conjunto contable

Conjunto matemático que se puede enumerar.

En matemáticas , un conjunto es contable si es finito o puede formar correspondencia uno a uno con el conjunto de números naturales . ^[a] De manera equivalente, un conjunto es contable si existe una función inyectiva de él en los números naturales; esto significa que cada elemento del conjunto puede estar asociado a un número natural único, o que los elementos del conjunto se pueden contar uno a la vez, aunque el conteo nunca termine debido a la infinidad de elementos.

En términos más técnicos, asumiendo el axioma de elección contable , un conjunto es contable si su cardinalidad (el número de elementos del conjunto) no es mayor que la de los números naturales. Un conjunto contable que no es finito se dice que es contablemente infinito .

El concepto se atribuye a Georg Cantor , quien demostró la existencia de conjuntos incontables , es decir, conjuntos que no son contables; por ejemplo el conjunto de los números reales .

Una nota sobre terminología

Aunque los términos "contable" y "contablemente infinito" tal como se definen aquí son bastante comunes, la terminología no es universal. ^[1] Un estilo alternativo usa contable para significar lo que aquí se llama contablemente infinito y, como máximo, contable para significar lo que aquí se llama contable. ^{[2] [3]} Para evitar ambigüedades, uno puede limitarse a los términos "como máximo contable" y "contablemente infinito", aunque con respecto a la concisión esto es lo peor de ambos mundos. ^{[ cita necesaria ]} Se recomienda al lector que verifique la definición en uso cuando encuentre el término "contable" en la literatura.

Los términos enumerable ^[4] y numerable ^{[5] [6]} también pueden usarse, por ejemplo, refiriéndose a contable y contablemente infinito respectivamente, ^[7] pero como las definiciones varían, se recomienda nuevamente al lector que verifique la definición en uso, en particular siendo consciente de la diferencia con recursivamente enumerable . ^[8]

Definición

Un conjunto es contable si: ${\displaystyle S}$

• Su cardinalidad es menor o igual que ( aleph-null ), la cardinalidad del conjunto de los números naturales . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Existe una función inyectiva de a . ^{[10] [11]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$está vacío o existe una función sobreyectiva de a . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$
• Existe un mapeo biyectivo entre y un subconjunto de . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$es finito ( ) o contablemente infinito. ^[5] ${\displaystyle |S|<\aleph _{0}}$

Todas estas definiciones son equivalentes.

Un conjunto es numerablemente infinito si: ${\displaystyle S}$

• Su cardinalidad es exactamente . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Hay un mapeo inyectivo y sobreyectivo (y por lo tanto biyectivo ) entre y . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$tiene una correspondencia uno a uno con . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Los elementos de se pueden organizar en una secuencia infinita , donde se distingue de for y se enumeran todos los elementos de. ^{[14] [15]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$

Un conjunto es incontable si no es contable, es decir, su cardinalidad es mayor que . ^[9] ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Historia

En 1874, en su primer artículo sobre teoría de conjuntos , Cantor demostró que el conjunto de los números reales es incontable, demostrando así que no todos los conjuntos infinitos son contables. ^[16] En 1878, utilizó correspondencias uno a uno para definir y comparar cardinalidades. ^[17] En 1883, amplió los números naturales con sus ordinales infinitos y utilizó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos que tenían diferentes cardinalidades infinitas. ^[18]

Introducción

Un conjunto es una colección de elementos y puede describirse de muchas maneras. Una forma es simplemente enumerar todos sus elementos; por ejemplo, el conjunto que consta de los números enteros 3, 4 y 5 puede denominarse forma de lista. ^[19] Sin embargo, esto sólo es efectivo para conjuntos pequeños; para conjuntos más grandes, esto llevaría mucho tiempo y sería propenso a errores. En lugar de enumerar cada elemento, a veces se utilizan puntos suspensivos ("...") para representar muchos elementos entre el elemento inicial y el elemento final en un conjunto, si el escritor cree que el lector puede adivinar fácilmente qué representa... ; por ejemplo, presumiblemente denota el conjunto de números enteros del 1 al 100. Sin embargo, incluso en este caso, todavía es posible enumerar todos los elementos, porque el número de elementos del conjunto es finito. Si numeramos los elementos del conjunto 1, 2, etc., hasta , esto nos da la definición habitual de "conjuntos de tamaño ". ${\displaystyle \{3,4,5\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,100\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Mapeo biyectivo de números enteros a pares

Algunos conjuntos son infinitos ; estos conjuntos tienen más de elementos donde es cualquier número entero que se pueda especificar. (No importa qué tan grande sea el número entero especificado, como por ejemplo , los conjuntos infinitos tienen más que elementos). Por ejemplo, el conjunto de números naturales, denotado por , ^[a] tiene infinitos elementos, y no podemos usar ningún número natural para dar su tamaño. Podría parecer natural dividir los conjuntos en diferentes clases: juntar todos los conjuntos que contienen un elemento; todos los conjuntos que contienen dos elementos juntos; ...; finalmente, junte todos los conjuntos infinitos y considérelos del mismo tamaño. Esta visión funciona bien para conjuntos infinitamente numerables y era la suposición predominante antes del trabajo de Georg Cantor. Por ejemplo, hay infinitos números enteros impares, infinitos números pares y también infinitos números enteros en total. Podemos considerar que todos estos conjuntos tienen el mismo "tamaño" porque podemos organizar las cosas de manera que, para cada número entero, haya un número entero par distinto: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10^{1000}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$

$${\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }$$

correspondencia uno a unobiyecciónfuncióncontablemente infinitos ${\displaystyle n\rightarrow 2n}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Georg Cantor demostró que no todos los conjuntos infinitos son contablemente infinitos. Por ejemplo, los números reales no se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros no negativos). El conjunto de los números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de los números naturales y se dice que es incontable.

Resumen formal

Por definición, un conjunto es contable si existe una biyección entre y un subconjunto de los números naturales . Por ejemplo, defina la correspondencia ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$

$${\displaystyle a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3}$$

precisamente con uny ${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle S}$

En cuanto al caso de conjuntos infinitos, un conjunto es contablemente infinito si existe una biyección entre y todos . Como ejemplos, considere los conjuntos , el conjunto de números enteros positivos y , el conjunto de números enteros pares. Podemos demostrar que estos conjuntos son contablemente infinitos exhibiendo una biyección a los números naturales. Esto se puede lograr usando las asignaciones y , de modo que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow n+1}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}}$$

Teorema  :  un subconjunto de un conjunto contable es contable. ^[20]

El conjunto de todos los pares ordenados de números naturales (el producto cartesiano de dos conjuntos de números naturales, es contablemente infinito, como se puede comprobar siguiendo un camino como el de la imagen: ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

La función de emparejamiento de Cantor asigna un número natural a cada par de números naturales

El mapeo resultante procede de la siguiente manera:

$${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$$

Esta forma de mapeo triangular generaliza recursivamente a -tuplas de números naturales, es decir, donde y son números naturales, al mapear repetidamente los dos primeros elementos de una -tupla a un número natural. Por ejemplo, se puede escribir como . Luego se asigna a 5, por lo que se asigna a , luego se asigna a 39. Dado que una 2-tupla diferente, es decir , un par como , se asigna a un número natural diferente, una diferencia entre dos n-tuplas por un solo elemento es suficiente para garantizar la n-tuplas asignadas a diferentes números naturales. Así, se demuestra una inyección del conjunto de tuplas al conjunto de números naturales . Para el conjunto de -tuplas formado por el producto cartesiano de un número finito de conjuntos diferentes, cada elemento de cada tupla tiene la correspondencia con un número natural, por lo que cada tupla se puede escribir en números naturales y luego se aplica la misma lógica para probar el teorema. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (0,2,3)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (0,2)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$

Teorema  :  el producto cartesiano de un número finito de conjuntos contables es contable. ^{[21] [b]}

El conjunto de todos los números enteros y el conjunto de todos los números racionales pueden parecer intuitivamente mucho más grandes que . Pero las apariencias pueden ser engañosas. Si un par se trata como el numerador y el denominador de una fracción vulgar (una fracción en la forma donde y son números enteros), entonces, para cada fracción positiva, podemos obtener un número natural distinto que le corresponda. Esta representación también incluye a los números naturales, ya que todo número natural es también una fracción . Entonces podemos concluir que hay exactamente tantos números racionales positivos como enteros positivos. Esto también es válido para todos los números racionales, como se puede ver a continuación. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/1}$

Teorema  :  (el conjunto de todos los números enteros) y (el conjunto de todos los números racionales) son contables. ^[C] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

De manera similar, el conjunto de números algebraicos es contable. ^{[23] [d]}

A veces es útil más de un mapeo: un conjunto que se va a mostrar como contable se mapea uno a uno (inyección) a otro conjunto , luego se demuestra que es contable si se mapea uno a uno al conjunto de números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números racionales positivos se puede asignar fácilmente uno a uno al conjunto de pares de números naturales (2-tuplas) porque se asigna a . Dado que el conjunto de pares de números naturales está mapeado uno a uno (en realidad, correspondencia o biyección uno a uno) con el conjunto de números naturales como se muestra arriba, se demuestra que el conjunto de números racionales positivos es contable. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Teorema  :  cualquier unión finita de conjuntos contables es contable. ^{[24] [25] [e]}

Con la previsión de saber que hay conjuntos incontables, podemos preguntarnos si este último resultado puede llevarse más lejos. La respuesta es "sí" y "no", podemos ampliarla, pero necesitamos asumir un nuevo axioma para hacerlo.

Teorema  :  (asumiendo el axioma de elección contable ) La unión de muchos conjuntos contables es contable. ^[F]

Enumeración del número contable de conjuntos contables

Por ejemplo, dados conjuntos contables , primero asignamos a cada elemento de cada conjunto una tupla, luego asignamos a cada tupla un índice usando una variante de la enumeración triangular que vimos arriba: ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

$${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}}$$

Necesitamos el axioma de elección contable para indexar todos los conjuntos simultáneamente. ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

Teorema  :  el conjunto de todas las secuencias de números naturales de longitud finita es contable.

Este conjunto es la unión de las secuencias de longitud 1, las secuencias de longitud 2, las secuencias de longitud 3, cada una de las cuales es un conjunto contable (producto cartesiano finito). Entonces estamos hablando de una unión contable de conjuntos contables, que es contable según el teorema anterior.

Teorema  :  el conjunto de todos los subconjuntos finitos de los números naturales es contable.

Los elementos de cualquier subconjunto finito se pueden ordenar en una secuencia finita. Sólo hay un número contable de secuencias finitas, por lo que también hay sólo un número contable de subconjuntos finitos.

Teorema  :  conjuntos Let y Be. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

1. Si la función es inyectiva y contable entonces es contable. ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$
2. Si la función es sobreyectiva y contable entonces es contable. ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Estos se derivan de las definiciones de conjuntos contables como funciones inyectivas/sobreyectivas. ^[gramo]

El teorema de Cantor afirma que sies un conjunto yes su conjunto potencia , es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de, entonces no existe una función sobreyectiva dea. Se da una demostración en el artículo Teorema de Cantor . Como consecuencia inmediata de esto y del teorema básico anterior tenemos: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

Proposición  :  el conjunto no es contable; es decir, es incontable . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Para una elaboración de este resultado, véase el argumento diagonal de Cantor .

El conjunto de los números reales es incontable, ^[h] y también lo es el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales.

El modelo mínimo de la teoría de conjuntos es contable

Si hay un conjunto que es un modelo estándar (ver modelo interno ) de la teoría de conjuntos ZFC, entonces hay un modelo estándar mínimo (ver Universo construible ). El teorema de Löwenheim-Skolem se puede utilizar para demostrar que este modelo mínimo es contable. El hecho de que la noción de "incontabilidad" tenga sentido incluso en este modelo, y en particular que este modelo M contenga elementos que son:

• subconjuntos de M , por lo tanto contables,
• pero incontable desde el punto de vista de M ,

se consideró paradójico en los primeros días de la teoría de conjuntos; consulte la paradoja de Skolem para obtener más información.

El modelo estándar mínimo incluye todos los números algebraicos y todos los números trascendentales efectivamente computables , así como muchos otros tipos de números.

Pedidos totales

Los conjuntos contables se pueden ordenar totalmente de varias maneras, por ejemplo:

• Bienes-órdenes (ver también número ordinal ):
  • El orden habitual de los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5,...)
  • Los números enteros en el orden (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
• Otros ( órdenes no bien):
  • El orden habitual de los números enteros (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...)
  • El orden habitual de los números racionales (¡no se puede escribir explícitamente como una lista ordenada!)

En ambos ejemplos de orden de pozos aquí, cualquier subconjunto tiene un elemento mínimo ; y en ambos ejemplos de órdenes que no son de pozo, algunos subconjuntos no tienen un elemento mínimo . Esta es la definición clave que determina si un pedido total es también un pedido de pozo.

Ver también

• número alef
• Contando
• La paradoja de Hilbert del Gran Hotel
• conjunto incontable

Notas

1. Dado que existe una biyección obvia entre y , no hay diferencia si se considera 0 un número natural o no. En cualquier caso, este artículo sigue la norma ISO 31-11 y la convención estándar en lógica matemática , que toma el 0 como número natural. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}}$
2. Prueba: Observe que es contable como consecuencia de la definición porque la función dada por es inyectiva. ^[22] De ello se deduce que el producto cartesiano de dos conjuntos contables cualesquiera es contable, porque si y son dos conjuntos contables, hay sobrejecciones y . También lo es una sobreyección del conjunto contable al conjunto y el Corolario implica que es contable. Este resultado se generaliza al producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos contables y la prueba sigue por inducción sobre el número de conjuntos de la colección. ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$ ${\displaystyle g:\mathbb {N} \to B}$ ${\displaystyle f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\times B}$
3. Prueba: Los números enteros son contables porque la función dada por if no es negativa y if es negativa, es una función inyectiva. Los números racionales son contables porque la función dada por es una sobreyección del conjunto contable a los racionales . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=3^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g(m,n)=m/(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. Prueba: por definición, todo número algebraico (incluidos los números complejos) es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Dado un número algebraico , sea un polinomio con coeficientes enteros tal que sea la raíz -ésima del polinomio, donde las raíces se ordenan por valor absoluto de pequeño a grande, luego se ordenan por argumento de pequeño a grande. Podemos definir una función de inyección (es decir, uno a uno) dada por , donde está el -ésimo primo . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$
5. Prueba: si es un conjunto contable para cada uno , entonces para cada uno hay una función sobreyectiva y, por tanto, la función ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}}$
   $${\displaystyle G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$$
   dado por es una sobreyección. Como es contable, la unión es contable. ${\displaystyle G(i,m)=g_{i}(m)}$ ${\displaystyle I\times \mathbb {N} }$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
6. Prueba : Como en el caso finito, pero y usamos el axioma de elección contable para elegir cada uno en una sobreyección de la colección no vacía de sobrejecciones desde hasta . ^[26] Tenga en cuenta que dado que estamos considerando la sobreyección , en lugar de una inyección, no hay ningún requisito de que los conjuntos sean disjuntos. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
7. Prueba : Para (1) observe que si es contable hay una función inyectiva . Entonces si es inyectiva la composición es inyectiva, por lo tanto es contable. Para (2) observe que si es contable, o está vacío o hay una función sobreyectiva . Entonces, si es sobreyectivo, y ambos están vacíos o la composición es sobreyectiva. En cualquier caso es contable. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h:T\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle h\circ f:S\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to S}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g\circ h:\mathbb {N} \to T}$ ${\displaystyle T}$
8. Consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor y también la propiedad de intersección finita # Aplicaciones para una prueba topológica.

Citas

1. Manetti, Marco (19 de junio de 2015). Topología. Saltador. pag. 26.ISBN _ 978-3-319-16958-3.
2. Rudin 1976, Capítulo 2
3. Tao 2016, pag. 181
4. Kamke 1950, pag. 2
5. Lang 1993, §2 del Capítulo I
6. Apóstol 1969, pag. 23, Capítulo 1.14
7. Thierry, Vialar (4 de abril de 2017). Manual de Matemáticas. BoD - Libros a pedido. pag. 24.ISBN _ 978-2-9551990-1-5.
8. Mukherjee, Subir Kumar (2009). Primer Curso de Análisis Real. Editores académicos. pag. 22.ISBN _ 978-81-89781-90-3.
9. Yaqub, Aladdin M. (24 de octubre de 2014). Una introducción a la metalógica. Prensa Broadview. ISBN 978-1-4604-0244-3.
10. Singh, Tej Bahadur (17 de mayo de 2019). Introducción a la topología. Saltador. pag. 422.ISBN _ 978-981-13-6954-4.
11. Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2 de enero de 2018). Una introducción ilustrativa al análisis moderno. Prensa CRC. ISBN 978-1-351-76532-9.
12. Halmos 1960, pag. 91
13. Kamke 1950, pag. 2
14. Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (9 de junio de 2020). Invitación al álgebra: un compendio de recursos para profesores, estudiantes universitarios avanzados y estudiantes de posgrado en matemáticas. Científico mundial. pag. 8.ISBN _ 978-981-12-1999-3.
15. Tao 2016, pag. 182
16. Stillwell, John C. (2010), Caminos hacia el infinito: las matemáticas de la verdad y la prueba, CRC Press, p. 10, ISBN 9781439865507, El descubrimiento de Cantor de conjuntos incontables en 1874 fue uno de los acontecimientos más inesperados en la historia de las matemáticas. Antes de 1874, la mayoría de la gente ni siquiera consideraba el infinito un tema matemático legítimo, por lo que no se podría haber imaginado la necesidad de distinguir entre infinitos contables e incontables.
17. Cantor 1878, pag. 242.
18. Ferreirós 2007, págs. 268, 272-273.
19. "¿Qué son los conjuntos y la forma de lista?". expi . 2021-05-09. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2020.
20. Halmos 1960, pag. 91
21. Halmos 1960, pag. 92
22. Avelsgaard 1990, pág. 182
23. Kamke 1950, págs. 3-4
24. Avelsgaard 1990, pág. 180
25. Fletcher y Patty 1988, pág. 187
26. Hrbaček, Karel; Jech, Thomas (22 de junio de 1999). Introducción a la teoría de conjuntos, tercera edición, revisada y ampliada. Prensa CRC. pag. 141.ISBN _ 978-0-8247-7915-3.

Referencias

• Apostol, Tom M. (junio de 1969), Cálculo multivariable y álgebra lineal con aplicaciones , Cálculo, vol. 2 (2ª ed.), Nueva York: John Wiley + Sons, ISBN 978-0-471-00007-5
• Avelsgaard, Carol (1990), Fundamentos de las matemáticas avanzadas , Scott, Foresman and Company, ISBN 0-673-38152-8
• Cantor, Georg (1878), "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1878 (84): 242–248, doi :10.1515/crelle-1878-18788413, S2CID  123695365
• Ferreirós, José (2007), Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en el pensamiento matemático (segunda edición revisada), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988), Fundamentos de las matemáticas superiores , Boston: PWS-KENT Publishing Company, ISBN 0-87150-164-3
• Halmos, Paul R. (1960), Teoría ingenua de conjuntos , D. Van Nostrand Company, IncReimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Kamke, Erich (1950), Teoría de conjuntos , serie de Dover sobre matemáticas y física, Nueva York: Dover, ISBN 978-0486601410
• Lang, Serge (1993), Análisis real y funcional , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
• Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático , Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
• Tao, Terence (2016). "Conjuntos infinitos". Análisis I. Textos y Lecturas en Matemáticas. vol. 37 (Tercera ed.). Singapur: Springer. págs. 181-210. doi :10.1007/978-981-10-1789-6_8. ISBN 978-981-10-1789-6.