En geometría euclidiana , la cúbica de Neuberg es una curva plana cúbica especial asociada a un triángulo de referencia con varias propiedades notables. Recibe su nombre en honor a Joseph Jean Baptiste Neuberg (30 de octubre de 1840 - 22 de marzo de 1926), un matemático luxemburgués que introdujo la curva por primera vez en un artículo publicado en 1884. [1] [2] La curva aparece como el primer elemento, con el número de identificación K001, [1] en el Catálogo de cúbicas triangulares de Bernard Gilbert , que es una recopilación de información extensa sobre más de 1200 cúbicas triangulares.
La cúbica de Neuberg puede definirse como un lugar geométrico de muchas maneras diferentes. [1] Una forma es definirla como un lugar geométrico de un punto P en el plano del triángulo de referencia △ ABC tal que, si las reflexiones de P en las líneas laterales del triángulo △ ABC son P a , P b , P c , entonces las líneas AP a , BP b , CP c son concurrentes. Sin embargo, es necesario demostrar que el lugar geométrico así definido es de hecho una curva cúbica. Una segunda forma es definirla como el lugar geométrico del punto P tal que si O a , O b , O c son los circuncentros de los triángulos △ BPC , △ CPA , △ APB , entonces las líneas AO a , BO b , O c son concurrentes. Otra forma más es definirla como el lugar geométrico de P que satisface la siguiente propiedad conocida como los cuadrángulos involutivos [1] (esta fue la forma en que Neuberg introdujo la curva):
Sean a, b, c las longitudes de los lados del triángulo de referencia △ ABC . Entonces la ecuación de la cúbica de Neuberg de △ ABC en coordenadas baricéntricas x : y : z es
En la literatura más antigua, la curva de Neuberg se denomina comúnmente curva de 21 puntos. La terminología se refiere a la propiedad de la curva descubierta por el propio Neuberg de que pasa por ciertos 21 puntos especiales asociados con el triángulo de referencia. Suponiendo que el triángulo de referencia es △ ABC , los 21 puntos son los que se enumeran a continuación. [3]
La figura adjunta muestra la cúbica de Neuberg del triángulo △ ABC con todos los 21 puntos especiales mencionados anteriormente.
En un artículo publicado en 1925, BH Brown informó sobre su descubrimiento de 16 puntos especiales adicionales en la cúbica de Neuberg, lo que eleva el número total de puntos especiales conocidos en ese momento a 37. [3] Debido a esto, a la cúbica de Neuberg también se la conoce a veces como la cúbica de 37 puntos. Actualmente, se sabe que una gran cantidad de puntos especiales se encuentran en la cúbica de Neuberg. El Catálogo de Gilbert tiene una página especial dedicada a una lista de dichos puntos especiales que también son centros de triángulos. [4]
La ecuación en coordenadas trilineales de la recta en el infinito en el plano del triángulo de referencia es
Hay dos puntos especiales en esta línea llamados puntos circulares en el infinito . Todo círculo en el plano del triángulo pasa por estos dos puntos y toda cónica que pasa por estos puntos es un círculo. Las coordenadas trilineales de estos puntos son
donde . [5] Cualquier curva cúbica que pase por los dos puntos circulares en el infinito se llama cúbica circular. La cúbica de Neuberg es una cúbica circular. [1]
La conjugada isogonal de un punto P con respecto a un triángulo △ ABC es el punto de concurrencia de las reflexiones de las líneas PA, PB, PC sobre las bisectrices de los ángulos A, B, C respectivamente. La conjugada isogonal de P a veces se denota por P* . La conjugada isogonal de P* es P. Una cúbica autoisogonal es una cúbica triangular que es invariante bajo conjugación isogonal. Una cúbica isogonal pivotante es una cúbica en la que los puntos P que se encuentran en la cúbica y sus conjugados isogonales son colineales con un punto fijo Q conocido como el punto pivote de la cúbica. La cúbica de Neuberg es una cúbica isogonal pivotante que tiene su pivote en la intersección de la línea de Euler con la línea en el infinito . En la Enciclopedia de centros de triángulos de Kimberling, este punto se denota por X(30).
Sea P un punto en el plano del triángulo △ ABC . Las rectas perpendiculares en P a AP, BP, CP intersecan a BC, CA, AB respectivamente en P a , P b , P c y estos puntos se encuentran en una recta L P . Sea P ⊥ el polo trilineal de L P . Una cúbica isopivota es una cúbica triangular que tiene la propiedad de que hay un punto fijo P tal que, para cualquier punto M en la cúbica, los puntos P, M, M ⊥ son colineales. El punto fijo P se llama ortopivota de la cúbica. [6] La cúbica de Neuberg es una cúbica ortopivota con ortopivota en el circuncentro del triángulo. [1]
![{\displaystyle \sum _{\text{cíclico}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f12187738c164d27388294ea2223e2d4d374d5d)
