En geometría , un centro ( inglés británico ) o centro ( inglés americano ) (del griego antiguo κέντρον ( kéntron ) 'objeto puntiagudo') de un objeto es un punto en algún sentido en el medio del objeto. Según la definición específica de centro tomada en consideración, un objeto podría no tener centro. Si se considera la geometría como el estudio de grupos de isometrías , entonces un centro es un punto fijo de todas las isometrías que mueven el objeto sobre sí mismo.
El centro de un círculo es el punto que equidista de los puntos de la arista. De manera similar, el centro de una esfera es el punto equidistante de los puntos de la superficie, y el centro de un segmento de recta es el punto medio de los dos extremos.
Para objetos con varias simetrías , el centro de simetría es el punto que las acciones simétricas no modifican. Entonces el centro de un cuadrado , rectángulo , rombo o paralelogramo es donde se cruzan las diagonales, este es (entre otras propiedades) el punto fijo de las simetrías rotacionales. De manera similar, el centro de una elipse o una hipérbola es donde se cruzan los ejes.
Varios puntos especiales de un triángulo a menudo se describen como centros de triángulos :
Para un triángulo equilátero , estos son el mismo punto, que se encuentra en la intersección de los tres ejes de simetría del triángulo, a un tercio de la distancia desde su base hasta su vértice.
Una definición estricta de centro de un triángulo es un punto cuyas coordenadas trilineales son f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) donde f es una función de las longitudes de los tres lados del triángulo, a , b , c tal que:
Esta definición estricta excluye pares de puntos bicéntricos como los puntos de Brocard (que se intercambian mediante un reflejo de imagen especular). A partir de 2020, la Enciclopedia de centros triangulares enumera más de 39.000 centros triangulares diferentes. [2]
Un polígono tangencial tiene cada uno de sus lados tangentes a un círculo particular, llamado círculo inscrito o círculo inscrito. El centro de la circunferencia, llamado incentro, puede considerarse centro del polígono.
Un polígono cíclico tiene cada uno de sus vértices en un círculo particular, llamado círculo circunscrito o círculo circunscrito. El centro del círculo circunstante, llamado circuncentro, puede considerarse centro del polígono.
Si un polígono es a la vez tangencial y cíclico, se llama bicéntrico . (Todos los triángulos son bicéntricos, por ejemplo). El incentro y el circuncentro de un polígono bicéntrico no son en general el mismo punto.
El centro de un polígono general se puede definir de varias formas diferentes. El "centroide de vértice" surge de considerar el polígono como vacío pero con masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" surge de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro de área) surge de considerar que la superficie del polígono tiene densidad constante. Estos tres puntos en general no son todos el mismo punto.
En geometría proyectiva toda recta tiene un punto en el infinito o "punto figurativo" donde cruza todas las rectas que le son paralelas. La elipse, la parábola y la hipérbola de la geometría euclidiana se denominan cónicas en geometría proyectiva y pueden construirse como cónicas de Steiner a partir de una proyectividad que no es una perspectiva. Una simetría del plano proyectivo con una cónica dada relaciona cada punto o polo con una recta llamada su polar . El concepto de centro en geometría proyectiva utiliza esta relación. Las siguientes afirmaciones son de GB Halsted . [3]