Desigualdad de Weitzenböck

Desigualdad aplicada a triángulos

Según la desigualdad de Weitzenböck, el área de este triángulo es como máximo ( a ² + b ² + c ² ) ⁄ 4√3.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{all inner angles}}<120^{\circ }:\\&{\text{grey area}}=3\Delta \leq \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{one inner angle}}\geq 120^{\circ }:\\&{\text{grey area}}=3\Delta \leq \Delta _{c}<\Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\end{aligned}}}$

En matemáticas , la desigualdad de Weitzenböck , llamada así en honor a Roland Weitzenböck , establece que para un triángulo de lados de longitud , , , y área , se cumple la siguiente desigualdad: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .}$

La igualdad se da si y solo si el triángulo es equilátero. La desigualdad de Pedoe es una generalización de la desigualdad de Weitzenböck. La desigualdad de Hadwiger-Finsler es una versión reforzada de la desigualdad de Weitzenböck.

Interpretación y demostración geométrica

Reescribir la desigualdad anterior permite una interpretación geométrica más concreta, que a su vez proporciona una prueba inmediata. ^[1]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}b^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}c^{2}\geq 3\,\Delta .}$

Ahora bien, los sumandos del lado izquierdo son las áreas de triángulos equiláteros erigidos sobre los lados del triángulo original y, por lo tanto, la inecuación establece que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros es siempre mayor o igual al triple del área del triángulo original.

${\displaystyle \Delta _{a}+\Delta _{b}+\Delta _{c}\geq 3\,\Delta .}$

Esto se puede demostrar ahora replicando el área del triángulo tres veces dentro de los triángulos equiláteros. Para lograrlo, se utiliza el punto de Fermat para dividir el triángulo en tres subtriángulos obtusos con un ángulo y cada uno de esos subtriángulos se replica tres veces dentro del triángulo equilátero contiguo. Esto solo funciona si cada ángulo del triángulo es menor que , ya que de lo contrario el punto de Fermat no se encuentra en el interior del triángulo y se convierte en un vértice en su lugar. Sin embargo, si un ángulo es mayor o igual a , es posible replicar todo el triángulo tres veces dentro del triángulo equilátero más grande, por lo que la suma de las áreas de todos los triángulos equiláteros sigue siendo mayor que el área triple del triángulo de todos modos. ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$

Más pruebas

La demostración de esta desigualdad fue propuesta como cuestión en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 1961. Aun así, el resultado no es demasiado difícil de obtener utilizando la fórmula de Heron para el área de un triángulo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\[4pt]&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}}$

Primer método

Se puede demostrar que el área del triángulo interior de Napoleón , que debe ser no negativa, es ^[2]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta ),}$

Por lo tanto, la expresión entre paréntesis debe ser mayor o igual a 0.

Segundo método

Este método no presupone ningún conocimiento de las desigualdades, excepto que todos los cuadrados son no negativos.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\[5pt]{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\[5pt]{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[5pt]{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

y el resultado se obtiene inmediatamente tomando la raíz cuadrada positiva de ambos lados. De la primera desigualdad también podemos ver que la igualdad ocurre solo cuando y el triángulo es equilátero. ${\displaystyle a=b=c}$

Tercer método

Esta prueba supone el conocimiento de la desigualdad AM–GM .

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\iff &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}$

Como hemos utilizado la desigualdad de media aritmético-geométrica, la igualdad sólo ocurre cuando y el triángulo es equilátero. ${\displaystyle a=b=c}$

Cuarto método

Escribe así la suma y es decir . Pero , entonces . ${\displaystyle x=\cot A,c=\cot A+\cot B>0}$ ${\displaystyle S=\cot A+\cot B+\cot C=c+{\frac {1-x(c-x)}{c}}}$ ${\displaystyle cS=c^{2}-xc+x^{2}+1=\left(x-{\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {c{\sqrt {3}}}{2}}-1\right)^{2}+c{\sqrt {3}}\geq c{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle S\geq {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \cot A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4\Delta }}}$ ${\displaystyle S={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\Delta }}}$

Véase también

• Lista de desigualdades triangulares
• Desigualdad isoperimétrica
• Desigualdad de Hadwiger-Finsler

Notas

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas geométricas de las desigualdades de Weitzenböck y Hadwiger–Finsler . Mathematics Magazine, vol. 81, n.º 3 (junio de 2008), págs. 216-219 (JSTOR)
2. Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. Geometría revisitada , página 64.

Referencias y lecturas adicionales

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Cuando menos es más: visualización de desigualdades básicas . MAA, 2009, ISBN  9780883853429 , pp. 84-86
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Demostraciones geométricas de las desigualdades de Weitzenböck y Hadwiger–Finsler . Mathematics Magazine, vol. 81, n.º 3 (junio de 2008), págs. 216–219 (JSTOR)
• DM Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Algunas desigualdades geométricas del tipo Ionescu-Weitzebböck. Revista Internacional de Geometría, vol. 2 (2013), núm. 1, abril
• DM Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: La desigualdad Ionescu - Weitzenböck . MateInfo.ro, abril de 2013 (copia en línea)
• Daniel Pedoe : Sobre algunas desigualdades geométricas . The Mathematical Gazette, vol. 26, núm. 272 ​​(diciembre de 1942), págs. 202-208 (JSTOR)
• Roland Weitzenböck : Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie . Mathematische Zeitschrift, Volumen 5, 1919, págs. 137-146 (copia en línea en Göttinger Digitalisierungszentrum )
• Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas de triángulos . Forum Geometricorum, volumen 12, 2012, págs. 197–209 (copia en línea)
• Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: Nuevas desigualdades para el triángulo . Octogon Mathematical Magazine, vol. 17, n.º 1, abril de 2009, págs. 70-89 (copia en línea)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de Weitzenböck". MundoMatemático .
• "La desigualdad de Weitzenböck", una demostración interactiva de Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project .