Teorema de Van Schooten

En las rectas que unen los vértices de un triángulo equilátero con un punto de su circunferencia circunscrita.

${\displaystyle |PA|=|PB|+|PC|}$

El teorema de Van Schooten , que lleva el nombre del matemático holandés Frans van Schooten , describe una propiedad de los triángulos equiláteros . Afirma:

Para un triángulo equilátero con un punto en su círculo circunstante , la longitud del más largo de los tres segmentos de línea que conectan con los vértices del triángulo es igual a la suma de las longitudes de los otros dos. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle PA,PB,PC}$ ${\displaystyle P}$

El teorema es una consecuencia del teorema de Ptolomeo para cuadriláteros concíclicos . Sea la longitud del lado del triángulo equilátero y el segmento de recta más largo. Los vértices del triángulo juntos forman un cuadrilátero concíclico y, por tanto, el teorema de Ptolomeo produce: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}}$

Al dividir la última ecuación por se obtiene el teorema de Van Schooten. ${\displaystyle a}$

Referencias

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes . MAA, 2010, ISBN  9780883853481 , págs. 102-103
• Doug French: Enseñanza y aprendizaje de la geometría . Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , págs. 62–64 
• Raymond Viglione: Prueba sin palabras: teorema de van Schooten . Revista de Matemáticas, vol. 89, núm. 2 (abril de 2016), pág. 132
• Jozsef Sandor: Sobre la geometría de los triángulos equiláteros. Forum Geométricorum, volumen 5 (2005), págs. 107-117

enlaces externos

• Teorema de Van Schooten en cut-the-knot.org