En geometría , un polígono sesgado infinito o apeirogon sesgado es un 2- politopo infinito con vértices que no son todos colineales . Los polígonos sesgados en zig-zag infinitos son polígonos sesgados infinitos bidimensionales con vértices que se alternan entre dos líneas paralelas. Los polígonos helicoidales infinitos son polígonos sesgados infinitos tridimensionales con vértices en la superficie de un cilindro .
Los polígonos sesgados infinitos regulares existen en los polígonos de Petrie de los grupos de Coxeter afines e hiperbólicos . Se construyen un único operador como compuesto de todas las reflexiones del grupo Coxeter.
Un apeirogon sesgado en zig-zag regular tiene simetría de grupo (2*∞), D ∞d Frieze .
Los apeirogones sesgados en zig-zag regulares existen como polígonos de Petrie de los tres mosaicos regulares del plano: {4,4}, {6,3} y {3,6}. Estos apeirogonos regulares en zig-zag tienen ángulos internos de 90°, 120° y 60° respectivamente, desde los polígonos regulares dentro de los mosaicos:
Un apeirogon isotoxal tiene un tipo de arista, entre dos tipos de vértices alternos. Hay un grado de libertad en el ángulo interno α. {∞ α } es el polígono dual de un apeirogon sesgado isogonal.
Un apeirogon sesgado isogonal alterna dos tipos de aristas con varias simetrías de grupos de friso . Los apeirogones sesgados en zig-zag regulares distorsionados producen apeirogones sesgados en zig-zag isogonales con simetría traslacional:
Otros apeirogons sesgados isogonales tienen bordes alternos paralelos a la dirección del friso. Estos apeirogons sesgados alargados isogonales tienen simetría de espejo vertical en los puntos medios de los bordes paralelos a la dirección del friso:
Un apeirogon sesgado alargado isogonal tiene dos tipos de bordes diferentes; si ambos tipos de aristas tienen la misma longitud: no se puede llamar regular porque sus dos tipos de aristas siguen siendo diferentes ("trans-borde" y "cis-borde"), pero se puede llamar cuasiregular.
Un ejemplo de apeirogonos sesgados alargados cuasirregulares se puede ver como polígonos de Petrie truncados en mosaicos regulares truncados del plano euclidiano:
Los polígonos sesgados regulares infinitos se encuentran de manera similar en el plano euclidiano y en el plano hiperbólico .
Los polígonos sesgados regulares infinitos hiperbólicos también existen como polígonos de Petrie con trayectorias de borde en zigzag en todos los mosaicos regulares del plano hiperbólico . Y nuevamente, como en el plano euclidiano, los polígonos sesgados cuasiregulares infinitos hiperbólicos se pueden construir como polígonos de Petrie truncados dentro de los bordes de todos los mosaicos regulares truncados del plano hiperbólico.
Un polígono helicoidal infinito (inclinado) puede existir en tres dimensiones, donde los vértices pueden verse limitados a la superficie de un cilindro . El boceto de la derecha es una vista en perspectiva 3D de dicho polígono helicoidal regular infinito.
Este polígono helicoidal infinito se puede ver principalmente construido a partir de los vértices de una pila infinita de prismas o antiprismas n -gonales uniformes , aunque en general el ángulo de torsión no se limita a un divisor entero de 180°. Un polígono helicoidal infinito (inclinado) tiene simetría en el eje del tornillo .
Una pila infinita de prismas , por ejemplo cubos, contiene un polígono helicoidal infinito a lo largo de las diagonales de las caras cuadradas, con un ángulo de torsión de 90° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {4}.
Una pila infinita de antiprismas, por ejemplo octaedros , forma infinitos polígonos helicoidales, 3 aquí resaltados en rojo, verde y azul, cada uno con un ángulo de torsión de 60° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {6}.
Una secuencia de aristas de una hélice de Boerdijk-Coxeter puede representar infinitos polígonos helicoidales regulares con un ángulo de torsión irracional:
Una pila de prismas rectos puede generar apeirógonos helicoidales isogonales alternando bordes alrededor del eje y a lo largo del eje; por ejemplo, una pila de cubos puede generar este apeirogon helicoidal isogonal alternando bordes rojos y azules:
De manera similar, una pila alterna de prismas y antiprismas puede producir un polígono helicoidal isogonal infinito; por ejemplo, una pila triangular de prismas y antiprismas con un polígono helicoidal isogonal infinito:
También se puede construir un polígono helicoidal isogonal infinito con un ángulo de torsión irracional a partir de tetraedros truncados apilados como una hélice de Boerdijk-Coxeter , alternando dos tipos de aristas, entre pares de caras hexagonales y pares de caras triangulares:
