En geometría , el achaflanado o truncamiento de bordes es un operador topológico que modifica un poliedro en otro. Es similar a la expansión : separa las caras (hacia afuera) y agrega una nueva cara entre cada dos caras adyacentes; pero a diferencia de la expansión, mantiene los vértices originales . (Equivalente: separa las caras reduciéndolas y agrega una nueva cara entre cada dos caras adyacentes; pero solo mueve los vértices hacia abajo). Para un poliedro, esta operación agrega una nueva cara hexagonal en lugar de cada arista original .
En la notación poliédrica de Conway , el chaflán se representa con la letra "c". Un poliedro con e aristas tendrá una forma achaflanada que contendrá 2 e nuevos vértices, 3 e nuevas aristas y e nuevas caras hexagonales.
En los capítulos siguientes, se describen en detalle los chaflanes de los cinco sólidos platónicos . Cada uno se muestra en una versión de caras equiláteras donde todos los bordes tienen la misma longitud, y en una versión canónica donde todos los bordes tocan la misma esfera media . (Se ven notablemente diferentes sólo en los sólidos que contienen triángulos). Los poliedros duales que se muestran son duales con respecto a las versiones canónicas.
El tetraedro achaflanado o cubo truncado alterno es un poliedro convexo construido:
Para una cierta profundidad de achaflanado/truncamiento, todos los bordes (finales) del cT tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares .
El dual del tetraedro achaflanado es el tetraedro de triakis alternativo.
El cT es el poliedro GP III de Goldberg (2,0) o {3+,3} 2,0 , que contiene caras triangulares y hexagonales.
El cubo achaflanado se construye como el chaflán de un cubo : los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras, hexágonos, en lugar de todas las aristas originales. El cC es un poliedro convexo con 32 vértices, 48 aristas y 18 caras: 6 cuadrados congruentes (y regulares) y 12 hexágonos aplanados congruentes.
Para una determinada profundidad de biselado, todos los bordes (finales) del cubo biselado tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares . Son rombos congruentes alternativamente truncados , tienen 2 ángulos internos de y 4 ángulos internos de mientras que un hexágono regular tendría todos los ángulos internos.
El cC también se denomina incorrectamente dodecaedro rómbico truncado , aunque ese nombre sugiere más bien un rombicuboctaedro . El cC puede denominarse con mayor precisión dodecaedro rómbico tetratruncado , porque solo los (6) vértices de orden 4 del dodecaedro rómbico están truncados.
El dual del cubo achaflanado es el tetrakis cuboctaedro .
Debido a que todas las caras del cC tienen un número par de lados y son centralmente simétricas , es un zonoedro . También es el poliedro GP IV de Goldberg (2,0) o {4+,3} 2,0 , que contiene caras cuadradas y hexagonales.
El cC es la suma de Minkowski de un dodecaedro rómbico y un cubo de longitud de arista 1 cuando los ocho vértices de orden 3 del dodecaedro rómbico están en y sus seis vértices de orden 4 están en las permutaciones de
Se puede construir un equivalente topológico al cubo achaflanado , pero con simetría piritoédrica y caras rectangulares, achaflanando los bordes axiales de un piritoedro . Esto ocurre en los cristales de pirita .
En geometría , el octaedro achaflanado es un poliedro convexo construido truncando los vértices de 8 orden 3 del dodecaedro rómbico . Estos vértices truncados se convierten en triángulos equiláteros congruentes y las 12 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos aplanados congruentes
. Para una cierta profundidad de truncamiento, todos los bordes (finales) del cO tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares .
El octaedro achaflanado también puede denominarse dodecaedro rómbico tritruncado .
El dual del cO es el cuboctaedro triakis.
El dodecaedro achaflanado es un poliedro convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 12 pentágonos regulares congruentes y 30 hexágonos aplanados congruentes
. Está construido como un chaflán de un dodecaedro regular . Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras, hexágonos aplanados, en lugar de todas las aristas originales. Para una cierta profundidad de biselado, todos los bordes (finales) del CD tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares.
El cD también se denomina incorrectamente triacontaedro rómbico truncado , aunque ese nombre sugiere más bien un rombicosidodecaedro . El cD puede denominarse con mayor precisión triacontaedro rómbico pentatruncado , porque solo los (12) vértices de orden 5 del triacontaedro rómbico están truncados.
El dual del dodecaedro achaflanado es el pentakis icosidodecaedro .
En geometría , el icosaedro achaflanado es un poliedro convexo construido truncando los 20 vértices de orden 3 del triacontaedro rómbico . Las caras hexagonales del cI pueden hacerse equiláteras , pero no regulares , con una cierta profundidad de truncamiento.
El icosaedro achaflanado también puede denominarse triacontaedro rómbico tritruncado .
El dual del cI es el icosidodecaedro triakis.
La operación de chaflán aplicada en serie crea poliedros progresivamente más grandes con nuevas caras hexagonales que reemplazan los bordes de la anterior. El operador de chaflán transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).
Un poliedro regular, GP(1,0), crea una secuencia de poliedros de Goldberg : GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0). )...
El octaedro truncado o icosaedro truncado , GP(1,1) crea una secuencia de Goldberg: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)...
Un tetrakis hexaedro o pentakis dodecaedro truncado , GP(3,0), crea una secuencia de Goldberg: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...
Al igual que la operación de expansión, el chaflán se puede aplicar a cualquier dimensión. En el caso de los polígonos, triplica el número de vértices. Para policora, se crean nuevas celdas alrededor de los bordes originales. Las celdas son prismas que contienen dos copias de la cara original, con pirámides aumentadas en los lados del prisma.
