Tetraedro truncado

Sólido arquimediano con 8 caras

En geometría , el tetraedro truncado es un sólido arquimediano . Tiene 4 caras hexagonales regulares, 4 caras triangulares equiláteras , 12 vértices y 18 aristas (de dos tipos). Se puede construir truncando los 4 vértices de un tetraedro regular .

Construcción

El tetraedro truncado se puede construir a partir de un tetraedro regular cortando todos sus vértices, un proceso conocido como truncamiento . ^[1] El poliedro resultante tiene 4 triángulos equiláteros y 4 hexágonos regulares, 18 aristas y 12 vértices. ^[2] Un poliedro de Goldberg es uno cuyas caras son 12 pentágonos y algún múltiplo de 10 hexágonos. Hay tres clases de poliedros de Goldberg, una de ellas se construye truncando todos los vértices repetidamente, y el tetraedro truncado es una de ellas, denotada como . ${\displaystyle \mathrm {G} _{\mathrm {III} }(1,1)}$

Propiedades

Dada la longitud de arista . El área de la superficie de un tetraedro truncado es la suma del área de 4 hexágonos regulares y 4 triángulos equiláteros, y su volumen es: ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124a^{2},\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.711a^{3}.\end{aligned}}}$$

El ángulo diedro de un tetraedro truncado entre triángulo y hexágono es de aproximadamente 109,47°, y el ángulo entre caras hexagonales adyacentes es de aproximadamente 70,53°. ^[3]

Se cree que el empaquetamiento más denso del tetraedro truncado es , según lo informado por dos grupos independientes utilizando métodos de Monte Carlo por Damasceno, Engel y Glotzer (2012) y Jiao y Torquato (2013) . ^{[4] [5]} Aunque no existe una prueba matemática de que este sea el mejor empaquetamiento posible para el tetraedro truncado, la alta proximidad a la unidad y la independencia de los hallazgos hacen que sea poco probable que se encuentre un empaquetamiento aún más denso. Si el truncamiento de las esquinas es ligeramente más pequeño que el de un tetraedro truncado, esta nueva forma se puede utilizar para llenar el espacio por completo. ^[4] ${\textstyle \Phi ={\frac {207}{208}}}$Error de harvtxt: no hay destino: CITEREFJiaoTorquato2013 ( ayuda )

Modelo 3D de un tetraedro truncado

El tetraedro truncado es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[6] El tetraedro truncado tiene la misma simetría de grupo tridimensional que el tetraedro regular, la simetría tetraédrica . ^[7] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un triángulo equilátero y dos hexágonos regulares, y la figura del vértice se denota como . Su poliedro dual es triakis tetrahedron , un sólido catalán , comparte la misma simetría que el tetraedro truncado. ^[8] ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle 3\cdot 6^{2}}$

Poliedros relacionados

El tetraedro truncado se puede encontrar en la construcción de poliedros. Por ejemplo, el tetraedro truncado aumentado es un sólido de Johnson construido a partir de un tetraedro truncado mediante la unión de una cúpula triangular sobre su cara hexagonal. ^[9] El tetraedro truncado triakis es un poliedro construido a partir de un tetraedro truncado mediante la adición de tres tetraedros sobre sus caras triangulares, como se interpreta por el nombre " triakis ". Se clasifica como plesioedro , lo que significa que puede teselarse en un espacio tridimensional conocido como panal de abeja ; un ejemplo es el tetraedro truncado triakis en forma de panal de abeja . ^[10]

El poliedro de Friauf recibe su nombre de J. B. Friauf, en el que lo describió como una estructura intermetálica formada por un compuesto de elementos metálicos. ^[11] Se puede encontrar en cristales como aleaciones metálicas complejas, un ejemplo es el dizinc magnesio MgZn ₂ . ^[12] Es una versión de simetría inferior del tetraedro truncado, interpretado como un difenoide tetragonal truncado con su grupo de simetría tridimensional como el grupo diedro de orden 8. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$

Al truncar un tetraedro truncado se obtiene un poliedro de 54 aristas, 32 vértices y 20 caras (4 hexágonos, 4 nonágonos y 12 trapecios) . Este poliedro fue utilizado por Adidas como geometría subyacente del balón Jabulani diseñado para la Copa del Mundo de 2010. ^[1]

Gráfico tetraédrico truncado

La gráfica de un tetraedro truncado

En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo tetraédrico truncado es un grafo arquimediano , el grafo de vértices y aristas del tetraedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos . Tiene 12 vértices y 18 aristas. ^[13] Es un grafo cúbico conexo, ^[14] y un grafo cúbico transitivo conexo. ^[15]

Ejemplos

• 
  dibujo en De divina proporción (1509)
• 
  dibujo en Perspectiva Corporum Regularium (1568)
• 
  modelo de cristal
• 
  Fotografías desde diferentes perspectivas ( Matemateca )
• 
  Dado de 4 caras
• 
  12 permutaciones de (marrón) ${\displaystyle (4,2,0,0)}$

Véase también

• Panal cúbico de un cuarto : llena el espacio utilizando tetraedros truncados y tetraedros más pequeños
• Politopo truncado de 5 celdas : politopo uniforme similar en 4 dimensiones
• Triakis tetraedro truncado
• Tetraedro truncado Triakis
• Octaedro : un tetraedro rectificado

Referencias

1. Kuchel, Philip W. (2012). "96.45 ¿Se puede 'doblar' un tetraedro truncado?". The Mathematical Gazette . 96 (536): 317–323. JSTOR  23248575.
2. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.Véase la línea II.
4. Damasceno, Pablo F.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2012). "Conjuntos cristalinos y empaquetamientos más densos de una familia de tetraedros truncados y el papel de las fuerzas entrópicas direccionales". ACS Nano . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . doi :10.1021/nn204012y. PMID  22098586. S2CID  12785227.
5. Jiao, Yang; Torquato, Sal (2011). "Un empaquetamiento de tetraedros truncados que llena casi todo el espacio". arXiv : 1107.2300 [cond-mat.soft].
6. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
7. Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D". Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010. World Scientific. pág. 46-47.
8. Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Dover Publications, Inc., pág. 72. ISBN 978-0-486-23729-9.
9. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert. Textos y lecturas de matemáticas. Hindustan Book Agency. pág. 84-89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
10. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Teselas con teselas congruentes". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR  0585178.
11. Friauf, JB (1927). "La estructura cristalina de los compuestos intermetálicos". Revista de la Sociedad Química Americana . 49 (12): 3107–3114. doi :10.1021/ja01411a017.
12. Lalena, John N.; Cleary, David A.; Duparc, Olivier B. (2020). Principios de diseño de materiales inorgánicos. John Wiley & Sons . p. 150. ISBN 9781119486916.
13. Atlas de gráficos, página 267, gráfico tetraédrico truncado
14. Atlas de grafos, página 130, grafos cúbicos conectados, 12 vértices, C105
15. Atlas de grafos, página 161, grafos transitivos cúbicos conexos, 12 vértices, Ct11

• Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Tetraedro truncado" ("Sólido arquimediano") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico tetraédrico truncado". MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x3o - tut".
• Red editable e imprimible de un tetraedro truncado con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros