círculo circunstante

Círculo que pasa por los vértices de un triángulo.

En geometría , la circunferencia circunscrita o circunferencia circunscrita de un triángulo es una circunferencia que pasa por los tres vértices . El centro de este círculo se llama circuncentro del triángulo y su radio se llama circunradio . El circuncentro es el punto de intersección entre las tres bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo, y es un centro del triángulo .

De manera más general, un polígono de n lados con todos sus vértices en el mismo círculo, también llamado círculo circunscrito, se llama polígono cíclico , o en el caso especial n = 4 , cuadrilátero cíclico . Todos los rectángulos , trapecios isósceles , cometas rectas y polígonos regulares son cíclicos, pero no todos los polígonos lo son.

Construcción con regla y compás

Construcción de la circunferencia circunstante del triángulo △ ABC y el circuncentro Q

El circuncentro de un triángulo se puede construir dibujando dos cualesquiera de las tres bisectrices perpendiculares . Para tres puntos no colineales, estas dos rectas no pueden ser paralelas y el circuncentro es el punto donde se cruzan. Cualquier punto de la bisectriz es equidistante de los dos puntos que bisectriz, de lo que se deduce que este punto, en ambas bisectrices, es equidistante de los tres vértices del triángulo. El circunradio es la distancia desde éste a cualquiera de los tres vértices.

Construcción alternativa

Construcción alternativa del circuncentro (intersección de líneas discontinuas)

Un método alternativo para determinar el circuncentro es dibujar dos líneas cualesquiera que partan de uno de los vértices formando un ángulo con el lado común, siendo el ángulo de salida común de 90° menos el ángulo del vértice opuesto. (En el caso de que el ángulo opuesto sea obtuso, trazar una línea en un ángulo negativo significa salir del triángulo).

En la navegación costera , el círculo circunstante de un triángulo se utiliza a veces como una forma de obtener una línea de posición utilizando un sextante cuando no se dispone de una brújula . El ángulo horizontal entre dos puntos de referencia define el círculo circunstante sobre el que se encuentra el observador.

Ecuaciones circulares

Coordenadas cartesianas

En el plano euclidiano , es posible dar explícitamente una ecuación de la circunferencia circunscrita en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo inscrito. Suponer que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

son las coordenadas de los puntos A, B, C. La circunferencia circunscrita es entonces el lugar geométrico de los puntos en el plano cartesiano que satisfacen las ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

garantizando que los puntos A , B , C , v están todos a la misma distancia r del centro común del círculo. Usando la identidad de polarización , estas ecuaciones se reducen a la condición de que la matriz ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

tiene un núcleo distinto de cero . Por tanto, la circunferencia circunscrita también puede describirse como el lugar geométrico de los ceros del determinante de esta matriz:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

Usando la expansión de cofactores , dejemos

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

entonces tenemos donde y – suponiendo que los tres puntos no estuvieran en una línea (de lo contrario, la circuncisión es esa línea que también puede verse como una circunferencia generalizada con S en el infinito) – dando el circuncentro y el circunradio . Un enfoque similar permite deducir la ecuación de la circunsfera de un tetraedro . ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Ecuación paramétrica

Un vector unitario perpendicular al plano que contiene el círculo está dado por

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

Por lo tanto, dado el radio, r , centro, P _c , un punto en el círculo, P ₀ y una unidad normal del plano que contiene el círculo, una ecuación paramétrica del círculo que comienza desde el punto P ₀ y continúa en una dirección positivamente orientada. (es decir, diestro ) el sentido es el siguiente: ${\displaystyle {\widehat {n}},}$ ${\displaystyle {\widehat {n}}}$

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

Coordenadas trilineales y baricéntricas.

Una ecuación para el círculo circunstante en coordenadas trilineales x  : y  : z es ^[1] Una ecuación para el círculo circunstante en coordenadas baricéntricas x  : y  : z es ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

El conjugado isogonal de la circunferencia circunstante es la recta en el infinito, dada en coordenadas trilineales por y en coordenadas baricéntricas por ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ ${\displaystyle x+y+z=0.}$

Dimensiones superiores

Además, la circunferencia circunscrita de un triángulo incrustado en d dimensiones se puede encontrar utilizando un método generalizado. Sean A , B , C puntos d -dimensionales, que forman los vértices de un triángulo. Empezamos transponiendo el sistema para colocar C en el origen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

El circunradio r es entonces

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

donde θ es el ángulo interior entre a y b . El circuncentro, p ₀ , está dado por

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

Esta fórmula solo funciona en tres dimensiones ya que el producto cruzado no está definido en otras dimensiones, pero se puede generalizar a las otras dimensiones reemplazando los productos cruzados con las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} &=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} ,\\\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

Coordenadas circuncentro

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del circuncentro son ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Sin pérdida de generalidad, esto se puede expresar de forma simplificada después de la traducción del vértice A al origen de los sistemas de coordenadas cartesianas, es decir, cuando En este caso, las coordenadas de los vértices y representan los vectores desde el vértice A' a estos vértices . Observe que esta traslación trivial es posible para todos los triángulos y el circuncentro del triángulo △ A'B'C' sigue como ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$ ${\displaystyle B'=B-A}$ ${\displaystyle C'=C-A}$ ${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

Debido a la traslación del vértice A al origen, el circunradio r se puede calcular como

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

y el circuncentro real de △ ABC sigue como

${\displaystyle U=U'+A}$

Coordenadas trilineales

El circuncentro tiene coordenadas trilineales ^[2]

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

donde α, β, γ son los ángulos del triángulo.

En términos de las longitudes de los lados a, b, c , los trilineales son ^[3]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

Coordenadas baricéntricas

El circuncentro tiene coordenadas baricéntricas ^[4]

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

donde a, b, c son longitudes de aristas BC , CA , AB respectivamente) del triángulo.

En términos de los ángulos del triángulo α, β, γ , las coordenadas baricéntricas del circuncentro son ^[3]

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

Vector circuncentro

Dado que las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las de los vértices, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto normalizadas para sumar la unidad, el vector circuncentro se puede escribir como

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

Aquí U es el vector del circuncentro y A, B, C son los vectores de vértice. El divisor aquí es igual a 16 S ² donde S es el área del triángulo. Como se dijo anteriormente

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Coordenadas cartesianas de productos cruzados y escalares.

En el espacio euclidiano , hay un círculo único que pasa por tres puntos no colineales dados P ₁ , P ₂ , P ₃ . Usando coordenadas cartesianas para representar estos puntos como vectores espaciales , es posible usar el producto escalar y el producto cruz para calcular el radio y el centro del círculo. Dejar

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

Entonces el radio del círculo está dado por

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

El centro del círculo está dado por la combinación lineal.

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

Ubicación relativa al triángulo.

La posición del circuncentro depende del tipo de triángulo:

• En un triángulo agudo (todos los ángulos menores que un ángulo recto), el circuncentro siempre está dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro siempre se encuentra en el punto medio de la hipotenusa . Ésta es una forma del teorema de Tales .
• Para un triángulo obtuso (un triángulo con un ángulo mayor que un ángulo recto), el circuncentro siempre está fuera del triángulo.

Estas características de ubicación se pueden ver considerando las coordenadas trilineales o baricéntricas dadas anteriormente para el circuncentro: las tres coordenadas son positivas para cualquier punto interior, al menos una coordenada es negativa para cualquier punto exterior, una coordenada es cero y dos son positivas para un punto que no es un vértice en un lado del triángulo.

Anglos

Los ángulos que forma el círculo circunscrito con los lados del triángulo coinciden con los ángulos en los que se encuentran los lados. El lado opuesto al ángulo α se encuentra con el círculo dos veces: una vez en cada extremo; en cada caso en el ángulo α (lo mismo para los otros dos ángulos). Esto se debe al teorema del segmento alterno , que establece que el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo en el segmento alterno.

Centros del triángulo en la circunferencia circunstante

En esta sección, los ángulos de los vértices están etiquetados como A, B, C y todas las coordenadas son coordenadas trilineales :

• Punto de Steiner : el punto de intersección sin vértice del círculo circunstante con la elipse de Steiner.

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

(La elipse de Steiner , con centro = centroide ( ABC ), es la elipse de menor área que pasa por A, B, C. Una ecuación para esta elipse es .) ${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• Punto Tarry : antípoda del punto Steiner

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• Foco de la parábola de Kiepert :

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

Otras propiedades

El diámetro del circuncírculo, llamado circundiámetro e igual al doble del circunradio , se puede calcular como la longitud de cualquier lado del triángulo dividida por el seno del ángulo opuesto :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Como consecuencia de la ley de los senos , no importa qué lado y ángulo opuesto se tomen: el resultado será el mismo.

El diámetro del círculo circunstante también se puede expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y es el semiperímetro. La expresión anterior es el área del triángulo, según la fórmula de Heron . ^[5] Las expresiones trigonométricas para el diámetro del círculo circunstante incluyen ^[6] ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

El círculo de nueve puntos del triángulo tiene la mitad del diámetro del círculo circunstante.

En cualquier triángulo dado, el circuncentro siempre es colineal con el centroide y el ortocentro . La línea que pasa por todos ellos se conoce como línea de Euler .

El conjugado isogonal del circuncentro es el ortocentro .

El círculo delimitador mínimo útil de tres puntos está definido por el círculo circunstante (donde hay tres puntos en el círculo delimitador mínimo) o por los dos puntos del lado más largo del triángulo (donde los dos puntos definen un diámetro del círculo). Es común confundir el círculo delimitador mínimo con el círculo circunstante.

La circunferencia circunstante de tres puntos colineales es la línea en la que se encuentran los tres puntos, a menudo denominada círculo de radio infinito . Los puntos casi colineales a menudo conducen a inestabilidad numérica en el cálculo del círculo circunstante.

Los circuncírculos de triángulos tienen una íntima relación con la triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos.

Según el teorema de Euler en geometría , la distancia entre el circuncentro O y el incentro I es

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

donde r es el radio del círculo y R es el radio del círculo; por lo tanto, el circunradio es al menos el doble del inradio ( desigualdad del triángulo de Euler ), siendo igual solo en el caso equilátero . ^{[7] [8]}

La distancia entre O y el ortocentro H es ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Para el centroide G y el centro de nueve puntos N tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

El producto del radio de la circunferencia y el radio de la circunferencia de un triángulo de lados a, b, c es ^[11]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

Con circunradio R , lados a, b, c y medianas m _a , m _b , m _c , tenemos ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

Si la mediana m , la altitud h y la bisectriz interna t emanan del mismo vértice de un triángulo con circunradio R , entonces ^[13]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro hasta los tres lados es igual a la suma del circunradio y el inradio . ^[14] Aquí la longitud de un segmento se considera negativa si y sólo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo.

Si un triángulo tiene dos círculos particulares como círculo circunstante y círculo circunstante , existe un número infinito de otros triángulos con el mismo círculo circunstante y círculo circunstante, con cualquier punto del círculo circunstante como vértice. (Este es el caso n = 3 del porismo de Poncelet ). Una condición necesaria y suficiente para que existan tales triángulos es la igualdad anterior ^[15] ${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

polígonos cíclicos

Cuadriláteros cíclicos

Un conjunto de puntos que se encuentran en un mismo círculo se llama concíclico , y un polígono cuyos vértices son concíclicos se llama polígono cíclico . Todo triángulo es concíclico, pero los polígonos de más de tres lados no lo son en general.

Los polígonos cíclicos, especialmente los cuadriláteros cíclicos de cuatro lados , tienen varias propiedades especiales. En particular, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son ángulos suplementarios (que suman 180° o π radianes).

Ver también

• Circuncentro de masa
• Circungón
• Esfera circunscrita
• Triángulo circunceviano
• círculo inscrito
• Teorema de Kosnita
• teorema de lester
• Centro del triángulo

Referencias

1. Whitworth, William Allen (1866). Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones. Deighton, Bell y compañía pág. 199.
2. Whitworth (1866), pág. 19.
3. Kimberling, Clark. "Parte I: Introducción y Centros X(1) - X(1000)". Enciclopedia de centros triangulares .El circuncentro figura en X(3).
4. Weisstein, Eric W. "Coordenadas baricéntricas". MundoMatemático .
5. Coxeter, HSM (1969). "Capítulo 1". Introducción a la geometría . Wiley. págs. 12-13. ISBN 0-471-50458-0.
6. Dörrie, Heinrich (1965). 100 grandes problemas de matemáticas elementales . Dover. pag. 379.
7. Nelson, Roger, "La desigualdad del triángulo de Euler mediante prueba sin palabras", Mathematics Magazine 81(1), febrero de 2008, 58-61.
8. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades triangulares clásicas". Foro Geométricorum . 12 : 197–209.Véase en particular la pág. 198.
9. Gras, Marie-Nicole (2014). "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos". Foro Geométricorum . 14 : 51–61.
10. Smith, GC; Leversha, Gerry (noviembre de 2007). "Euler y la geometría del triángulo". La Gaceta Matemática . 91 (522): 436–452. doi :10.1017/S0025557200182087. JSTOR  40378417. S2CID  125341434.Véase en particular la pág. 449.
11. Johnson, Roger A. (1929). Geometría moderna: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Houghton Mifflin Co. pág. 189, #298(d). hdl :2027/wu.89043163211.Republicado por Dover Publications como Geometría euclidiana avanzada , 1960 y 2007.
12. Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). Los secretos de los triángulos . Libros de Prometeo. págs. 289–290.
13. Corte Altshiller, Nathan (1952). Geometría universitaria: introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.). Barnes & Noble. pag. 122, #96.Reimpreso por Dover Publications, 2007.
14. Corte Altshiller (1952), pág. 83.
15. Johnson (1929), pág. 188.

enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el radio del círculo circunstante de un triángulo en Mathalino.com
• Ángulos y góndos laterales semirregulares: generalizaciones respectivas de rectángulos y rombos en Bocetos de geometría dinámica, boceto interactivo de geometría dinámica.

MundoMatemático

• Weisstein, Eric W. "Círculo circular". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Polígono cíclico". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Cirmellipse de Steiner". MundoMatemático .

Interactivo

• Triángulo circuncírculo y circuncentro Con animación interactiva.
• Un subprograma de Java interactivo para el circuncentro