En matemáticas , y más concretamente en combinatoria poliédrica , un poliedro de Goldberg es un poliedro convexo formado por hexágonos y pentágonos . Fueron descritos por primera vez en 1937 por Michael Goldberg (1902-1990). Están definidos por tres propiedades: cada cara es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada vértice y tienen simetría icosaédrica rotacional . No son necesariamente simétricos en espejo ; por ejemplo, GP(5,3) y GP(3,5) son enantiomorfos entre sí. Un poliedro de Goldberg es un poliedro dual de un poliedro geodésico .
Una consecuencia de la fórmula del poliedro de Euler es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente doce caras pentagonales. La simetría icosaédrica asegura que los pentágonos sean siempre regulares y que siempre haya 12. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras planas equiláteras (pero en general no equiangulares).
Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el dodecaedro y el icosaedro truncado . Se pueden describir otras formas realizando un movimiento de caballo de ajedrez de un pentágono al siguiente: primero se dan m pasos en una dirección, luego se gira 60° a la izquierda y se dan n pasos. Tal poliedro se denota GP( m , n ). Un dodecaedro es GP(1,0) y un icosaedro truncado es GP(1,1).
Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con simetría tetraédrica y simetría octaédrica . Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones reciben subíndices de números romanos que denotan el número de lados en las caras no hexagonales: GP III ( n , m ), GP IV ( n , m ) y GP V ( n , m ).
El número de vértices, aristas y caras de GP ( m , n ) se puede calcular a partir de my n , con T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn , dependiendo de una de las tres simetrías. sistemas: [1] El número de caras no hexagonales se puede determinar utilizando la característica de Euler, como se demuestra aquí .
La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir utilizando la notación de poliedro de Conway comenzando con semillas (T)etaedro, (C)ube y (D)odecaedro. El operador de chaflán , c , reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando GP ( m , n ) en GP (2 m ,2 n ), con un multiplicador T de 4. El operador kis truncado , y = tk , genera GP (3, 0), transformando GP ( m , n ) en GP (3 m ,3 n ), con un multiplicador T de 9.
Para las formas de clase 2, el operador dual kis , z = dk , transforma GP ( a ,0) en GP ( a , a ), con un multiplicador T de 3. Para las formas de clase 3, el operador de giro , w , genera GP ( 2,1), con un multiplicador T de 7. Un generador de remolino en sentido horario y antihorario, w w = wrw genera GP (7,0) en clase 1. En general, un remolino puede transformar un GP( a , b ) en GP ( a + 3 b ,2 ab ) para a > b y la misma dirección quiral. Si se invierten las direcciones quirales, GP( a , b ) se convierte en GP(2 a + 3 b , a − 2 b ) si a ≥ 2 b , y GP(3 a + b ,2 b − a ) si a < 2 b .