Teorema del trisector de Morley

3 intersecciones de los trisectores de ángulos adyacentes de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero

Si cada ángulo de vértice del triángulo exterior se triseca, el teorema del trisector de Morley establece que el triángulo morado será equilátero.

En geometría plana , el teorema del trisector de Morley establece que en cualquier triángulo , los tres puntos de intersección de los trisectores de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero , llamado primer triángulo de Morley o simplemente triángulo de Morley . El teorema fue descubierto en 1899 por el matemático angloamericano Frank Morley . Tiene varias generalizaciones; en particular, si se cruzan todos los trisectores, se obtienen otros cuatro triángulos equiláteros.

Pruebas

Hay muchas demostraciones del teorema de Morley, algunas de las cuales son muy técnicas. ^[1] Varias de las primeras pruebas se basaron en delicados cálculos trigonométricos . Las pruebas recientes incluyen una prueba algebraica de Alain Connes  (1998, 2004) que extiende el teorema a campos generales distintos de la característica tres, y la prueba de geometría elemental de John Conway . ^{[2] [3]} Este último comienza con un triángulo equilátero y muestra que se puede construir un triángulo alrededor de él que será similar a cualquier triángulo seleccionado. El teorema de Morley no se cumple en la geometría esférica ^[4] e hiperbólica .

Fig 1. Prueba elemental del teorema del trisector de Morley

Una prueba usa la identidad trigonométrica.

que, utilizando la identidad de la suma de dos ángulos, se puede demostrar que es igual a

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

La última ecuación se puede verificar aplicando la suma de dos ángulos iguales al lado izquierdo dos veces y eliminando el coseno.

Los puntos se construyen como se muestra. Tenemos , la suma de los ángulos de cualquier triángulo, por lo tanto, los ángulos del triángulo son y ${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ).}$

De la figura

y

También de la figura

${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

y

La ley de los senos aplicada a triángulos y rendimientos. ${\displaystyle AYC}$ ${\displaystyle AZB}$

y

Expresa la altura del triángulo de dos maneras. ${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

y

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

donde se usó la ecuación (1) para reemplazar y en estas dos ecuaciones. Sustituyendo las ecuaciones (2) y (5) en la ecuación y las ecuaciones (3) y (6) en la ecuación se obtiene ${\displaystyle \sin(3\beta )}$ ${\displaystyle \sin(3\gamma )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

y

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

Como los numeradores son iguales

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

Como ángulo y ángulo son iguales y los lados que forman estos ángulos están en la misma proporción, los triángulos y son semejantes. ${\displaystyle EXF}$ ${\displaystyle ZAY}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle AZY}$

Ángulos semejantes e iguales , y ángulos semejantes e iguales. Los argumentos similares producen los ángulos base de los triángulos y ${\displaystyle AYZ}$ ${\displaystyle XFE}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$ ${\displaystyle AZY}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$ ${\displaystyle BXZ}$ ${\displaystyle CYX.}$

En particular, se encuentra que el ángulo es y en la figura vemos que ${\displaystyle BZX}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.}$

Sustituyendo rendimientos

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

donde se usó la ecuación (4) para el ángulo y por lo tanto ${\displaystyle AZB}$

${\displaystyle \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

De manera similar, se encuentra que los otros ángulos del triángulo son ${\displaystyle XYZ}$ ${\displaystyle 60^{\circ }.}$

Lado y área

El primer triángulo de Morley tiene longitudes de lados ^[5]

$${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,}$$

donde R es el circunradio del triángulo original y A, B y C son los ángulos del triángulo original. Dado que el área de un triángulo equilátero es el área del triángulo de Morley, se puede expresar como ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$

$${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.}$$

los triangulos de morley

El teorema de Morley implica 18 triángulos equiláteros. El triángulo descrito en el teorema del trisector anterior, llamado primer triángulo de Morley , tiene vértices dados en coordenadas trilineales relativas a un triángulo ABC de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}}$$

Otro de los triángulos equiláteros de Morley que también es triángulo central se llama segundo triángulo de Morley y está dado por estos vértices:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}}$$

El tercero de los 18 triángulos equiláteros de Morley que también es un triángulo central se llama tercer triángulo de Morley y está dado por estos vértices:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}}$$

El primer, segundo y tercer triángulo de Morley son homotéticos por pares . Otro triángulo homotético está formado por los tres puntos X en la circunferencia del triángulo ABC en el que la línea XX  ⁻¹ es tangente a la circunferencia, donde X  ⁻¹ denota el conjugado isogonal de X. Este triángulo equilátero, llamado triángulo circuntangencial , tiene estos vértices:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

Un quinto triángulo equilátero, también homotético a los demás, se obtiene girando el triángulo circuntangencial π /6 alrededor de su centro. Llamado triángulo circunnormal , sus vértices son los siguientes:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

Se puede utilizar una operación llamada "extraversión" para obtener uno de los 18 triángulos de Morley a partir de otro. Cada triángulo se puede extravertir de tres formas diferentes; los 18 triángulos de Morley y los 27 pares de triángulos extrovertidos forman los 18 vértices y las 27 aristas del gráfico de Pappus . ^[6]

Centros de triángulos relacionados

El centro de Morley , X (356), centroide del primer triángulo de Morley, viene dado en coordenadas trilineales por

$${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B}$$

1er centro de Morley-Taylor-Marr , X (357): El primer triángulo de Morley es perspectiva de triángulo : ^[7] cada una de las líneas que conectan un vértice del triángulo original con el vértice opuesto del triángulo de Morley concurre en el punto ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C}$$

Ver también

• Trisección de ángulos
• puntos de hofstadter
• centros de morley

Notas

1. Bogomolny, Alexander , El milagro de Morley, Cortar el nudo , consultado el 2 de enero de 2010
2. Bogomolny, Alexander , prueba de J. Conway, Cut-the-knot , consultado el 3 de diciembre de 2021
3. Conway, John (2006), "El poder de las matemáticas" (PDF) , en Blackwell, Alan; Mackay, David (eds.), Power , Cambridge University Press, págs. 36–50, ISBN 978-0-521-82377-7, consultado el 8 de octubre de 2010
4. Teorema de Morley en geometría esférica, subprograma de Java .
5. Weisstein, Eric W. "Primer triángulo de Morley". MundoMatemático . Consultado el 3 de diciembre de 2021 .
6. Chico (2007).
7. Zorro, médico; y Goggins, JR "Diagrama de Morley generalizado", Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, 453–467.

Referencias

• Connes, Alain (1998), "Una nueva prueba del teorema de Morley", Publications Mathématiques de l'IHÉS , S88 : 43–46.
• Connes, Alain (diciembre de 2004), "Simetrías" (PDF) , Boletín de la Sociedad Europea de Matemáticas , 54.
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967), Geometría revisitada , Asociación Matemática de América , LCCN  67-20607
• Francis, Richard L. (2002), "Hitos matemáticos modernos: el misterio de Morley" (PDF) , Revista de Ciencias Matemáticas de Missouri , 14 (1), doi : 10.35834/2002/1401016.
• Guy, Richard K. (2007), "El teorema del faro, Morley y Malfatti: un presupuesto de paradojas" (PDF) , American Mathematical Monthly , 114 (2): 97–141, doi :10.1080/00029890.2007.11920398, JSTOR  27642143 , MR  2290364, S2CID  46275242, archivado desde el original (PDF) el 1 de abril de 2010.
• Oakley, Colorado; Baker, JC (1978), "El teorema del trisector de Morley", American Mathematical Monthly , 85 (9): 737–745, doi :10.2307/2321680, JSTOR  2321680, S2CID  56066204.
• Taylor, F. Glanville; Marr, WL (1913–14), "Los seis trisectores de cada uno de los ángulos de un triángulo", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo , 33 : 119–131, doi : 10.1017/S0013091500035100.

enlaces externos

• Teorema de Morley en MathWorld
• Teorema de la trisección de Morley en MathPages
• Teorema de Morley de Oleksandr Pavlyk, Proyecto de demostraciones de Wolfram .