Puntos circulares en el infinito

En geometría proyectiva , los puntos circulares en el infinito (también llamados puntos cíclicos o puntos isótropos ) son dos puntos especiales en el infinito en el plano proyectivo complejo que están contenidos en la complejización de cada círculo real .

Coordenadas

Un punto del plano proyectivo complejo puede describirse en términos de coordenadas homogéneas , siendo un triple de números complejos ( x  : y  : z ) , donde dos triples describen el mismo punto del plano cuando las coordenadas de un triple son las mismas que las del otro además de estar multiplicadas por el mismo factor distinto de cero. En este sistema, los puntos en el infinito pueden elegirse como aquellos cuya coordenada z es cero. Los dos puntos circulares en el infinito son dos de estos, generalmente tomados como aquellos con coordenadas homogéneas.

(1 : i : 0) y (1 : −i : 0) .

Coordenadas trilineales

Sean A . B . C las medidas de los ángulos de los vértices del triángulo de referencia ABC. Entonces, las coordenadas trilineales de los puntos circulares en el infinito en el plano del triángulo de referencia son las siguientes:

${\displaystyle -1:\cos C-i\sin C:\cos B+i\sin B,\qquad -1:\cos C+i\sin C:\cos B-i\sin B}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \cos C+i\sin C:-1:\cos A-i\sin A,\qquad \cos C-i\sin C:-1:\cos A+i\sin A}$

o, de nuevo equivalentemente,

${\displaystyle \cos B+i\sin B:\cos A-i\sin A:-1,\qquad \cos B-i\sin B:\cos A+i\sin A:-1,}$

donde . ^[1] ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Círculos complejizados

Un círculo real, definido por su punto central ( x ₀ , y ₀ ) y radio r (los tres son números reales ) puede describirse como el conjunto de soluciones reales de la ecuación

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

Al convertir esto en una ecuación homogénea y tomar el conjunto de todas las soluciones de números complejos, se obtiene la complejización del círculo. Los dos puntos circulares reciben su nombre porque se encuentran en la complejización de cada círculo real. De manera más general, ambos puntos satisfacen las ecuaciones homogéneas del tipo

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.}$

El caso en que los coeficientes son todos reales da la ecuación de una circunferencia general (del plano proyectivo real ). En general, una curva algebraica que pasa por estos dos puntos se llama circular .

Propiedades adicionales

Los puntos circulares en el infinito son los puntos en el infinito de las líneas isótropas . ^[2] Son invariantes bajo traslaciones y rotaciones del plano.

El concepto de ángulo se puede definir utilizando los puntos circulares, el logaritmo natural y la razón cruzada : ^[3]

El ángulo entre dos líneas es un cierto múltiplo del logaritmo de la razón cruzada del lápiz formado por las dos líneas y las líneas que unen su intersección con los puntos circulares.

Sommerville configura dos líneas en el origen como Denotando los puntos circulares como ω y ω′, obtiene la relación cruzada ${\displaystyle u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.}$

${\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},}$de modo que

${\displaystyle \phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').}$

Transformación imaginaria

La transformación se denomina transformación imaginaria según Felix Klein . Señala que la ecuación se convierte en la transformación, que ${\displaystyle x'=x,\quad y'=iy,\quad z'=z}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$ ${\displaystyle x'^{2}-y'^{2}=0}$

transforma los puntos circulares imaginarios x  : y = ± i, z = 0, en los puntos reales infinitamente distantes x ' : y ' = ± 1, z = 0, que son los puntos en el infinito en las dos direcciones que forman un ángulo de 45° con los ejes. De este modo, todos los círculos se transforman en cónicas que pasan por estos dos puntos reales infinitamente distantes, es decir, en hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas forman un ángulo de 45° con los ejes. ^[4]

Referencias

1. Whitworth William Allen (1866). Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones. Deighton Bell And Company. pág. 127. Consultado el 8 de diciembre de 2021 .
2. CE Springer (1964) Geometría y análisis de espacios proyectivos , página 141, WH Freeman and Company
3. Duncan Sommerville (1914) Elementos de geometría no euclidiana, página 157, enlace de la Colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan
4. Felix Klein , traductores ER Hendrick y CA Noble (1939) [1908] Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , tercera edición, páginas 119, 120

• Pierre Samuel (1988) Geometría proyectiva , Springer, sección 1.6;
• Semple y Kneebone (1952) Geometría proyectiva algebraica , Oxford, sección II-8.