la notación de la teoría de números , donde Z p denota un p -ádico . anillo numérico o localización en un ideal primo .
Por otro lado, en un grupo cíclico infinito G = ⟨ g ⟩ , las potencias g k dan elementos distintos para todos los números enteros k , de modo que G = {..., g −2 , g −1 , e , g , g 2 , ... }, y G es isomorfo al grupo estándar C = C ∞ y a Z , el grupo aditivo de los números enteros. Un ejemplo es el primer grupo de frisos . Aquí no hay ciclos finitos y el nombre "cíclico" puede inducir a error. [2]
Para evitar esta confusión, Bourbaki introdujo el término grupo monógeno para un grupo con un solo generador y restringió "grupo cíclico" para significar un grupo monógeno finito, evitando el término "grupo cíclico infinito". [nota 1]
El conjunto de los números enteros Z , con la operación de suma, forma un grupo. [1] Es un grupo cíclico infinito , porque todos los números enteros se pueden escribir sumando o restando repetidamente el único número 1. En este grupo, 1 y −1 son los únicos generadores. Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z.
Para cada entero positivo n , el conjunto de enteros módulo n , nuevamente con la operación de suma, forma un grupo cíclico finito, denotado Z / n Z. [1] Un entero modular i es un generador de este grupo si i es relativamente primo con n , porque estos elementos pueden generar todos los demás elementos del grupo mediante la suma de enteros. (El número de tales generadores es φ ( n ), donde φ es la función totiente de Euler .) Cada grupo cíclico finito G es isomorfo a Z / n Z , donde n = | GRAMO | es el orden del grupo.
Las operaciones de suma sobre números enteros y enteros modulares, utilizadas para definir los grupos cíclicos, son operaciones de suma de anillos conmutativos , también denotadas Z y Z / n Z o Z /( n ). Si p es un número primo , entonces Z / p Z es un campo finito y normalmente se denota como Fp o GF( p ) para el campo de Galois.
Para cada entero positivo n , el conjunto de los enteros módulo n que son primos relativos con respecto a n se escribe como ( Z / n Z ) × ; forma un grupo bajo la operación de multiplicación. Este grupo no siempre es cíclico, pero lo es siempre que n es 1, 2, 4, una potencia de un primo impar , o el doble de una potencia de un primo impar (secuencia A033948 en la OEIS ). [4] [5] Este es el grupo multiplicativo de unidades del anillo Z / n Z ; hay φ ( n ) de ellos, donde nuevamente φ es la función totiente de Euler . Por ejemplo, ( Z /6 Z ) × = {1, 5}, y dado que 6 es dos veces primo impar, este es un grupo cíclico. Por el contrario, ( Z /8 Z ) × = {1, 3, 5, 7} es un grupo 4 de Klein y no es cíclico. Cuando ( Z / n Z ) × es cíclico, sus generadores se denominan raíces primitivas módulo n .
Para un número primo p , el grupo ( Z / p Z ) × es siempre cíclico y consta de elementos distintos de cero del campo finito de orden p . De manera más general, todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de cualquier campo es cíclico. [6]
El conjunto de simetrías rotacionales de un polígono forma un grupo cíclico finito. [7] Si hay n formas diferentes de mover el polígono hacia sí mismo mediante una rotación (incluida la rotación nula), entonces este grupo de simetría es isomorfo a Z / n Z. En tres o más dimensiones existen otros grupos de simetría finitos que son cíclicos , pero que no son todas rotaciones alrededor de un eje, sino reflexiones del rotor .
El grupo de todas las rotaciones de un círculo (el grupo de círculos , también denominado S 1 ) no es cíclico, porque no existe una rotación única cuyas potencias enteras generen todas las rotaciones. De hecho, el grupo cíclico infinito C ∞ es contable , mientras que S 1 no lo es. El grupo de rotaciones por ángulos racionales es contable, pero aún no cíclico.
Una n- ésima raíz de la unidad es un número complejo cuya n -ésima potencia es 1, una raíz del polinomio x n − 1 . El conjunto de todas las n- ésimas raíces de la unidad forma un grupo cíclico de orden n bajo multiplicación. [1] Los generadores de este grupo cíclico son las enésimas raíces primitivas de la unidad ; son las raíces del enésimo polinomio ciclotómico . Por ejemplo, el polinomio z 3 − 1 se factoriza como ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 ) , donde ω = e 2 πi /3 ; el conjunto {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } forma un grupo cíclico bajo multiplicación. El grupo de Galois de la extensión de campo de los números racionales generados por las n -ésimas raíces de la unidad forma un grupo diferente, isomorfo al grupo multiplicativo ( Z/ n Z ) × de orden φ ( n ) , que es cíclico para algunos pero no todos n (ver arriba).
Una extensión de campo se llama extensión cíclica si su grupo de Galois es cíclico. Para campos de característica cero , tales extensiones son el tema de la teoría de Kummer y están íntimamente relacionadas con la solubilidad por radicales . Para una extensión de campos finitos de característica p , su grupo de Galois es siempre finito y cíclico, generado por un poder del mapeo de Frobenius . [8] Por el contrario, dado un campo finito F y un grupo cíclico finito G , existe una extensión de campo finito de F cuyo grupo de Galois es G. [9]
Todos los subgrupos y grupos cocientes de grupos cíclicos son cíclicos. Específicamente, todos los subgrupos de Z son de la forma ⟨ m ⟩ = m Z , siendo m un entero positivo. Todos estos subgrupos son distintos entre sí y, aparte del grupo trivial {0} = 0 Z , todos son isomorfos a Z. La red de subgrupos de Z es isomorfa al dual de la red de números naturales ordenados por divisibilidad . [10] Por lo tanto, dado que un número primo p no tiene divisores no triviales, p Z es un subgrupo propio máximo y el grupo cociente Z / p Z es simple ; de hecho, un grupo cíclico es simple si y sólo si su orden es primo. [11]
Todos los grupos de cocientes Z / n Z son finitos, con la excepción Z /0 Z = Z /{0}. Para cada divisor positivo d de n , el grupo cociente Z / n Z tiene precisamente un subgrupo de orden d , generado por la clase de residuo de n / d . No hay otros subgrupos.
Todo grupo cíclico es abeliano . [1] Es decir, su operación de grupo es conmutativa : gh = hg (para todo g y h en G ). Esto es claro para los grupos de suma entera y modular ya que r + s ≡ s + r (mod n ) , y se sigue para todos los grupos cíclicos ya que todos son isomorfos a estos grupos estándar. Para un grupo cíclico finito de orden n , g n es el elemento identidad para cualquier elemento g . Esto nuevamente se sigue usando el isomorfismo de la suma modular, ya que kn ≡ 0 (mod n ) para cada entero k . (Esto también es válido para un grupo general de orden n , debido al teorema de Lagrange ).
Para una potencia primaria , el grupo se llama grupo cíclico primario . El teorema fundamental de los grupos abelianos establece que cada grupo abeliano generado finitamente es un producto directo finito de grupos cíclicos primarios e infinitos.
Debido a que un grupo cíclico es abeliano, cada una de sus clases de conjugación consta de un solo elemento. Por tanto, un grupo cíclico de orden n tiene n clases de conjugación.
Si d es un divisor de n , entonces el número de elementos en Z / n Z que tienen orden d es φ ( d ), y el número de elementos cuyo orden divide a d es exactamente d . Si G es un grupo finito en el que, para cada n > 0 , G contiene como máximo n elementos de orden que dividen a n , entonces G debe ser cíclico. [nota 2] El orden de un elemento m en Z / n Z es n / mcd ( n , m ).
Si n y m son coprimos , entonces el producto directo de dos grupos cíclicos Z / n Z y Z / m Z es isomorfo al grupo cíclico Z / nm Z , y lo contrario también se cumple: esta es una forma del teorema chino del resto . Por ejemplo, Z /12 Z es isomorfo al producto directo Z /3 Z × Z /4 Z bajo el isomorfismo ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4) ; pero no es isomorfo a Z /6 Z × Z /2 Z , en el que cada elemento tiene orden como máximo 6.
Si p es un número primo , entonces cualquier grupo con p elementos es isomorfo al grupo simple Z / p Z. Un número n se llama número cíclico si Z / n Z es el único grupo de orden n , lo cual es cierto exactamente cuando mcd( n , φ ( n )) = 1 . [13] La secuencia de números cíclicos incluye todos los números primos, pero algunos son compuestos , como 15. Sin embargo, todos los números cíclicos son impares excepto 2. Los números cíclicos son:
La definición implica inmediatamente que los grupos cíclicos tienen presentación de grupo C ∞ = ⟨ x | ⟩ y C norte = ⟨ x | x n ⟩ para n finito . [14]
La teoría de la representación del grupo cíclico es un caso base crítico para la teoría de la representación de grupos finitos más generales. En el caso complejo , una representación de un grupo cíclico se descompone en una suma directa de caracteres lineales, haciendo transparente la conexión entre la teoría de los caracteres y la teoría de la representación. En el caso de la característica positiva , las representaciones indescomponibles del grupo cíclico forman un modelo y una base inductiva para la teoría de representación de grupos con subgrupos cíclicos de Sylow y, más en general, la teoría de representación de bloques de defecto cíclico.
Un gráfico de ciclo ilustra los diversos ciclos de un grupo y es particularmente útil para visualizar la estructura de pequeños grupos finitos . Un gráfico de ciclo para un grupo cíclico es simplemente un gráfico circular , donde el orden del grupo es igual al número de nodos. Un único generador define el grupo como una ruta direccional en el gráfico y el generador inverso define una ruta hacia atrás. Una ruta trivial (identidad) se puede dibujar como un bucle , pero normalmente se suprime. Z 2 a veces se dibuja con dos bordes curvos como un multigrafo . [15]
Un grupo cíclico Z n , de orden n , corresponde a un único ciclo graficado simplemente como un polígono de n lados con los elementos en los vértices.
Un gráfico de Cayley es un gráfico definido a partir de un par ( G , S ) donde G es un grupo y S es un conjunto de generadores para el grupo; tiene un vértice para cada elemento del grupo y una arista para cada producto de un elemento con un generador. En el caso de un grupo cíclico finito, con su único generador, el gráfico de Cayley es un gráfico de ciclo , y para un grupo cíclico infinito con su generador el gráfico de Cayley es un gráfico de trayectoria doblemente infinita . Sin embargo, los gráficos de Cayley también se pueden definir a partir de otros conjuntos de generadores. Los gráficos de Cayley de grupos cíclicos con conjuntos generadores arbitrarios se denominan gráficos circulantes . [16] Estos gráficos se pueden representar geométricamente como un conjunto de puntos equidistantes en un círculo o en una línea, con cada punto conectado a vecinos con el mismo conjunto de distancias que cada otro punto. Son exactamente los gráficos transitivos de vértice cuyo grupo de simetría incluye un grupo cíclico transitivo. [17]
El anillo de endomorfismo del grupo abeliano Z / n Z es isomorfo al propio Z / n Z como anillo . [18] Bajo este isomorfismo, el número r corresponde al endomorfismo de Z / n Z que asigna cada elemento a la suma de r copias del mismo. Esta es una biyección si y sólo si r es coprimo con n , por lo que el grupo de automorfismo de Z / n Z es isomorfo al grupo unitario ( Z / n Z ) × . [18]
De manera similar, el anillo de endomorfismo del grupo aditivo de Z es isomorfo al anillo Z. Su grupo de automorfismo es isomorfo al grupo de unidades del anillo Z , que es ({−1, +1}, ×) ≅ C 2 .
Se puede demostrar que el producto tensorial Z / m Z ⊗ Z / n Z es isomorfo a Z / gcd( m , n ) Z . Entonces podemos formar la colección de homomorfismos de grupo de Z / m Z a Z / n Z , denotado hom( Z / m Z , Z / n Z ) , que es en sí mismo un grupo.
Para el producto tensorial, esto es una consecuencia del hecho general de que R / I ⊗ R R / J ≅ R /( I + J ) , donde R es un anillo conmutativo con unidad e I y J son ideales del anillo. Para el grupo Hom, recuerde que es isomorfo al subgrupo de Z / n Z que consta de los elementos de orden que dividen a m . Ese subgrupo es cíclico de orden mcd( m , n ) , lo que completa la prueba.
Varias otras clases de grupos se han definido por su relación con los grupos cíclicos:
Un grupo se llama virtualmente cíclico si contiene un subgrupo cíclico de índice finito (el número de clases laterales que tiene el subgrupo). En otras palabras, se puede llegar a cualquier elemento de un grupo virtualmente cíclico multiplicando un miembro del subgrupo cíclico y un miembro de un determinado conjunto finito. Todo grupo cíclico es prácticamente cíclico, al igual que todo grupo finito. Un grupo infinito es virtualmente cíclico si y sólo si se genera de forma finita y tiene exactamente dos extremos ; [nota 3] un ejemplo de tal grupo es el producto directo de Z / n Z y Z , en el que el factor Z tiene un índice finito n . Cada subgrupo abeliano de un grupo hiperbólico de Gromov es prácticamente cíclico. [20]
Un grupo finito se llama procíclico si puede ser generado topológicamente por un solo elemento. Ejemplos de grupos profinitos incluyen los enteros profinitos o los p -enteros ádicos para un número primo p .
Un grupo localmente cíclico es un grupo en el que cada subgrupo generado finitamente es cíclico. Un ejemplo es el grupo aditivo de los números racionales : todo conjunto finito de números racionales es un conjunto de múltiplos enteros de una sola fracción unitaria , el inverso de su mínimo común denominador , y genera como subgrupo un grupo cíclico de múltiplos enteros de este fracción unitaria. Un grupo es localmente cíclico si y sólo si su red de subgrupos es una red distributiva . [21]
Un grupo ordenado cíclicamente es un grupo junto con un orden cíclico preservado por la estructura del grupo. A cada grupo cíclico se le puede dar una estructura como un grupo ordenado cíclicamente, consistente con el orden de los números enteros (o los números enteros módulo el orden del grupo). Todo subgrupo finito de un grupo ordenado cíclicamente es cíclico. [22]
Un grupo metacíclico es un grupo que contiene un subgrupo normal cíclico cuyo cociente también es cíclico. [23] Estos grupos incluyen los grupos cíclicos, los grupos dicíclicos y los productos directos de dos grupos cíclicos. Los grupos policíclicos generalizan los grupos metacíclicos al permitir más de un nivel de extensión del grupo . Un grupo es policíclico si tiene una secuencia descendente finita de subgrupos, cada uno de los cuales es normal en el subgrupo anterior con un cociente cíclico, que termina en el grupo trivial. Todo grupo abeliano o grupo nilpotente generado finitamente es policíclico. [24]
Z n es simple si n es primo.
