Coordenadas trilineales

En geometría , las coordenadas trilineales $x : y : z$ de un punto relativo a un triángulo dado describen las distancias relativas dirigidas desde las tres líneas laterales del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas . La relación $x : y$ es la relación de las distancias perpendiculares desde el punto a los lados (extendidos si es necesario) opuestos a los vértices $A$ y $B$ respectivamente; la relación $y : z$ es la relación de las distancias perpendiculares desde el punto a las líneas laterales opuestas a los vértices $B$ y $C$ respectivamente; y lo mismo para $z : x$ y los vértices $C$ y $A$ .

En el diagrama de la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( $a'$ , $b'$ , $c'$ ), o equivalentemente en forma de relación, $ka' : kb' : kc'$ para cualquier constante positiva $k$ . Si un punto está en una línea lateral del triángulo de referencia, su coordenada trilineal correspondiente es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral desde el interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con esa línea lateral es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales no sean positivas.

Notación

La notación de razón para coordenadas trilineales se usa a menudo con preferencia a la notación triple ordenada ; esta última se reserva para ternas de distancias dirigidas con respecto a un triángulo específico. Las coordenadas trilineales se pueden cambiar de escala mediante cualquier valor arbitrario sin afectar su relación. La notación triple entre corchetes y separada por comas puede causar confusión porque convencionalmente representa una tripleta diferente a, por ejemplo, pero estas proporciones equivalentes representan el mismo punto. $x:y:z$ $(x,y,z),$ $(a',b',c')$ $x:y:z,$ $(x,y,z)$ $(2x,2y,2z),$ $x:y:z={}\!$ $2x:2y:2z$

Ejemplos

Las coordenadas trilineales del incentro de un triángulo $△ ABC$ son $1 : 1 : 1$ ; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentro a las líneas laterales $BC, CA, AB$ son proporcionales a las distancias reales indicadas por $(r, r, r)$ , donde $r$ es el inradio de $△ ABC$ . Dadas las longitudes de los lados $a, b, c$ tenemos:

Tenga en cuenta que, en general, el incentro no es lo mismo que el centroide ; el centroide tiene coordenadas baricéntricas $1: 1: 1$ (siendo proporcionales a las áreas reales con signo de los triángulos $△ BGC, △ CGA, △ AGB$ , donde $G$ = centroide).

El punto medio de, por ejemplo, el lado $BC$ tiene coordenadas trilineales en distancias laterales reales para el área del triángulo $Δ$ , que en distancias relativas especificadas arbitrariamente se simplifica a $0:$ $ca$ $:$ $ab$ . Las coordenadas en distancias laterales reales del pie de la altitud de $A$ a $BC$ son las que en distancias puramente relativas se simplifican a $0: cos$ $C$ $:$ cos $B.$ ^[1]^{: pág.}⁹⁶ $(0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})$ $(0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),$

Fórmulas

Colinealidades y concurrencias

Las coordenadas trilineales permiten muchos métodos algebraicos en geometría de triángulos. Por ejemplo, tres puntos

{\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}

son colineales si y sólo si el determinante

D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}

es igual a cero. Así, si $x : y : z$ es un punto variable, la ecuación de una recta que pasa por los puntos $P$ y $U$ es $D = 0$ . ^[1]^{: pág. 23} De esto, toda recta tiene una ecuación lineal homogénea en $x, y, z$ . Toda ecuación de la forma en coeficientes reales es una línea recta real de puntos finitos a menos que $l$ $:$ $m$ $:$ $n$ sea proporcional a $a$ $:$ $b$ $:$ $c$ , las longitudes de los lados, en cuyo caso tenemos el lugar geométrico de los puntos en el infinito. ^[1]^{: pág.}⁴⁰ $lx+mi+nz=0$

El dual de esta proposición es que las líneas

{\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}

concurren en un punto $(α, β, γ)$ si y sólo si $D = 0$ . ^[1]^{: pág. 28}

Además, si se utilizan las distancias dirigidas reales al evaluar el determinante de $D$ , entonces el área del triángulo $△ PUX$ es $KD$ , donde (y donde $Δ$ es el área del triángulo $△$ $ABC$ , como arriba) si el triángulo $△$ $PUX$ tiene la misma orientación (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj) como $△$ $ABC$ y de otro modo. $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$

Lineas paralelas

Dos rectas con ecuaciones trilineales y son paralelas si y sólo si ^[1]^{: p.}^{98, #xi} $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

{\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,

donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados.

Ángulo entre dos líneas

Las tangentes de los ángulos entre dos rectas con ecuaciones trilineales y están dadas por ^[1]^{: p.50} $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

\pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.

Lineas perpendiculares

Por tanto, dos rectas con ecuaciones trilineales y son perpendiculares si y sólo si $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.

Altitud

La ecuación de la altitud desde el vértice $A$ al lado $BC$ es ^[1]^{: p.98, #x}

y\cos B-z\cos C=0.

Línea en términos de distancias desde los vértices.

La ecuación de una recta con distancias variables $p, q, r$ desde los vértices $A, B, C$ cuyos lados opuestos son $a, b, c$ es ^[1]^{: p. 97, #viii}

apx+bqy+crz=0.

Coordenadas trilineales de distancia real

Los trilineales con los valores de coordenadas $a', b', c'$ son las distancias perpendiculares reales a los lados satisfacen ^[1]^{: p. 11}

aa'+bb'+cc'=2\Delta

para los lados del triángulo $a, b, c$ y el área $Δ$ . Esto se puede ver en la figura en la parte superior de este artículo, con el punto interior $P$ dividiendo el triángulo $△ ABC$ en tres triángulos $△ PBC, △ PCA, △ PAB$ con sus respectivas áreas. ${\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.$

Distancia entre dos puntos

La distancia $d$ entre dos puntos con trilineales de distancia real $a i : b i : c i$ está dada por ^[1]^{: p. 46}

d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C

o de forma más simétrica

d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).

Distancia de un punto a una recta

La distancia $d$ desde un punto $a' : b' : c'$ , en coordenadas trilineales de distancias reales, hasta una línea recta es ^[1]^{: p.}⁴⁸ $lx+my+nz=0$

d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.

Curvas cuadráticas

La ecuación de una sección cónica en el punto trilineal variable $x : y : z$ es ^[1]^{: p.118}

rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.

No tiene términos lineales ni término constante.

La ecuación de un círculo de radio $r$ con centro en las coordenadas de la distancia real $(a', b', c')$ es ^[1]^{: p.287}

(x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.

circuncónicos

La ecuación en coordenadas trilineales $x, y, z$ de cualquier circucónico de un triángulo es ^[1]^{: p. 192}

lyz+mzx+nxy=0.

Si los parámetros $l, m, n$ respectivamente son iguales a las longitudes de los lados $a, b, c$ (o los senos de los ángulos opuestos a ellos), entonces la ecuación da la circunferencia circunstante . ^[1]^{: pág. 199}

Cada circucónico distinto tiene un centro único para sí mismo. La ecuación en coordenadas trilineales del circucónico con centro $x' : y' : z'$ es ^[1]^{: pág. 203}

yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.

Incónicos

Toda sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales: ^[1]^{: p. 208}

l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,

siendo exactamente uno o tres de los signos no especificados negativos.

La ecuación del círculo se puede simplificar a ^[1]^{: p. 210, pág.214}

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,

mientras que la ecuación para, por ejemplo, la circunferencia exterior adyacente al segmento lateral opuesto al vértice $A$ se puede escribir como ^[1]^{: p. 215}

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.

Curvas cúbicas

Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente mediante coordenadas trilineales. Por ejemplo, el pivote cúbico autoisoconjugado $Z (U, P)$ , como lugar geométrico de un punto $X$ tal que el $P$ -isoconjugado de $X$ está en la recta $UX$ , viene dado por la ecuación determinante

{\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.

Entre las cúbicas nombradas $Z (U, P)$ se encuentran las siguientes:

Thomson cúbico : Z(X(2),X(1)) , donde X(2) = centroide , X(1) = incentro

Cúbica de Feuerbach : Z(X(5),X(1)) , donde X(5) = punto de Feuerbach

Cúbico de Darboux : Z(X(20),X(1)) , donde X(20) = punto de De Longchamps

Cúbica de Neuberg : Z(X(30),X(1)) , donde X(30) = punto infinito de Euler.

Conversiones

Entre coordenadas trilineales y distancias desde líneas laterales.

Para cualquier elección de coordenadas trilineales $x : y : z$ para localizar un punto, las distancias reales del punto desde las líneas laterales están dadas por $a' = kx, b' = ky, c' = kz$ donde $k$ puede determinarse mediante la fórmula en donde $a, b, c$ son las respectivas longitudes laterales $BC, CA, AB$ y $∆$ es el área de $△$ $ABC$ . $k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}$

Entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto con coordenadas trilineales $x : y : z$ tiene coordenadas baricéntricas $ax : by : cz$ donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con baricéntricos $α : β : γ$ tiene coordenadas trilineales ${\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.$

Entre coordenadas cartesianas y trilineales

Dado un triángulo de referencia $△ ABC$ , expresa la posición del vértice $B$ en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas y representa esto algebraicamente como un vector usando el vértice $C$ como origen. De manera similar, defina el vector de posición del vértice $A$ como Entonces cualquier punto $P$ asociado con el triángulo de referencia $△$ $ABC$ se puede definir en un sistema cartesiano como un vector. Si este punto $P$ tiene coordenadas trilineales $x$ $:$ $y$ $:$ $z$ entonces la fórmula de conversión a partir de los coeficientes $k$ $1$ y $k$ $2$ en la representación cartesiana en coordenadas trilineales es, para longitudes de lado $a, b, c$ frente a los vértices $A, B, C$ , ${\vec {B}},$ ${\vec {A}}.$ ${\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.$

x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},

y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales a los coeficientes en la representación cartesiana es

k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.

De manera más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores y si el punto $P$ tiene coordenadas trilineales $x$ $:$ $y$ $:$ $z$ , entonces las coordenadas cartesianas de son el promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de estos vértices utilizando las coordenadas baricéntricas $ax, by, cz$ como pesos. Por tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales $x, y, z$ al vector de coordenadas cartesianas del punto viene dada por ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ ${\vec {P}}$ ${\vec {P}}$

{\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},

donde las longitudes de los lados son

{\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}

Ver también

Teorema del trisector de Morley # Triángulos de Morley , que dan ejemplos de numerosos puntos expresados en coordenadas trilineales
trama ternaria
teorema de viviani

Referencias

^ abcdefghijklmnopqrs William Allen Whitworth (1866) Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica de dos dimensiones: un tratado elemental, enlace de Monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell .

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Coordenadas trilineales". MundoMatemático .
Enciclopedia de centros triangulares - ETC de Clark Kimberling; tiene coordenadas trilineales (y baricéntricas) para más de 7000 centros de triángulos