Polígono

Figura plana delimitada por segmentos de recta.

Algunos polígonos de diferentes tipos: abiertos (excluyendo su límite), solo límite (excluyendo el interior), cerrados (incluyendo tanto el límite como el interior) y los que se intersectan a sí mismos.

En geometría , un polígono ( / ˈp ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) es una figura plana formada por segmentos de línea conectados para formar una cadena poligonal cerrada .

Los segmentos de una cadena poligonal cerrada se llaman aristas o lados . Los puntos donde se encuentran dos aristas son los vértices o esquinas del polígono . Un n -gon es un polígono con n lados; por ejemplo, un triángulo tiene 3 gónos.

Un polígono simple es aquel que no se corta a sí mismo. Más precisamente, las únicas intersecciones permitidas entre los segmentos de línea que forman el polígono son los puntos finales compartidos de segmentos consecutivos en la cadena poligonal. Un polígono simple es el límite de una región del plano que se llama polígono sólido . El interior de un polígono sólido es su cuerpo , también conocido como región poligonal o área poligonal . En contextos en los que sólo nos preocupan los polígonos simples y sólidos, un polígono puede referirse sólo a un polígono simple o a un polígono sólido.

Una cadena poligonal puede cruzarse sobre sí misma, creando polígonos en forma de estrella y otros polígonos que se cruzan entre sí . Algunas fuentes también consideran que las cadenas poligonales cerradas en el espacio euclidiano son un tipo de polígono (un polígono sesgado ), incluso cuando la cadena no se encuentra en un solo plano.

Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Hay muchas más generalizaciones de polígonos definidos para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) 'mucho', 'muchos' y γωνία ( gōnía ) 'esquina' o 'ángulo'. Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) 'rodilla' puede ser el origen de gon . ^[1]

Clasificación

Algunos tipos diferentes de polígono

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados.

Convexidad e intersección

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o tipo de no convexidad:

• Convexo : cualquier línea trazada a través del polígono (y no tangente a un borde o esquina) encuentra su límite exactamente dos veces. Como consecuencia, todos sus ángulos interiores son menores de 180°. De manera equivalente, cualquier segmento de línea con puntos finales en el límite pasa solo por puntos interiores entre sus puntos finales. Esta condición es cierta para polígonos de cualquier geometría, no solo la euclidiana. ^[2]
• No convexa: se puede encontrar una línea que toca su límite más de dos veces. De manera equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa fuera del polígono.
• Simple : el límite del polígono no se cruza a sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
• Cóncavo : No convexo y simple. Hay al menos un ángulo interior mayor que 180°.
• En forma de estrella : todo el interior es visible desde al menos un punto, sin traspasar ningún borde. El polígono debe ser simple y puede ser convexo o cóncavo. Todos los polígonos convexos tienen forma de estrella.
• Autointersección : el límite del polígono se cruza a sí mismo. El término complejo se utiliza a veces en contraste con simple , pero este uso corre el riesgo de confundirse con la idea de un polígono complejo como uno que existe en el plano de Hilbert complejo que consta de dos dimensiones complejas .
• Polígono estrella : un polígono que se intersecta a sí mismo de forma regular. Un polígono no puede tener forma de estrella y de estrella.

Igualdad y simetría

• Equiangular : todos los ángulos de las esquinas son iguales.
• Equilátero : todas las aristas tienen la misma longitud.
• Regular : tanto equilátero como equiangular.
• Cíclico : todos los vértices se encuentran en un único círculo , llamado círculo circunstante .
• Tangencial : todos los lados son tangentes a una circunferencia inscrita .
• Isogonal o transitiva de vértice : todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es cíclico y equiangular.
• Isotoxal o de borde transitivo : todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es equilátero y tangencial.

La propiedad de regularidad puede definirse de otras maneras: un polígono es regular si y sólo si es a la vez isogonal e isotoxal, o de manera equivalente, es a la vez cíclico y equilátero. Un polígono regular no convexo se llama polígono regular en estrella .

Misceláneas

• Rectilíneo : los lados del polígono se encuentran en ángulos rectos, es decir, todos sus ángulos interiores miden 90 o 270 grados.
• Monótono con respecto a una línea dada L : cada línea ortogonal a L corta el polígono no más de dos veces.

Propiedades y fórmulas

Dividir un n -gon en n − 2 triángulos

Se asume en todo momento la geometría euclidiana .

Anglos

Cualquier polígono tiene tantas esquinas como lados. Cada esquina tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

• Ángulo interior : la suma de los ángulos interiores de un n -gon simple es ( n − 2) × π radianes o ( n − 2) × 180 grados . Esto se debe a que se puede considerar que cualquier n -gon simple (que tenga n lados) está formado por ( n − 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un n -gón regular convexo esradianes ogrados. Los ángulos interiores de los polígonos de estrellas regulares fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe los cuatro poliedros de estrellas regulares : para un-gón regular (un p -gón con densidad central q ), cada ángulo interior está enradianes ogrados. ^[3] ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$ ${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• Ángulo exterior : el ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior. Trazando alrededor de un n -gon convexo, el ángulo "girado" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Trazar todo el contorno del polígono da una vuelta completa , por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360°. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si se restan del total girado los ángulos externos que giran en dirección opuesta. Al trazar alrededor de un n -gon en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que uno gira en los vértices) puede ser cualquier múltiplo entero d de 360°, por ejemplo, 720° para un pentagrama y 0° para un "ocho" angular. o antiparalelogramo , donde d es la densidad o número de giro del polígono.

Área

Coordenadas de un pentágono no convexo

En esta sección, los vértices del polígono considerado se consideran ordenados . Por conveniencia en algunas fórmulas, también se utilizará la notación ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) . ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

Polígonos simples

Si el polígono no se interseca a sí mismo (es decir, es simple ), el área con signo es

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

o, usando determinantes

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

¿Dónde está la distancia al cuadrado entre y ^{[4] [5]} ${\displaystyle Q_{i,j}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

El área con signo depende del orden de los vértices y de la orientación del plano. Comúnmente, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido antihorario) que asigna el eje x positivo al eje y positivo . Si los vértices están ordenados en sentido antihorario (es decir, según la orientación positiva), el área con signo es positiva; en caso contrario, es negativo. En cualquier caso, la fórmula del área es correcta en valor absoluto . A esto se le llama comúnmente fórmula del cordón de zapato o fórmula del topógrafo . ^[6]

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a ₁ , a ₂ , ..., an _y los ángulos exteriores , θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _n , de:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963. ^[7]

Si el polígono se puede dibujar en una cuadrícula equiespaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de la cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula simple para el área del polígono basada en el número de puntos de la cuadrícula interior y límite: el primer número más la mitad del segundo. número, menos 1.

En todo polígono con perímetro p y área A , se cumple la desigualdad isoperimétrica . ^[8] ${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Para dos polígonos simples cualesquiera de igual área, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que el primero se puede cortar en piezas poligonales que se pueden volver a ensamblar para formar el segundo polígono.

Las longitudes de los lados de un polígono en general no determinan su área. ^[9] Sin embargo, si el polígono es simple y cíclico, entonces los lados sí determinan el área. ^[10] De todos los n -gonos con longitudes de lados dadas, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene el área más grande es regular (y por tanto cíclico). ^[11]

Polígonos regulares

Muchas fórmulas especializadas se aplican a las áreas de polígonos regulares .

El área de un polígono regular está dada en términos del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p por

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Este radio también se denomina apotema y a menudo se representa como .

El área de un n -gón regular en términos del radio R de su círculo circunscrito se puede expresar trigonométricamente como: ^{[12] [13]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

El área de un n -gón regular inscrito en un círculo de radio unitario, con lado s y ángulo interior también se puede expresar trigonométricamente como: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Autointersección

El área de un polígono que se interseca a sí mismo se puede definir de dos maneras diferentes, dando diferentes respuestas:

• Usando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que regiones particulares dentro del polígono puedan tener su área multiplicada por un factor que llamamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene densidad 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero transversal (como la figura 8) tienen densidades de signos opuestos, y sumando sus áreas puede dar un área total de cero. para toda la figura. ^[14]
• Considerando las regiones cerradas como conjuntos de puntos, podemos encontrar el área del conjunto de puntos cerrado. Esto corresponde al área del plano cubierto por el polígono o al área de uno o más polígonos simples que tienen el mismo contorno que el que se intersecta a sí mismo. En el caso del cuadrilátero cruzado, se trata como dos triángulos simples. ^{[ cita necesaria ]}

centroide

Usando la misma convención para las coordenadas de vértice que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono simple sólido son

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

En estas fórmulas, se debe utilizar el valor con signo del área . ${\displaystyle A}$

Para triángulos ( n = 3 ), los centroides de los vértices y de la forma sólida son los mismos, pero, en general, esto no es cierto para n > 3 . El centroide del conjunto de vértices de un polígono con n vértices tiene las coordenadas

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Generalizaciones

La idea de polígono se ha generalizado de diversas formas. Algunos de los más importantes incluyen:

• Un polígono esférico es un circuito de arcos de círculos máximos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite el digon , un polígono que tiene sólo dos lados y dos esquinas, lo cual es imposible en un plano. Los polígonos esféricos juegan un papel importante en la cartografía (elaboración de mapas) y en la construcción de los poliedros uniformes de Wythoff .
• Un polígono sesgado no se encuentra en un plano, sino que zigzaguea en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
• Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no es cerrada pero no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
• Un apeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano.
• Un polígono con agujeros es un polígono plano conectado por áreas o múltiples conexiones con un límite externo y uno o más límites interiores (huecos).
• Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias .
• Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los distintos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Se dice que un polígono geométrico real es una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo del mapeo se pueden realizar todas las generalizaciones aquí descritas.
• Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las formas correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos . ^[15] (En otras convenciones, las palabras poliedro y politopo se usan en cualquier dimensión, con la distinción entre las dos de que un politopo está necesariamente acotado. ^[16] )

Nombrar

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), uso sustantivo del neutro de πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , el adjetivo masculino), que significa "muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado del griego con el sufijo -gón , por ejemplo, pentágono , dodecágono . El triángulo , el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente usan notación numérica, por ejemplo, 17 gon y 257 gon. ^[17]

Existen excepciones para los conteos laterales que se expresan fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30), o que son utilizados por no matemáticos. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono estrella regular también se conoce como pentagrama .

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. ^[21] El término "kai" se aplica a 13 gons y superiores y fue utilizado por Kepler , y defendido por John H. Conway para la claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasiregulares , ^[25] aunque no todas las fuentes lo utilizan .

Historia

Imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, y el pentagrama , un polígono regular no convexo ( polígono estrella ), apareció ya en el siglo VII a. C. en una cráter de Aristófanes , encontrada en Caere y ahora en el Museo Capitolino . ^{[40] [41]}

El primer estudio sistemático conocido de los polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. ^[42]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real va acompañada de una imaginaria , para crear polígonos complejos . ^[43]

En naturaleza

La Calzada del Gigante , en Irlanda del Norte

Los polígonos aparecen en formaciones rocosas, más comúnmente como facetas planas de cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden ocurrir cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto apretadas , que se pueden ver en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte , o en el Postpile del Diablo en California .

En biología , la superficie del panal de cera fabricado por las abejas es un conjunto de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos de computadora

En gráficos por computadora , un polígono es una primitiva utilizada en modelado y renderizado. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como color, sombreado y textura), información de conectividad y materiales. ^{[44] [45]}

Cualquier superficie se modela como un teselado llamado malla poligonal . Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) ^2/2 ( n ² ) vértices por triángulo. Cuando n es grande, se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

El sistema de imágenes solicita a partir de la base de datos la estructura de polígonos necesarios para la escena que se va a crear. Éste se transfiere a la memoria activa y finalmente al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda visualizar la escena. Durante este proceso, el sistema de imágenes representa los polígonos en la perspectiva correcta, listos para la transmisión de los datos procesados ​​al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través del ordenador del sistema se colocan en una escena visual con la orientación tridimensional correcta.

En gráficos por computadora y geometría computacional , a menudo es necesario determinar si un punto dado se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se llama punto en la prueba de polígonos. ^[46] ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$

Ver también

• Operaciones booleanas sobre polígonos
• gráfico completo
• polígono construible
• Polígono cíclico
• Forma geometrica
• golygon
• Lista de polígonos
• poliforme
• sopa de polígono
• Triangulación de polígonos
• Polígono de precisión
• espirolateral
• Geometría sintética
• Embaldosado
• rompecabezas de mosaico

Referencias

Bibliografía

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Notas

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polígono". MundoMatemático .
• ¿Qué son los poliedros?, con prefijos numéricos griegos
• Polígonos, tipos de polígonos y propiedades de polígonos, con animación interactiva.
• Cómo dibujar polígonos ortogonales monocromáticos en pantallas, por Herbert Glarner
• comp.graphics.algorithms Preguntas frecuentes, soluciones a problemas matemáticos computando polígonos 2D y 3D
• Comparación de los diferentes algoritmos para operaciones booleanas de polígonos, compara capacidades, velocidad y robustez numérica.
• Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general. Proporciona una investigación Java interactiva que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).