Funciones trigonométricas

Funciones de un ángulo

Base de la trigonometría: si dos triángulos rectángulos tienen ángulos agudos iguales , son semejantes , por lo que las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales .

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares , funciones angulares o funciones goniométricas ) ^[1] son ​​funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con razones de las longitudes de dos lados. Se utilizan ampliamente en todas las ciencias relacionadas con la geometría , como la navegación , la mecánica de sólidos , la mecánica celeste , la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más simples y, como tales, también se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos periódicos a través del análisis de Fourier .

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son las funciones seno , coseno y tangente . Sus recíprocas son respectivamente las funciones cosecante , secante y cotangente , que son menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente y una análoga entre las funciones hiperbólicas .

Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen solo para ángulos agudos . Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es toda la línea real , a menudo se utilizan definiciones geométricas que utilizan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio 1 unidad); entonces, el dominio de las otras funciones es la línea real con algunos puntos aislados eliminados. Las definiciones modernas expresan las funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo , y el dominio de las otras funciones trigonométricas al plano complejo con algunos puntos aislados eliminados.

Notación

Convencionalmente, se utiliza una abreviatura del nombre de cada función trigonométrica como su símbolo en las fórmulas. Hoy en día, las versiones más comunes de estas abreviaturas son "sin" para seno, "cos" para coseno, "tan" o "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" o "cosec" para cosecante y "cot" o "ctg" para cotangente. Históricamente, estas abreviaturas se utilizaron primero en oraciones en prosa para indicar segmentos de línea particulares o sus longitudes relacionadas con un arco de un círculo arbitrario, y más tarde para indicar razones de longitudes, pero a medida que el concepto de función se desarrolló en el siglo XVII y XVIII, comenzaron a considerarse como funciones de medidas de ángulos con valores de números reales y se escribieron con notación funcional , por ejemplo, sin( x ) . Los paréntesis todavía se omiten a menudo para reducir el desorden, pero a veces son necesarios; por ejemplo, la expresión normalmente se interpretaría como que significa que se requieren paréntesis para expresar ${\displaystyle \sin x+y}$ ${\displaystyle \sin(x)+y,}$ ${\displaystyle \sin(x+y).}$

Un número entero positivo que aparece como superíndice después del símbolo de la función denota exponenciación , no composición de funciones . Por ejemplo , y denota no Esto difiere de la notación funcional general (históricamente posterior) en la que ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$ ${\displaystyle \sin(\sin x).}$ ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Sin embargo, el exponente se usa comúnmente para denotar la función inversa , no la recíproca . Por ejemplo y denotan la función trigonométrica inversa escrita alternativamente La ecuación implica no En este caso, el superíndice podría considerarse como denotando una función compuesta o iterada , pero los superíndices negativos distintos de no son de uso común. ${\displaystyle {-1}}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \arcsin x\colon }$ ${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin \theta =x,}$ ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$ ${\displaystyle {-1}}$

Definiciones de triángulos rectángulos

En este triángulo rectángulo, denotando la medida del ángulo BAC como A: sen A = ⁠a/do⁠ ; cos A = ⁠b/do⁠ ; tan A = ⁠a/b⁠ .

Gráfico de las seis funciones trigonométricas, el círculo unitario y una línea para el ángulo θ = 0,7 radianes . Los puntos etiquetados 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ) representan la longitud del segmento de línea desde el origen hasta ese punto. Sin( θ ) , Tan( θ ) y 1 son las alturas de la línea que comienza en el eje x , mientras que Cos( θ ) , 1 y Cot( θ ) son longitudes a lo largo del eje x que comienzan desde el origen.

Si se da el ángulo agudo θ , entonces todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo θ son semejantes entre sí. Esto significa que la razón de las longitudes de dos lados cualesquiera depende únicamente de θ . Por lo tanto, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, la hipotenusa es la longitud del lado opuesto al ángulo recto, opuesto representa el lado opuesto al ángulo dado θ y adyacente representa el lado entre el ángulo θ y el ángulo recto. ^{[2] [3]}

Se pueden utilizar varios mnemotécnicos para recordar estas definiciones.

En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, 90° o ⁠π/2⁠ radianes . Por lo tanto, yrepresentan la misma razón y, por lo tanto, son iguales. Esta identidad y las relaciones análogas entre las demás funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

Arriba: Función trigonométrica seno θ para los ángulos seleccionados θ , π − θ , π + θ y 2 π − θ en los cuatro cuadrantes.
Abajo: Gráfica del seno en función del ángulo. Se identifican los ángulos del panel superior.

Radianes versus grados

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica es generalmente la medida de un ángulo . Para este propósito, cualquier unidad angular es conveniente. Una unidad común son los grados , en los que un ángulo recto es 90° y un giro completo es 360° (particularmente en matemáticas elementales ).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones seno y coseno se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial , a través de series de potencias, ^[5] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares ^[6] ( ver más abajo ), sin referencia a ninguna noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas ( tan , cot , sec , csc ) se pueden definir como cocientes y recíprocos de seno y coseno , excepto cuando cero aparece en el denominador. Se puede demostrar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera como un ángulo en radianes. ^[5] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. ^[7] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir medidas de ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3°), y una vuelta completa (360°) es un ángulo de 2 π (≈ 6,28) rad. Para el número real x , la notación sen x , cos x , etc. se refiere al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de x rad. Si se pretenden unidades de grados, el signo de grado debe mostrarse explícitamente ( sen x° , cos x° , etc.). Usando esta notación estándar, el argumento x para las funciones trigonométricas satisface la relación x = (180 x / π )°, de modo que, por ejemplo, sen π = sen 180° cuando tomamos x = π . De esta manera, el símbolo de grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1° = π /180 ≈ 0,0175.

Definiciones de círculos unitarios

Todas las funciones trigonométricas del ángulo θ (theta) se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Función seno en el círculo unitario (arriba) y su gráfica (abajo)

En esta ilustración, las seis funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario θ se representan como coordenadas cartesianas de puntos relacionados con el círculo unitario . Las ordenadas de A , B y D son sen θ , tan θ y csc θ , respectivamente, mientras que las abscisas de A , C y E son cos θ , cot θ y sec θ , respectivamente.

Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. Mnemónicos como " todos los estudiantes toman cálculo " indican cuándo seno , coseno y tangente son positivos de los cuadrantes I a IV. [ ^8]

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y radianes (90°), las definiciones de círculo unitario permiten extender el dominio de las funciones trigonométricas a todos los números reales positivos y negativos. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Sea el rayo obtenido al rotar un ángulo θ la mitad positiva del eje x (rotación en sentido antihorario para y rotación en sentido horario para ). Este rayo interseca el círculo unitario en el punto El rayo prolongado hasta una línea si es necesario, interseca la línea de ecuación en el punto y la línea de ecuación en el punto La línea tangente al círculo unitario en el punto A , es perpendicular a e interseca los ejes y y x en los puntos y Las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta >0,}$ ${\displaystyle \theta <0}$ ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

Las funciones trigonométricas cos y sen se definen, respectivamente, como los valores de las coordenadas x e y del punto A. Es decir,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$y ^[9] ${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

En el rango , esta definición coincide con la definición de triángulo rectángulo, al tomar el triángulo rectángulo como radio unitario OA como hipotenusa . Y dado que la ecuación se cumple para todos los puntos del círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Las demás funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$y ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$y ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Aplicando los métodos de identidad pitagórica y de prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Funciones trigonométricas: Seno , Coseno , Tangente , Cosecante (punteada) , Secante (punteada) , Cotangente (punteada) – animación

Como una rotación de un ángulo de no cambia la posición o el tamaño de una figura, los puntos A , B , C , D y E son los mismos para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de . Por lo tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período . Es decir, las igualdades ${\displaystyle \pm 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$y ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

se cumple para cualquier ángulo θ y cualquier entero k . Lo mismo es cierto para las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonía de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, es el período fundamental de estas funciones). Sin embargo, después de una rotación de un ángulo , los puntos B y C ya vuelven a su posición original, de modo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de . Es decir, las igualdades ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$y ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

es válido para cualquier ángulo θ y cualquier entero k .

Valores algebraicos

El círculo unitario , con algunos puntos etiquetados con su coseno y seno (en este orden), y los ángulos correspondientes en radianes y grados.

Las expresiones algebraicas para los ángulos más importantes son las siguientes:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( ángulo cero )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( ángulo recto )

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una forma fácil de recordar los valores. ^[10]

Por lo general, no existen expresiones tan simples para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto.

• Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, los valores trigonométricos exactos del seno y del coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas. Estos valores del seno y del coseno pueden así construirse mediante regla y compás .
• Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas y raíces cúbicas de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3°, las raíces cúbicas no reales son inevitables.
• Para un ángulo que, expresado en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de raíces n -ésimas . Esto resulta del hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .
• Para un ángulo que, expresado en grados, no es un número racional, entonces el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , demostrado en 1966.

Valores algebraicos simples

La siguiente tabla enumera los senos, cosenos y tangentes de múltiplos de 15 grados de 0 a 90 grados.

Definiciones en análisis

Gráficas de seno, coseno y tangente

La función seno (azul) se aproxima estrechamente a su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.

Animación para la aproximación del coseno mediante polinomios de Taylor.

${\displaystyle \cos(x)}$junto con los primeros polinomios de Taylor ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

GH Hardy señaló en su obra de 1908 Un curso de matemáticas puras que la definición de las funciones trigonométricas en términos del círculo unitario no es satisfactoria, porque depende implícitamente de una noción de ángulo que puede medirse con un número real. ^[11] Así, en el análisis moderno, las funciones trigonométricas suelen construirse sin referencia a la geometría.

Existen en la literatura diversas formas de definir las funciones trigonométricas de manera adecuada para el análisis; entre ellas se incluyen:

• Utilizando la "geometría" del círculo unitario, que requiere formular analíticamente la longitud del arco de un círculo (o el área de un sector). ^[11]
• Mediante una serie de potencias, que es especialmente adecuada para variables complejas. ^{[11] [12]}
• Utilizando una expansión de producto infinita. ^[11]
• Invirtiendo las funciones trigonométricas inversas, que pueden definirse como integrales de funciones algebraicas o racionales. ^[11]
• Como soluciones de una ecuación diferencial. ^[13]

Definición por ecuaciones diferenciales

El seno y el coseno se pueden definir como la única solución al problema del valor inicial : ^[14]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

Derivando nuevamente, y , entonces tanto el seno como el coseno son soluciones de la misma ecuación diferencial ordinaria ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

El seno es la única solución con y (0) = 0 y y ′(0) = 1 ; el coseno es la única solución con y (0) = 1 y y ′(0) = 0 .

Se puede demostrar entonces, como teorema, que las soluciones son periódicas, es decir, que tienen el mismo período. Escribir este período como es entonces una definición del número real que es independiente de la geometría. ${\displaystyle \cos ,\sin }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Aplicando la regla del cociente a la tangente , ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

Entonces la función tangente satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

Es la única solución con y (0) = 0 .

Expansión de series de potencias

Las funciones trigonométricas básicas se pueden definir mediante las expansiones de series de potencias ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de estas series es infinito, por lo que el seno y el coseno pueden extenderse a funciones enteras (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones complejas definidas y holomorfas en todo el plano complejo .

La diferenciación término a término muestra que el seno y el coseno definidos por la serie obedecen a la ecuación diferencial discutida anteriormente, y a la inversa, se pueden obtener estas series a partir de relaciones de recursión elementales derivadas de la ecuación diferencial.

Al definirse como fracciones de funciones enteras, las demás funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromórficas , es decir, funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma para la tangente y la secante, o para la cotangente y la cosecante, donde k es un entero arbitrario. ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k\pi }$

También se pueden calcular relaciones de recurrencia para los coeficientes de las series de Taylor de otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternadas de conjuntos finitos. ^[16]

Más precisamente, definir

U _n , el n- ésimo número arriba/abajo ,

B _n , el n- ésimo número de Bernoulli , y

E _n , es el n º número de Euler ,

Se tienen las siguientes expansiones en serie: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Expansión de fracciones continuas

Las siguientes fracciones continuas son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

El último se utilizó en la primera prueba histórica de que π es irracional . ^[18]

Expansión de fracciones parciales

Existe una representación en serie como expansión de fracciones parciales donde se suman las funciones recíprocas recién traducidas , de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: ^[19]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Esta identidad se puede demostrar con el truco de Herglotz . ^[20] Combinando el (– n ) ésimo con el n ésimo término se llega a una serie absolutamente convergente :

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

De manera similar, se puede encontrar una expansión en fracciones parciales para las funciones secante, cosecante y tangente:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

Expansión infinita de productos

El siguiente producto infinito para el seno se debe a Leonhard Euler y es de gran importancia en el análisis complejo: ^[21]

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Esto se puede obtener a partir de la descomposición en fracciones parciales de lo dado anteriormente, que es la derivada logarítmica de . ^[22] De esto, se puede deducir también que ${\displaystyle \cot z}$ ${\displaystyle \sin z}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

La fórmula de Euler y la función exponencial

${\displaystyle \cos(\theta )}$y son la parte real e imaginaria respectivamente. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

La fórmula de Euler relaciona el seno y el coseno con la función exponencial :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Demostración : Sea y Se tiene para j = 1, 2 . La regla del cociente implica entonces que . Por lo tanto, es una función constante, que es igual a ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 , como Esto prueba la fórmula. ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Cuando x es real, esto puede reescribirse como

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja utilizando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad para simplificar el resultado. ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

La fórmula de Euler también se puede utilizar para definir la función trigonométrica básica directamente, de la siguiente manera, utilizando el lenguaje de los grupos topológicos . ^[23] El conjunto de números complejos de módulo unitario es un grupo topológico compacto y conexo, que tiene un vecindario de la identidad que es homeomorfo a la línea real. Por lo tanto, es isomorfo como grupo topológico al grupo toro unidimensional , a través de un isomorfismo en términos pedestres , y este isomorfismo es único hasta tomar conjugados complejos. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ ${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

Para un número real distinto de cero (la base ), la función define un isomorfismo del grupo . Las partes real e imaginaria de son el coseno y el seno, donde se utiliza como base para medir ángulos. Por ejemplo, cuando , obtenemos la medida en radianes y las funciones trigonométricas habituales. Cuando , obtenemos el seno y el coseno de los ángulos medidos en grados. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$ ${\displaystyle e(t/a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=2\pi }$ ${\displaystyle a=360}$

Nótese que es el único valor en el que la derivada se convierte en un vector unitario con parte imaginaria positiva en . Este hecho, a su vez, puede utilizarse para definir la constante . ${\displaystyle a=2\pi }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Definición por integración

Otra forma de definir las funciones trigonométricas en el análisis es mediante la integración. ^{[11] [24]} Para un número real , se pone donde esto define esta función tangente inversa. Además, se define mediante una definición que se remonta a Karl Weierstrass . ^[25] ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

En el intervalo , las funciones trigonométricas se definen invirtiendo la relación . Por lo tanto, definimos las funciones trigonométricas por donde se encuentra el punto en el gráfico de y se toma la raíz cuadrada positiva. ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$ $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ ${\displaystyle (t,\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$

Esto define las funciones trigonométricas en . La definición se puede extender a todos los números reales observando primero que, como , , y entonces y . Por lo tanto y se extienden continuamente de modo que . Ahora las condiciones y definen el seno y el coseno como funciones periódicas con período , para todos los números reales. ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle \theta \to \pi /2}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$ ${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Para demostrar las propiedades básicas de seno y coseno, incluido el hecho de que seno y coseno son analíticos, primero se pueden establecer las fórmulas de adición. Primero, se cumple, siempre que , ya que después de la sustitución . En particular, el caso límite como da Por lo tanto, tenemos y Por lo tanto, las funciones seno y coseno están relacionadas por traslación durante un cuarto de período . $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan({\frac {s+t}{1-st}})}$$ ${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$ $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ ${\displaystyle \pi /2}$

Definiciones utilizando ecuaciones funcionales

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales .

Por ejemplo, ^[26] el seno y el coseno forman el único par de funciones continuas que satisfacen la fórmula de diferencia.

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

y la condición añadida

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

En el plano complejo

El seno y el coseno de un número complejo se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales de la siguiente manera: ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Aprovechando la coloración del dominio , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valor complejo. Se pueden ver varias características exclusivas de las funciones complejas en el gráfico; por ejemplo, se puede ver que las funciones seno y coseno no tienen límites a medida que la parte imaginaria de se hace más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contienen ceros o polos simples es evidente por el hecho de que el tono gira alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. Comparar estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre los dos. ${\displaystyle z}$

Periodicidad y asíntotas

Las funciones coseno y seno son periódicas , con periodo , que es el periodo positivo más pequeño: En consecuencia, la secante y la cosecante también tienen como su periodo. Las funciones seno y coseno también tienen semiperiodos , y Por lo tanto se deduce que así como otras identidades como También tenemos La función tiene un único cero (en ) en la franja . La función tiene el par de ceros en el mismo dominio. Debido a la periodicidad, los ceros del seno son Los ceros del coseno son Todos los ceros son ceros simples, y cada función tiene derivada en cada uno de los ceros. ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \sin(z+2\pi )=\sin(z).}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \sin(z+\pi )=-\sin(z).}$$ $${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$ $${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \sin ^{2}(z+\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+\pi )\sin(z+\pi )=\cos(z)\sin(z).}$$ $${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\sin(x),\quad \sin(x+\pi /2)=\cos(x).}$$ ${\displaystyle \sin(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$ ${\displaystyle \cos(z)}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ $${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle \pm 1}$

La función tangente tiene un cero simple en y asíntotas verticales en , donde tiene un polo simple de residuo . Nuevamente, debido a la periodicidad, los ceros son todos los múltiplos enteros de y los polos son múltiplos impares de , todos con el mismo residuo. Los polos corresponden a asíntotas verticales ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

La función cotangente tiene un polo simple de residuo 1 en los múltiplos enteros de y ceros simples en los múltiplos impares de . Los polos corresponden a asíntotas verticales ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

Identidades básicas

Muchas identidades interrelacionan las funciones trigonométricas. Esta sección contiene las más básicas; para más identidades, véase Lista de identidades trigonométricas . Estas identidades pueden demostrarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o de triángulo rectángulo (aunque, para las últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π /2] , véase Demostraciones de identidades trigonométricas ). Para demostraciones no geométricas que utilicen solo herramientas de cálculo , se pueden utilizar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la de la demostración anterior ^{[ ancla rota ]} de la identidad de Euler. También se puede utilizar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejas y utilizando propiedades de la función exponencial.

Paridad

El coseno y la secante son funciones pares ; las demás funciones trigonométricas son funciones impares . Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Periodos

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas de periodo 2 π . Este es el periodo más pequeño, excepto la tangente y la cotangente, que tienen π como periodo más pequeño. Esto significa que, para cada entero k , se tiene

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

Identidad pitagórica

La identidad pitagórica, es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas.

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Dividiendo por o da ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

y

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Fórmulas de suma y diferencia

Las fórmulas de suma y resta permiten desarrollar el seno, el coseno y la tangente de una suma o una resta de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estas pueden deducirse geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo . También se pueden producir algebraicamente utilizando la fórmula de Euler .

Suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Diferencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto-suma .

Al establecer todas las funciones trigonométricas de se pueden expresar como fracciones racionales de : ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Junto con

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

Esta es la sustitución del medio ángulo de la tangente , que reduce el cálculo de integrales y antiderivadas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Derivadas y antiderivadas

Las derivadas de las funciones trigonométricas resultan de las del seno y del coseno aplicando la regla del cociente . Los valores dados para las antiderivadas en la siguiente tabla se pueden verificar derivándolas. El número  C es una constante de integración .

Nota: Para la integral de también se puede escribir como y para la integral de para como donde es el seno hiperbólico inverso . ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle \csc x}$ ${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$ ${\displaystyle \sec x}$ ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

Alternativamente, las derivadas de las 'cofunciones' se pueden obtener utilizando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas y, por lo tanto, no inyectivas , por lo que, estrictamente hablando, no tienen una función inversa . Sin embargo, en cada intervalo en el que una función trigonométrica es monótona , se puede definir una función inversa, y esto define las funciones trigonométricas inversas como funciones multivaluadas . Para definir una verdadera función inversa, se debe restringir el dominio a un intervalo donde la función es monótona y, por lo tanto, es biyectiva desde este intervalo hasta su imagen por la función. La opción común para este intervalo, llamado el conjunto de valores principales , se da en la siguiente tabla. Como es habitual, las funciones trigonométricas inversas se denotan con el prefijo "arco" antes del nombre o su abreviatura de la función.

Las notaciones sen ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc. se utilizan a menudo para arcsin y arccos , etc. Cuando se utiliza esta notación, las funciones inversas podrían confundirse con las inversas multiplicativas. La notación con el prefijo "arc" evita dicha confusión, aunque "arcsec" para arcsecant puede confundirse con " arcsecond ".

Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar en términos de series infinitas. También se pueden expresar en términos de logaritmos complejos .

Aplicaciones

Ángulos y lados de un triángulo

En esta sección , A , B y C representan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a , b y c representan las longitudes de los respectivos lados opuestos. Están relacionados mediante varias fórmulas, que se nombran según las funciones trigonométricas que involucran.

Ley de senos

La ley de los senos establece que para un triángulo arbitrario con lados a , b y c y ángulos opuestos a esos lados A , B y C : donde Δ es el área del triángulo o, equivalentemente, donde R es el radio circunscrito del triángulo . $${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

Se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia accesible.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras : o equivalentemente, $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$ $${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

En esta fórmula el ángulo en C es opuesto al lado  c . Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando el teorema de Pitágoras .

La ley de los cosenos se puede utilizar para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo que forman. También se puede utilizar para hallar los cosenos de un ángulo (y, en consecuencia, los ángulos mismos) si se conocen las longitudes de todos los lados.

Ley de las tangentes

La ley de las tangentes dice que:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$.

Ley de cotangentes

Si s es el semiperímetro del triángulo, ( a + b + c )/2, y r es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo , entonces rs es el área del triángulo. Por lo tanto, la fórmula de Heron implica que:

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

La ley de las cotangentes dice que: ^[27]

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$

Funciones periódicas

Una curva de Lissajous , una figura formada con una función basada en trigonometría.

Una animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada con un número creciente de armónicos.

Las funciones base sinusoidales (abajo) pueden formar una onda de diente de sierra (arriba) cuando se suman. Todas las funciones base tienen nodos en los nodos del diente de sierra, y todas, excepto la fundamental ( k = 1 ), tienen nodos adicionales. La oscilación que se observa alrededor del diente de sierra cuando k es grande se denomina fenómeno de Gibbs .

Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple , que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa colgada de una cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales del movimiento circular uniforme .

Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales . Los patrones de onda característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como las ondas sonoras o luminosas . ^[28]

En condiciones bastante generales, una función periódica f  ( x ) se puede expresar como una suma de ondas seno o de ondas coseno en una serie de Fourier . ^{[29] Denotando las} funciones base seno o coseno por φ _k , la expansión de la función periódica f  ( t ) toma la forma: $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

Por ejemplo, la onda cuadrada se puede escribir como la serie de Fourier. $${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

En la animación de una onda cuadrada de la parte superior derecha se puede ver que con tan solo unos pocos términos se obtiene una aproximación bastante buena. Debajo se muestra la superposición de varios términos en la expansión de una onda de dientes de sierra .

Historia

Aunque los primeros estudios de la trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). Las funciones de seno y verseno (1 – coseno) se remontan a las funciones jyā y koti-jyā utilizadas en la astronomía india del período Gupta ( Aryabhatiya , Surya Siddhanta ), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[30] (Véase la tabla de senos de Aryabhata ).

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[31] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos persas y árabes, incluyendo el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[31] Al-Khwārizmī (c. 780-850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. Hacia 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la cotangente y produjo tablas de tangentes y cotangentes. ^{[32] [33]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado desde 1° hasta 90°. ^[33] Las funciones trigonométricas fueron estudiadas posteriormente por matemáticos como Omar Khayyám , Bhāskara II , Nasir al-Din al-Tusi , Jamshīd al-Kāshī (siglo XIV), Ulugh Beg (siglo XIV), Regiomontanus (1464), Rheticus y el alumno de Rheticus, Valentinus Otho .

Madhava de Sangamagrama (c. 1400) hizo avances tempranos en el análisis de funciones trigonométricas en términos de series infinitas . ^[34] (Véase la serie de Madhava y la tabla de senos de Madhava ).

La función tangente fue traída a Europa por Giovanni Bianchini en 1467 en las tablas de trigonometría que creó para apoyar el cálculo de las coordenadas estelares. ^[35]

Los términos tangente y secante fueron introducidos por primera vez por el matemático danés Thomas Fincke en su libro Geometria rotundi (1583). ^[36]

El matemático francés del siglo XVII Albert Girard hizo el primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan en su libro Trigonométrie . ^[37]

En un artículo publicado en 1682, Gottfried Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[38] Aunque se introdujeron como razones de los lados de un triángulo rectángulo , y por lo tanto parecían funciones racionales , el resultado de Leibniz estableció que en realidad son funciones trascendentales de su argumento. La tarea de asimilar funciones circulares en expresiones algebraicas fue realizada por Euler en su Introducción al análisis del infinito (1748). Su método fue demostrar que las funciones seno y coseno son series alternadas formadas a partir de los términos pares e impares respectivamente de la serie exponencial . Presentó la " fórmula de Euler ", así como abreviaturas casi modernas ( sin. , cos. , tang. , cot. , sec. y cosec. ). ^[30]

Algunas funciones eran comunes históricamente, pero ahora se usan raramente, como la cuerda , la versina (que apareció en las primeras tablas ^[30] ), la coversina , la haversina , ^[39] la exsecante y la excosecante . La lista de identidades trigonométricas muestra más relaciones entre estas funciones.

• crd( θ ) = 2 sin( ⁠θ/2⁠ )
• versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sen ² ( ⁠θ/2⁠ )
• cubresin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin( ⁠π/2⁠ − θ )
• haversin( θ ) = ⁠1/2⁠ versin( θ ) = sen ² ( ⁠θ/2⁠ )
• exsec( θ ) = sec( θ ) − 1
• excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ − θ ) = csc( θ ) − 1

Históricamente, las funciones trigonométricas a menudo se combinaban con logaritmos en funciones compuestas como el seno logarítmico, el coseno logarítmico, la secante logarítmica, la cosecante logarítmica, la tangente logarítmica y la cotangente logarítmica. ^{[40] [41] [42] [43]}

Etimología

La palabra sine deriva ^[44] del latín sinus , que significa "curva; bahía", y más específicamente "el pliegue colgante de la parte superior de una toga ", "el pecho de una prenda", que fue elegida como la traducción de lo que se interpretó como la palabra árabe jaib , que significa "bolsillo" o "pliegue" en las traducciones del siglo XII de obras de Al-Battani y al-Khwārizmī al latín medieval . ^[45] La elección se basó en una lectura errónea de la forma escrita árabe jyb ( جيب ), que a su vez se originó como una transliteración del sánscrito jīvā , que junto con su sinónimo jyā (el término sánscrito estándar para el seno) se traduce como "cuerda de arco", siendo a su vez adoptado del griego antiguo χορδή "cuerda". ^[46]

La palabra tangente proviene del latín tangens , que significa "tocar", ya que la línea toca el círculo de radio unitario, mientras que secante proviene del latín secans ("cortar"), ya que la línea corta el círculo. ^[47]

El prefijo " co- " (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum de Edmund Gunter (1620), que define el coseno como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario ) y procede a definir las cotangentes de manera similar. ^{[48] [49]}

Véase también

• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
• Aproximación de ángulos pequeños
• Diferenciación de funciones trigonométricas
• Trigonometría generalizada
• Generando tablas trigonométricas
• Lista de integrales de funciones trigonométricas
• Lista de funciones periódicas
• Seno polar : una generalización para los ángulos de vértice

Notas

1. También igual a ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

1. Klein, Félix (1924) [1902]. "Las funciones goniométricas". Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (en alemán). vol. 1 (3ª ed.). Berlín: J. Springer. Cap. 3.2 , pág. 175 y sigs.Traducido como "Las funciones goniométricas". Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: aritmética, álgebra, análisis . Traducido por Hedrick, ER; Noble, CA Macmillan. 1932. Cap. 3.2, pág. 162 y siguientes.
2. Protter y Morrey (1970, págs. APP-2, APP-3)
3. "Seno, coseno, tangente". www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
4. Protter y Morrey (1970, p. APP-7)
5. Rudin, Walter, 1921–2010. Principios del análisis matemático (tercera edición). Nueva York. ISBN 0-07-054235-X.OCLC 1502474  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
6. Diamond, Harvey (2014). "Definición de funciones exponenciales y trigonométricas mediante ecuaciones diferenciales". Revista de Matemáticas . 87 (1): 37–42. doi :10.4169/math.mag.87.1.37. ISSN  0025-570X. S2CID  126217060.
7. Spivak, Michael (1967). "15". Cálculo . Addison-Wesley. págs. 256-257. LCCN  67-20770.
8. Stueben, Michael; Sandford, Diane (1998). Veinte años antes del pizarrón: las lecciones y el humor de un profesor de matemáticas. Serie Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. pág. 119. ISBN 978-0-88385-525-6.
9. Bityutskov, VI (7 de febrero de 2011). «Funciones trigonométricas». Enciclopedia de matemáticas . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2017. Consultado el 29 de diciembre de 2017 .
10. Larson, Ron (2013). Trigonometría (novena edición). Cengage Learning. pág. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2018.Extracto de la página 153 Archivado el 15 de febrero de 2018 en Wayback Machine.
11. Hardy, GH (1950), Un curso de matemáticas puras (8.ª ed.), págs. 432–438
12. Whittaker, ET, y Watson, GN (1920). Un curso de análisis moderno: una introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas; con una descripción de las principales funciones trascendentales. Prensa universitaria.
13. Bartle, RG y Sherbert, DR (2000). Introducción al análisis real (3.ª ed.). Wiley.
14. Bartle y Sherbert 1999, pág. 247.
15. Whitaker y Watson, pág. 584
16. Stanley, Combinatoria enumerativa, vol. I, pág. 149
17. Abraham; Weisstein.
18. Lambert, Johann Heinrich (2004) [1768], "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités trascendentantes circulaires et logarithmiques", en Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (eds.), Pi, un libro de consulta (3.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag , págs. 129-140, ISBN 0-387-20571-3
19. Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2000). Pruebas de EL LIBRO (Segunda ed.). Springer-Verlag . p. 149. ISBN 978-3-642-00855-9. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2014.
20. Remmert, Reinhold (1991). Teoría de funciones complejas. Springer. pág. 327. ISBN 978-0-387-97195-7. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2015.Extracto de la página 327 Archivado el 20 de marzo de 2015 en Wayback Machine.
21. Whittaker y Watson, pág. 137
22. Ahlfors, pág. 197
23. Bourbaki, Nicolás (1981). Topología general . Saltador. §VIII.2.
24. Bartle (1964), Elementos del análisis real , págs. 315-316
25. Weierstrass, Karl (1841). "Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren absolutista Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt" [Representación de una función analítica de una variable compleja, cuyo valor absoluto se encuentra entre dos límites dados]. Mathematische Werke (en alemán). vol. 1. Berlín: Mayer & Müller (publicado en 1894). págs. 51–66.
26. Kannappan, Palaniappan (2009). Ecuaciones y desigualdades funcionales con aplicaciones . Springer. ISBN 978-0387894911.
27. The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, págs. 529-530. Versión en inglés: George Allen and Unwin, 1964. Traducido de la versión alemana: Meyers Rechenduden, 1960.
28. Farlow, Stanley J. (1993). Ecuaciones diferenciales parciales para científicos e ingenieros (reimpresión de la edición de Wiley de 1982). Courier Dover Publications. pág. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2015.
29. Véase, por ejemplo, Folland, Gerald B. (2009). "Convergencia y completitud". Análisis de Fourier y sus aplicaciones (reimpresión de Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). American Mathematical Society. pp. 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2015.
30. Boyer, Carl B. (1991). Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 , pág. 210. 
31. Gingerich, Owen (1986). "Astronomía islámica". Scientific American . Vol. 254. pág. 74. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2013. Consultado el 13 de julio de 2010 .
32. Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", pág. 157, en Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000). Matemáticas en distintas culturas: la historia de las matemáticas no occidentales . Springer Science+Business Media . ISBN. 978-1-4020-0260-1.
33. "trigonometría". Enciclopedia Británica. 17 de noviembre de 2023.
34. O'Connor, JJ; Robertson, EF "Madhava of Sangamagrama". Facultad de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 14 de mayo de 2006. Consultado el 8 de septiembre de 2007 .
35. Van Brummelen, Glen (2018). "El fin de un error: Bianchini, Regiomontanus y la tabulación de coordenadas estelares". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 72 (5): 547–563. doi :10.1007/s00407-018-0214-2. JSTOR  45211959. S2CID  240294796.
36. "Biografía de Fincke". Archivado desde el original el 7 de enero de 2017. Consultado el 15 de marzo de 2017 .
37. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Funciones trigonométricas", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
38. Bourbaki, Nicolás (1994). Elementos de historia de las matemáticas . Springer. ISBN 9783540647676.
39. Nielsen (1966, págs. xxiii-xxiv)
40. von Hammer, Ernst Hermann Heinrich [en alemán] , ed. (1897). Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (en alemán) (2 ed.). Stuttgart, Alemania: JB Metzlerscher Verlag . Consultado el 6 de febrero de 2024 .
41. Heß, Adolf (1926) [1916]. Trigonometrie für Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (en alemán) (6 ed.). Winterthur, Suiza: Springer. doi :10.1007/978-3-662-36585-4. ISBN 978-3-662-35755-2.
42. Lötzbeyer, Philipp (1950). "§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und T. 14: lg tg x; lg ctg X". Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (en alemán) (1 ed.). Berlín, Alemania: Walter de Gruyter & Co. doi :10.1515/9783111507545. ISBN  978-3-11114038-4. Identificación de archivo 541650 . Consultado el 6 de febrero de 2024 .
43. Roegel, Denis, ed. (30 de agosto de 2016). Una reconstrucción de la tabla de logaritmos de 7 cifras de Peters (volumen 2, 1940). Vandoeuvre-lès-Nancy, Francia: Université de Lorraine . hal-01357842. Archivado desde el original el 6 de febrero de 2024. Consultado el 6 de febrero de 2024 .
44. La forma anglicanizada se registra por primera vez en 1593 en Horologiographia, the Art of Dialling de Thomas Fale .
45. Varias fuentes atribuyen el primer uso de sinus a cualquiera de los dos:
    • Traducción de la Astronomía de Al-Battani de Platón Tiburtino en 1116
    • Traducción del Álgebra de al-Khwārizmī por Gerardo de Cremona
    • Traducción de las tablas de al-Khwārizmī de Roberto de Chester en 1145
    Véase Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions en Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms , Springer, 2004.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, para una etimología anterior que acredita a Gerard.
    Véase Katx, Victor (julio de 2008). A history of mathematics (3.ª ed.). Boston: Pearson . p. 210 (recuadro). ISBN 978-0321387004.
46. Véase Plofker, Mathematics in India , Princeton University Press, 2009, p. 257
    Véase "Clark University". Archivado desde el original el 15 de junio de 2008.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, sobre la etimología.
47. Diccionario Oxford de inglés
48. Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum .
49. Roegel, Denis, ed. (6 de diciembre de 2010). "Una reconstrucción del Canon triangulorum de Gunter (1620)" (Informe de investigación). HAL. inria-00543938. Archivado desde el original el 28 de julio de 2017. Consultado el 28 de julio de 2017 .

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Lars Ahlfors , Análisis complejo: una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja , segunda edición, McGraw-Hill Book Company , Nueva York, 1966.
• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1999). Introducción al análisis real (3.ª ed.). Wiley. ISBN 9780471321484.
• Boyer, Carl B. , Una historia de las matemáticas , John Wiley & Sons, Inc., 2.ª edición. (1991). ISBN 0-471-54397-7 . 
• Cajori, Florian (1929). "§2.2.1. Notaciones trigonométricas". Una historia de las notaciones matemáticas . Vol. 2. Open Court. págs. 142–179 (¶511–537).
• Gal, Shmuel y Bachelis, Boris. Una biblioteca matemática elemental precisa para el estándar IEEE de punto flotante, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Joseph, George G., La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas , 2.ª ed. Penguin Books , Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8 . 
• Kantabutra, Vitit, "Sobre hardware para calcular funciones exponenciales y trigonométricas", IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli, Trigonometric Delights , Princeton Univ. Press. (1998). Edición reimpresa (2002): ISBN 0-691-09541-8 . 
• Needham, Tristan, "Prefacio" a Análisis complejo visual . Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9 . 
• Nielsen, Kaj L. (1966), Tablas logarítmicas y trigonométricas de cinco dígitos (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  61-9103
• O'Connor, JJ y EF Robertson, "Funciones trigonométricas", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor . (1996).
• O'Connor, JJ y EF Robertson, "Madhava de Sangamagramma", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor . (2000).
• Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma" Archivado el 5 de mayo de 2006 en Wayback Machine , archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . (2002).
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Weisstein, Eric W., "Tangent" de MathWorld , consultado el 21 de enero de 2006.

Enlaces externos

• "Funciones trigonométricas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Módulo de aprendizaje visual sobre matemáticas ondulatorias
• GonioLab Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas
• q-Sine Artículo sobre el análogo q de seno en MathWorld
• Artículo sobre el análogo q de coseno en MathWorld