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Acorde (geometría)

Líneas y segmentos de línea comunes en un círculo, incluida una cuerda en azul

Una cuerda (del latín chorda , que significa " cuerda de arco ") de un círculo es un segmento de línea recta cuyos puntos finales se encuentran ambos en un arco circular . Si una cuerda se extendiera infinitamente en ambas direcciones en una línea , el objeto sería una línea secante . La línea perpendicular que pasa por el punto medio de la cuerda se llama sagitta (del latín "flecha").

En términos más generales, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos de una curva cualquiera , por ejemplo, una elipse . Una cuerda que pasa por el punto central de un círculo es el diámetro del círculo .

En círculos

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

  1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y sólo si sus longitudes son iguales.
  2. Las cuerdas iguales están subtendidas por ángulos iguales desde el centro del círculo.
  3. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga de ese círculo específico.
  4. Si las extensiones de línea (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se intersecan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD ( teorema de la potencia de un punto ).

En cónicas

Los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas de una cónica son colineales ( teorema del punto medio para cónicas ). [1]

En trigonometría

Las cuerdas se utilizaron ampliamente en el desarrollo temprano de la trigonometría . La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco en el siglo II a. C., ya no existe, pero tabulaba el valor de la función de la cuerda para cada ⁠7+1/2⁠ grados . En el siglo II d. C., Ptolomeo compiló una tabla de cuerdas más extensa en su libro sobre astronomía , dando el valor de la cuerda para ángulos que van desde ⁠1/2⁠ a 180 grados en incrementos de ⁠1/2⁠ grado. Ptolomeo utilizó un círculo de diámetro 120 y dio longitudes de cuerda precisas hasta dos dígitos sexagesimales (base sesenta) después de la parte entera. [2]

La función cuerda se define geométricamente como se muestra en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud de la cuerda entre dos puntos de un círculo unitario separados por ese ángulo central . El ángulo θ se toma en sentido positivo y debe estar en el intervalo 0 < θ ≤ π (medida en radianes). La función cuerda se puede relacionar con la función seno moderna , tomando uno de los puntos como (1,0) y el otro punto como ( cos θ , sen θ ), y luego usando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la cuerda: [2]

[3]

El último paso utiliza la fórmula del medio ángulo . Así como la trigonometría moderna se basa en la función seno, la trigonometría antigua se basaba en la función cuerda. Se supone que Hiparco escribió una obra de doce volúmenes sobre cuerdas, todas ellas hoy perdidas, por lo que presumiblemente se sabía mucho sobre ellas. En la tabla siguiente (donde c es la longitud de la cuerda y D el diámetro del círculo) se puede demostrar que la función cuerda satisface muchas identidades análogas a las conocidas modernas:

La función inversa también existe: [4]

Véase también

Referencias

  1. ^ Gibson, CG (2003). "7.1 Midpoint Loci". Geometría euclidiana elemental: una introducción . Cambridge University Press. págs. 65–68. ISBN 9780521834483.
  2. ^ ab Maor, Eli (1998). Delicias trigonométricas . Princeton University Press. págs. 25-27. ISBN 978-0-691-15820-4.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Segmento circular". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.
  4. ^ Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" (código fuente de FORTRAN-90). Greenbelt, Maryland, EE. UU.: Centro de vuelo espacial Goddard de la NASA . Consultado el 26 de octubre de 2015 .

Enlaces externos

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