En geometría , el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo , ya sea todos hacia afuera o todos hacia adentro, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.
El triángulo así formado se llama triángulo de Napoleón interior o exterior . La diferencia en las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.
El teorema suele atribuirse a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de W. Rutherford de 1825 publicada en The Ladies' Diary , cuatro años después de la muerte del emperador francés, [1] [2] pero el resultado se cubre en tres preguntas formuladas en un examen para una Medalla de Oro. Medalla en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo siguiente.
En la figura anterior, △ ABC es el triángulo original. △ AZB , △ BXC , △ CYA son triángulos equiláteros construidos en el exterior de sus lados, y los puntos L, M, N son los centroides de esos triángulos. El teorema de los triángulos exteriores establece que el triángulo △ LMN ( verde ) es equilátero.
Una forma rápida de ver que △ LMN es equilátero es observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 30° alrededor de A y una homotecia de razón con el mismo centro, y que LN también se convierte en CZ después de una rotación en el sentido antihorario de 30° alrededor de B y una homotecia de razón con el mismo centro. Las respectivas similitudes en espiral [3] son. Eso implica MN = LN y el ángulo entre ellas debe ser de 60°. [4]
De hecho, hay muchas pruebas del enunciado del teorema, incluida una sintética (sin coordenadas) , [5] una trigonométrica , [6] un enfoque basado en la simetría , [7] y pruebas que utilizan números complejos . [6]
El teorema se ha atribuido con frecuencia a Napoleón, pero se han escrito varios artículos sobre este tema [8] [9] que arrojan dudas sobre esta afirmación (ver (Grünbaum 2012)).
La siguiente entrada apareció en la página 47 del Ladies' Diary de 1825 (es decir, a finales de 1824, aproximadamente un año después de la compilación de los exámenes de Dublín). Esta es una de las primeras apariciones impresas del teorema de Napoleón, y no se menciona el nombre de Napoleón.
"Describe triángulos equiláteros (los vértices están todos hacia afuera o hacia adentro) sobre los tres lados de cualquier triángulo △ ABC : entonces las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Se requiere una demostración".
Dado que William Rutherford era un matemático muy capaz, se desconoce su motivo para solicitar una demostración de un teorema que ciertamente podría haber demostrado él mismo. Tal vez planteó la pregunta como un desafío a sus compañeros, o tal vez esperaba que las respuestas arrojaran una solución más elegante. Sin embargo, al leer números sucesivos del Ladies' Diary en la década de 1820, se desprende claramente que el editor pretendía incluir un conjunto variado de preguntas cada año, algunas adecuadas para el ejercicio de principiantes.
Es evidente que no hay ninguna referencia a Napoleón ni en la pregunta ni en las respuestas publicadas, que aparecieron un año después, en 1826, aunque el editor evidentemente omitió algunas aportaciones. Además, el propio Rutherford no aparece entre los solucionadores nombrados después de las soluciones impresas, aunque del recuento de unas páginas antes es evidente que envió una solución, al igual que varios de sus alumnos y asociados en la Escuela Woodburn, incluido el primero. de las soluciones publicadas. De hecho, el Grupo de Resolución de Problemas de Woodburn, como se le podría conocer hoy en día, era lo suficientemente conocido para entonces como para escribirlo en A Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland... (2ª ed. Vo. II, págs. 123-124). Se pensaba que la primera referencia conocida a este resultado como teorema de Napoleón aparece en la 17ª edición de Elementi di Geometria de Faifofer , publicada en 1911, [10] aunque Faifofer en realidad menciona a Napoleón en ediciones algo anteriores. Pero esto es discutible porque encontramos a Napoleón mencionado por su nombre en este contexto en una enciclopedia de 1867. Lo que es de mayor interés histórico con respecto a Faifofer es el problema que había estado usando en ediciones anteriores: un problema clásico sobre la circunscripción del mayor triángulo equilátero alrededor de un triángulo dado que Thomas Moss había planteado en el Ladies Diary en 1754, en cuya solución William Bevil al año siguiente podríamos reconocer fácilmente el germen del teorema de Napoleón; los dos resultados van juntos, de un lado a otro durante al menos el último los próximos cien años en las páginas problemáticas de los almanaques populares: cuando Honsberger propuso en Mathematical Gems en 1973 lo que pensaba que era una novedad propia, en realidad estaba recapitulando parte de esta vasta, aunque informal, literatura.
Sería bueno recordar que una variante popular de la proposición pitagórica, según la cual los cuadrados se colocan en las aristas de los triángulos, era colocar triángulos equiláteros en las aristas de los triángulos: ¿podrías hacer con triángulos equiláteros lo que podrías hacer con cuadrados? por ejemplo, en el caso de triángulos rectángulos, ¿diseccionar el que está en la hipotenusa en los que están en los catetos? Así como los autores volvieron repetidamente a considerar otras propiedades del molino de viento de Euclides o de la silla de la novia, la figura equivalente con triángulos equiláteros reemplazando a los cuadrados llamó (y recibió) atención. Quizás el esfuerzo más majestuoso a este respecto sea la Pregunta del premio de William Mason en el Diario de damas y caballeros de 1864, cuyas soluciones y comentarios al año siguiente abarcan unas quince páginas. Para entonces, este venerable lugar en particular (comenzando en 1704 para el Ladies' Diary y en 1741 para el Gentleman's Diary ) estaba en sus últimas etapas, pero problemas de este tipo continuaron en el Educational Times hasta principios del siglo XX.
En el trabajo de Geometría, ambientado en la segunda mañana de los trabajos para los candidatos a la Medalla de Oro en el Examen General de la Universidad de Dublín en octubre de 1820, aparecen los siguientes tres problemas.
Estos problemas se registran en
Pregunta 1249 del Diario del caballero; o Mathematical Repository for 1829 (que apareció a finales de 1828) retoma el tema, y las soluciones aparecen en el número del año siguiente. Uno de los solucionadores, TS Davies , generalizó el resultado en la pregunta 1265 de ese año y presentó su propia solución al año siguiente, basándose en un artículo que ya había contribuido a la Philosophical Magazine en 1826. No hay referencias cruzadas en este material a lo descrito anteriormente. Sin embargo, hay varios elementos de interés afín en las páginas problemáticas de los almanaques populares que se remontan al menos a mediados de la década de 1750 (Moss) y continúan hasta mediados de la década de 1860 (Mason), como se mencionó anteriormente.
Da la casualidad de que el nombre de Napoleón se menciona en relación con este resultado nada menos que en una obra de referencia como la Enciclopedia de Chambers ya en 1867 (vol. IX, hacia el final de la entrada sobre triángulos).
Otra propiedad notable de los triángulos, conocida como problema de Napoleón, es la siguiente: si en cualquier triángulo se describen tres triángulos equiláteros y los centros de gravedad de estos tres están unidos, el triángulo así formado es equilátero y tiene su centro de gravedad coincidente con la del triángulo original. [12]
Pero entonces el resultado había aparecido, con pruebas, en un libro de texto al menos en 1834 ( Euclides de James Thomson , págs. 255-256 [13] ). En una nota al final (p. 372), Thomason agrega
No he encontrado esta curiosa proposición, excepto en los Problemas de Dublín, publicados en 1823, donde se inserta sin demostración.
En la segunda edición (1837), Thomson amplió la nota final proporcionando pruebas de un antiguo alumno de Belfast:
Lo siguiente es un resumen de una prueba muy sencilla y clara realizada por el Sr. Adam D. Glasgow de Belfast, un antiguo alumno mío de gran gusto y talento para las actividades matemáticas:
Así, Thomson no parece consciente de la aparición del problema en el Ladies' Diary de 1825 o en el Gentleman's Diary de 1829 (al igual que JS Mackay no se percató de la última aparición, con su cita de los Problemas de Dublín, aunque señaló la ex; los lectores del American Mathematical Monthly tienen un indicio de la pregunta 1249 en el Gentleman's Diary de RC Archibald en el número de enero de 1920, p. 41, nota 7, aunque la primera solución publicada en el Ladies Diary de 1826 muestra que incluso. Archibald no era omnisciente en cuestiones de prioridad).
Los centros de los triángulos de Napoleón interior y exterior coinciden con el centroide del triángulo original. Esta coincidencia fue señalada en la Enciclopedia de Chambers en 1867, como se cita anteriormente. La entrada allí no está firmada. PG Tait , entonces profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo, figura entre los contribuyentes, pero JU Hillhouse, tutor de matemáticas también en la Universidad de Edimburgo, aparece entre otros caballeros literarios conectados durante más o menos tiempo con el personal habitual de la Universidad de Edimburgo. Enciclopedia. Sin embargo, en la Sección 189(e) de An Elementary Treatise on Quaternions , [14] también en 1867, Tait trata el problema (de hecho, haciéndose eco de los comentarios de Davies en el Gentleman's Diary de 1831 con respecto a la pregunta 1265, pero ahora en el configuración de cuaterniones):
Si en los puntos medios de los lados de un triángulo se levantan perpendiculares hacia afuera, siendo cada una proporcional al lado correspondiente, el punto medio de sus extremidades coincide con el del triángulo original. Encuentra la razón entre cada perpendicular y la mitad del lado correspondiente del triángulo antiguo para que el nuevo triángulo pueda ser equilátero.
Tait concluye que los puntos medios de triángulos equiláteros erigidos hacia afuera sobre los lados de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero. La discusión se mantiene en ediciones posteriores de 1873 y 1890, así como en su posterior Introducción a los cuaterniones [15] junto con Philip Kelland en 1873.
El área del triángulo interior de Napoleón de un triángulo con área △ es
donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo original, con igualdad sólo en el caso en que el triángulo original sea equilátero, por la desigualdad de Weitzenböck . Sin embargo, desde un punto de vista algebraico [16] el triángulo interior está "retrógrado" y su área algebraica es el negativo de esta expresión. [17]
El área del triángulo exterior de Napoleón es [18]
Analíticamente , se puede demostrar [6] que cada uno de los tres lados del triángulo exterior de Napoleón tiene una longitud de
La relación entre las dos últimas ecuaciones es que el área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado del lado multiplicado por
Si se erigen triángulos isósceles con ángulos en los vértices sobre los lados de un n -gón arbitrario A 0 , y si este proceso se repite con el n -gón formado por los ápices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k , y así hasta que se hayan utilizado todos los valores 1 ≤ k ≤ n − 2 (en orden arbitrario), entonces se forma un n -gón regular A n −2 cuyo centroide coincide con el centroide de A 0 . [19]
Los centros de n -gón regulares construidos sobre los lados de un n -gón P forman un n -gón regular si y sólo si P es una imagen afín de un n -gón regular. [20] [21]
Dado un hexágono A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 con triángulos equiláteros construidos en los lados, ya sea hacia adentro o hacia afuera, y los vértices de los triángulos equiláteros etiquetados como B i . Si G 1 , G 3 , G 5 son los respectivos centroides de △ B 6 B 1 B 2 , △ B 2 B 3 B 4 , △ B 4 B 5 B 6 , entonces G 1 , G 3 , G 5 forman un equilátero triángulo. [22]
Dado un hexágono ABCDEF con ∆ equiláteros ABG, DHC, IEF construidos en los lados alternos AB, CD y EF, ya sea hacia adentro o hacia afuera. Sean A 1 , B 1 , C 1 los centroides de ∆FGC, ∆BHE y ∆DIA respectivamente, sean A 2 , B 2 , C 2 los centroides de ∆DGE, ∆AHF y ∆BIC respectivamente. Entonces ∆A 1 B 1 C 1 y ∆A 2 B 2 C 2 son triángulos equiláteros. [23] (Si, por ejemplo, hacemos coincidir los puntos A y F, así como B y C, y D y E, entonces el resultado de Dao Than Oai se reduce al teorema de Napoleón).
{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ), pero el registro histórico cita varias ediciones en diferentes años. Esta referencia es de (Wetzel 1992)
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