Triángulo equilátero

Forma con tres lados iguales.

En geometría , un triángulo equilátero es un triángulo en el que sus tres lados tienen la misma longitud. En la conocida geometría euclidiana , un triángulo equilátero también es equiangular ; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y cada uno mide 60°. También es un polígono regular , por lo que también se le conoce como triángulo regular .

Propiedades principales

Un triángulo equilátero. Tiene lados iguales ( ), ángulos iguales ( ) y altitudes iguales ( ). ${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ ${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$

Denotando la longitud común de los lados del triángulo equilátero como , podemos determinar usando el teorema de Pitágoras que: ${\displaystyle a}$

• El área es ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2},}$
• El perímetro es ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• El radio del círculo circunscrito es ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• El radio del círculo inscrito es o ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$ ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$
• El centro geométrico del triángulo es el centro de los círculos circunscritos e inscritos.
• La altitud (altura) desde cualquier lado es ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Denotando el radio del círculo circunscrito como R , podemos determinar usando trigonometría que:

• El área del triángulo es ${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice del lado opuesto:

• El área es ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• La altura del centro desde cada lado, o apotema , es ${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• El radio del círculo que circunscribe los tres vértices es ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$
• El radio del círculo inscrito es ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

En un triángulo equilátero coinciden las altitudes, las bisectrices de los ángulos, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado.

Caracterizaciones

Un triángulo que tiene los lados , , , semiperímetro , área , exradios , , (tangente a , , respectivamente), y donde y son los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia incircular respectivamente, es equilátero si y sólo si cualquiera de los enunciados en el Las siguientes nueve categorías son verdaderas. Por tanto, estas son propiedades que son exclusivas de los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellas es verdadera implica directamente que tenemos un triángulo equilátero. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Lados

• ${\displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

semiperímetro

• ${\displaystyle s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r}$^[2] (Blundon)
• ${\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

Anglos

• ${\displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

Área

• ${\displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$( Weitzenböck )
• ${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}}$^[4]

Circunradio, inradio y exradio

• ${\displaystyle R=2r}$^[6] (Chapple-Euler)
• ${\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[6]
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$^[5]
• ${\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Cevians iguales

Tres tipos de cevianas coinciden y son iguales para (y sólo para) triángulos equiláteros: ^[7]

• Las tres altitudes tienen longitudes iguales.
• Las tres medianas tienen longitudes iguales.
• Las tres bisectrices de los ángulos tienen longitudes iguales.

Centros de triángulos coincidentes

Cada centro de un triángulo equilátero coincide con su centroide , lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo sin línea de Euler que conecte algunos de los centros. Para algunos pares de centros de triángulos, el hecho de que coincidan es suficiente para asegurar que el triángulo sea equilátero. En particular:

• Un triángulo es equilátero si coinciden dos de los circuncentros , incentros , centroides u ortocentros . ^{[8] : pág.37}
• También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto de Nagel , o si su incentro coincide con su centro de nueve puntos . ^[6]

Seis triángulos formados al dividirse por las medianas.

Para cualquier triángulo, las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños.

• Un triángulo es equilátero si y sólo si tres de los triángulos más pequeños tienen el mismo perímetro o el mismo inradio. ^{[9] : Teorema 1}
• Un triángulo es equilátero si y sólo si los circuncentros de tres de los triángulos más pequeños están a la misma distancia del centroide. ^{[9] : Corolario 7}

Puntos en el avión

• Un triángulo es equilátero si y sólo si, para cada punto del plano, con distancias , , y a los lados del triángulo y distancias , , y a sus vértices, ^{[10] : p.178, #235.4} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
  $${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Teoremas notables

Prueba visual del teorema de Viviani

1. Se muestran las distancias más cercanas desde el punto P a los lados del triángulo equilátero . ${\displaystyle ABC}$
2. Las líneas , y paralelas a , y , respectivamente, definen triángulos más pequeños , y . ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle HI}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle PFI}$ ${\displaystyle PDG}$
3. Como estos triángulos son equiláteros, sus altitudes se pueden rotar para que sean verticales.
4. Como es un paralelogramo, el triángulo se puede deslizar hacia arriba para mostrar que las altitudes suman las del triángulo . ${\displaystyle PGCH}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle ABC}$

El teorema del trisector de Morley establece que, en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero.

El teorema de Napoleón establece que, si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo, ya sea todos hacia afuera o hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero. ^[11]

El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior de un triángulo equilátero con distancias , , y desde los lados y altitud , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle d+e+f=h,}$$

^[12] ${\displaystyle P}$

El teorema de Pompeyo establece que, si hay un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero pero no en su circunferencia circunstante , entonces existe un triángulo con lados de longitudes , y . Es decir, , y satisfacen la desigualdad del triángulo de que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero. Si está en la circunferencia entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo ha degenerado en una recta, este caso se conoce como teorema de Van Schooten . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle P}$

construcción geométrica

Construcción de triángulo equilátero con compás y regla.

Un triángulo equilátero se construye fácilmente usando una regla y un compás , porque 3 es un primo de Fermat . Dibuja una línea recta, coloca la punta del compás en un extremo de la línea y traza un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea. Repita con el otro lado de la línea. Finalmente, conecta el punto donde los dos arcos se cruzan con cada extremo del segmento de línea.

Un método alternativo es dibujar un círculo con radio , colocar la punta del compás en el círculo y dibujar otro círculo con el mismo radio. Los dos círculos se cruzarán en dos puntos. Se puede construir un triángulo equilátero tomando los dos centros de los círculos y cualquiera de los puntos de intersección. ${\displaystyle r}$

En ambos métodos, un subproducto es la formación de vesica piscis .

La prueba de que la figura resultante es un triángulo equilátero es la primera proposición del Libro I de los Elementos de Euclides .

Derivación de la fórmula del área

La fórmula del área en términos de la longitud del lado se puede derivar directamente usando el teorema de Pitágoras o usando trigonometría. ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ ${\displaystyle a}$

Usando el teorema de Pitágoras

El área de un triángulo es la mitad de un lado por la altura de ese lado: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$$

Un triángulo equilátero de lado 2 tiene una altura de √ 3 , ya que el seno de 60° es √ 3 /2 .

Los catetos de cualquier triángulo rectángulo formado por la altura del triángulo equilátero son la mitad de la base y la hipotenusa es el lado del triángulo equilátero. La altura de un triángulo equilátero se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$$

$${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

Sustituyendo en la fórmula del área se obtiene la fórmula del área del triángulo equilátero: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ah}$

$${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$

Usando trigonometría

Usando trigonometría , el área de un triángulo con dos lados cualesquiera y y un ángulo entre ellos es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$$

Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, entonces

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$$

El seno de 60° es . De este modo ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$$

Otras propiedades

Un triángulo equilátero es el triángulo más simétrico, tiene 3 ejes de reflexión y simetría rotacional de orden 3 alrededor de su centro, cuyo grupo de simetría es el grupo diédrico de orden 6 ,. El triángulo equilátero de lados enteros es el único triángulo con lados enteros y tres ángulos racionales medidos en grados. ^[13] Es el único triángulo agudo que es semejante a su triángulo órtico (con vértices a los pies de las altitudes ), ^{[14] : p. 19} y el único triángulo cuya inelipse de Steiner es un círculo (específicamente, el incírculo). El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado también es equilátero. ^[15] Es el único polígono regular aparte del cuadrado que puede inscribirse dentro de cualquier otro polígono regular. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

Por la desigualdad de Euler , el triángulo equilátero tiene la relación más pequeña entre el circunradio y el inradio de cualquier triángulo, con ^{[16] : p.198} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=2.}$$

Dado un punto en el interior de un triángulo equilátero, la relación entre la suma de sus distancias a los vértices y la suma de sus distancias a los lados es mayor o igual a 2, siendo la igualdad cuando es el centroide. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta relación sea tan pequeña como 2. ^[17] Ésta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; una variante más fuerte es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados con las distancias desde a los puntos donde las bisectrices de los ángulos de , y cruzan los lados ( , y siendo los vértices). Hay muchas otras desigualdades triangulares que se cumplen con igualdad si y sólo si el triángulo es equilátero. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle APB}$ ${\displaystyle \angle BPC}$ ${\displaystyle \angle CPA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Para cualquier punto del plano, con distancias , , y desde los vértices , , y respectivamente, ^[18] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle 3\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}\right)=\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}\right)^{2}.}$$

Para cualquier punto del plano, con distancias , y desde los vértices, ^[19] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$$

$${\displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3\left[\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right],}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$

Para cualquier punto en el círculo inscrito de un triángulo equilátero, con distancias , y desde los vértices, ^[20] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}\right)=5a^{2},}$$

$${\displaystyle 16\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}\right)=11a^{4}.}$$

Para cualquier punto en el arco menor del círculo circunstante, con distancias , y desde , y , respectivamente ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle p=q+t,}$$

$${\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}$$

Además, si el punto del lado se divide en segmentos y tiene longitud y longitud , entonces ^{[12] : 172} ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$$

${\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ ${\displaystyle t\neq q}$

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},}$$

ecuación óptica

Para un triángulo equilátero:

• La razón entre su área y el área del círculo, es la más grande de cualquier triángulo. ^{[21] : Teorema 4.1} ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

• La relación entre su área y el cuadrado de su perímetro es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. ^[11] ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

• Si un segmento divide un triángulo equilátero en dos regiones con perímetros iguales y con áreas y , entonces ^{[10] : p.151, #J26} ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.}$$

Si un triángulo se coloca en el plano complejo con vértices complejos , y , entonces, para cualquiera de las raíces cúbicas no reales de 1, el triángulo es equilátero si y solo si ^{[22] : Lema 2} ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.}$$

El mosaico del triángulo equilátero llena el plano.

En particular, el triángulo equilátero mosaico un espacio bidimensional con seis triángulos que se encuentran en un vértice, cuya teselación dual es el mosaico hexagonal . 3.12 ² , 3.4.6.4 , (3.6) ² , 3 ² .4.3.4 y 3 ⁴ .6 son todos teselados semirregulares construidos con triángulos equiláteros. ^[23]

Un tetraedro regular está formado por cuatro triángulos equiláteros.

En tres dimensiones, los triángulos equiláteros forman caras de poliedros regulares y uniformes . Tres de los cinco sólidos platónicos están compuestos por triángulos equiláteros: el tetraedro , el octaedro y el icosaedro . ^{[24] : p.238} En particular, el tetraedro, que tiene cuatro triángulos equiláteros como caras, puede considerarse el análogo tridimensional del triángulo . Todos los sólidos platónicos pueden inscribirse en tetraedros, así como también estar inscritos dentro de tetraedros. Los triángulos equiláteros también forman antiprismas uniformes , así como antiprismas estelares uniformes en el espacio tridimensional. Para los antiprismas, dos copias paralelas (no reflejadas) de polígonos regulares están conectadas mediante bandas alternas de triángulos equiláteros. ^[25] Específicamente para los antiprismas estelares, existen soluciones progradas y retrógradas (cruzadas) que unen polígonos estelares paralelos reflejados y no reflejados . ^{[26] [27]} El octaedro platónico es también un antiprisma triangular , que es el primer miembro verdadero de la familia infinita de antiprismas (el tetraedro, como antiprisma digonal, a veces se considera el primero). ^{[24] : p.240} ${\displaystyle 2n}$

Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de - simplex , con . ^[28] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

En la cultura y la sociedad

Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre:

• La forma se encuentra en la arquitectura moderna, como la sección transversal del Arco Gateway . ^[29]
• Sus aplicaciones en banderas y heráldica incluyen la bandera de Nicaragua ^[30] y la bandera de Filipinas . ^[31]
• Es la forma de una variedad de señales de tráfico , incluida la señal de ceder el paso . ^[32]

Ver también

• Triángulo heroniano casi equilátero
• Triángulo isósceles
• trama ternaria
• Coordenadas trilineales

Referencias

1. Benzze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). "Una forma equivalente de desigualdad triangular fundamental y sus aplicaciones" (PDF) . Revista de Desigualdades en Matemática Pura y Aplicada . 10 (1): 1–6 (artículo núm. 16). ISSN  1443-5756. SEÑOR  2491926. S2CID  115305257. Zbl  1163.26316.
2. Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). "Una prueba elemental de la desigualdad de Blundon" (PDF) . Revista de Desigualdades en Matemática Pura y Aplicada . 9 (4): 1-3 (Documento No. 100). ISSN  1443-5756. S2CID  123965364. Zbl  1162.51305.
3. Blundon, WJ (1963). "Sobre ciertos polinomios asociados al triángulo". Revista Matemáticas . Taylor y Francisco . 36 (4): 247–248. doi :10.2307/2687913. JSTOR  2687913. S2CID  124726536. Zbl  0116.12902.
4. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). Cuando menos es más. Visualizar desigualdades básicas. Exposiciones Matemáticas Dolciani. vol. 36. Washington, DC: Asociación Matemática de América . págs.71, 155. doi :10.5948/upo9781614442028. ISBN 978-0-88385-342-9. SEÑOR  2498836. OCLC  775429168. S2CID  117769827. Zbl  1163.00008.
5. Pohoata, Cosmin (2010). "Una nueva prueba de la desigualdad inradio-circunradio de Euler" (PDF) . Gazeta Matemática Serie B (3): 121-123. S2CID  124244932.
6. Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Números complejos de la A a la Z (1ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser . págs. 70, 113-115. doi :10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC  871539199. S2CID  118951675.
7. Owen, Byer; Félix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Métodos de geometría euclidiana . Materiales de recursos para el aula. vol. 37. Washington, DC: Asociación Matemática de América . págs.36, 39. doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC  501976971. S2CID  118179744.
8. Yiu, Paul (1998). "Notas sobre geometría euclidiana" (PDF) . Florida Atlantic University, Departamento de Ciencias Matemáticas (Notas del curso).
9. Cerin, Zvonko (2004). "Los triángulos vértice-punto medio-centroide" (PDF) . Foro Geométricorum . 4 : 97-109.
10. "Desigualdades propuestas en" Crux Mathematicorum"" (PDF) .
11. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979: 147.
12. Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Problemas desafiantes en geometría . Publicación de Dover.
13. Conway, JH y Guy, RK, "El único triángulo racional", en El libro de los números , 1996, Springer-Verlag, págs. 201 y 228-239.
14. Leon Bankoff y Jack Garfunkel, "El triángulo heptagonal", Mathematics Magazine 46 (1), enero de 1973, 7-19,
15. Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Publicación de Dover. págs. 379–380.
16. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades triangulares clásicas" (PDF) . Foro Geométricorum . 12 : 197–209.
17. Lee, Hojoo (2001). "Otra prueba del teorema de Erdős-Mordell" (PDF) . Foro Geométricorum . 1 : 7–8.
18. Gardner, Martin, "Elegant Triangles", en el libro Mathematical Circus , 1979, p. sesenta y cinco.
19. Meskhishvili, Mamuka (2021). «Promedios cíclicos de distancias poligonales regulares» (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 10 : 58–65.
20. De, Prithwijit (2008). «Curiosas propiedades de la circuncisión y la incircunferencia de un triángulo equilátero» (PDF) . Espectro Matemático . 41 (1): 32–35.
21. Minda, D.; Phelps, S. (2008). "Triángulos, elipses y polinomios cúbicos". Mensual Matemático Estadounidense . 115 (octubre): 679–689. doi :10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR  27642581. S2CID  15049234.
22. Dao, Thanh Oai (2015). "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos" (PDF) . Foro Geométricorum . 15 : 105-114.
23. Grünbaum, Branko ; Shepard, Geoffrey (noviembre de 1977). «Mosaico por polígonos regulares» (PDF) . Revista Matemáticas . Taylor y Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. SEÑOR  1567647. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
24. Johnson, Norman W. (2018). Geometrías y Transformaciones (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. xv, 1–438. doi :10.1017/9781316216477. ISBN 978-1107103405. S2CID  125948074. Zbl  1396.51001.
25. Cromwell, Peter T. (1997). "Capítulo 2: Los sólidos de Arquímedes" . Poliedros (1ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. pag. 85.ISBN​ 978-0521664059. SEÑOR  1458063. OCLC  41212721. Zbl  0888.52012.
26. Klitzing, Richard. "n-antiprisma con número de bobinado d". Politopos y sus matrices de incidencia . bendwavy.org (Anton Sherwood) . Consultado el 9 de marzo de 2023 .
27. Webb, Robert. "Glosario poliédrico de Stella". Estela . Consultado el 9 de marzo de 2023 .
28. HSM Coxeter (1948). Politopos regulares (1 ed.). Londres: Methuen & Co. LTD. págs. 120-121. OCLC  4766401. Zbl  0031.06502.
29. Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds. (2006). Eero Saarinen: dando forma al futuro. Prensa de la Universidad de Yale. págs.160, 224, 226. ISBN 978-0972488129.
30. Blanco, Steven F.; Calderón, Esthela (2008). Cultura y Costumbres de Nicaragua . Prensa de Greenwood. pag. 3.ISBN​ 978-0313339943.
31. Guillermo, Artemio R. (2012). Diccionario histórico de Filipinas. Prensa de espantapájaros. pag. 161.ISBN​ 978-0810872462.
32. Riley, Michael W.; Cochran, David J.; Ballard, John L. (diciembre de 1982). "Una investigación de las formas preferidas para las etiquetas de advertencia". Factores humanos: revista de la sociedad de factores humanos y ergonomía . 24 (6): 737–742. doi :10.1177/001872088202400610. S2CID  109362577.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triángulo equilátero". MundoMatemático .