Tetraedro truncado aumentado

65.° Johnson sólido

Modelo 3D de un tetraedro truncado aumentado

En geometría , el tetraedro truncado aumentado es un poliedro que se construye uniendo una cúpula triangular a un tetraedro truncado . Es un ejemplo de sólido de Johnson .

Construcción

El tetraedro truncado aumentado se construye a partir de un tetraedro truncado uniendo una cúpula triangular . ^[1] Esta cúpula cubre una de las cuatro caras hexagonales del tetraedro truncado, de modo que las caras del poliedro resultante son ocho triángulos equiláteros , tres cuadrados y tres hexágonos regulares . ^[2] Dado que tiene la propiedad de convexidad y tiene caras poligonales regulares , el tetraedro truncado aumentado es un sólido de Johnson , denotado como el sexagésimo quinto sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{65}}$

Propiedades

El área de superficie de un tetraedro truncado aumentado es: ^[2] la suma de las áreas de sus caras. Su volumen se puede calcular dividiendo el tetraedro truncado y la cúpula triangular y sumando sus volúmenes: ^[2] $${\displaystyle {\frac {6+13{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 14.258a^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {2}}}{4}}a^{3}\approx 3.889a^{3}.}$$

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que la cúpula triangular, la simetría piramidal . Sus ángulos diedros se pueden obtener sumando el ángulo de una cúpula triangular y un tetraedro truncado aumentado en los siguientes: ^[4] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

• su ángulo diedro entre triángulo y hexágono es como en el tetraedro truncado: 109,47°;
• su ángulo diedro entre hexágonos adyacentes es como en el tetraedro truncado: 70,53°;
• Su ángulo diedro entre el triángulo y el cuadrado es como el ángulo de la cúpula triangular: 125,3°
• su ángulo diedro entre el triángulo y el cuadrado, en el borde donde se unen la cúpula triangular y el tetraedro truncado, es la suma del ángulo cuadrado-hexágono de la cúpula triangular y del ángulo triángulo-hexágono del tetraedro truncado: aproximadamente 164,17°; y
• su ángulo diedro entre triángulo y hexágono, en el borde donde se unen la cúpula triangular y el tetraedro truncado, es la suma del ángulo diedro de una cúpula triangular y un tetraedro truncado entre ellos: aproximadamente 141,3°;

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert. Textos y lecturas de matemáticas. Hindustan Book Agency. pág. 84-89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013). "Sólidos de Johnson y sus acrónimos". Word Ways . 46 (3): 177.
4. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Tetraedro truncado aumentado" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .