Un arco circular es el arco de círculo entre un par de puntos distintos . Si los dos puntos no están directamente opuestos entre sí, uno de estos arcos, el arco menor , subtiende un ángulo en el centro del círculo que es menor que π radianes (180 grados ); y el otro arco, el arco mayor , subtiende un ángulo mayor que π radianes. El arco de un círculo se define como la parte o segmento de la circunferencia de un círculo. Una línea recta que conecta los dos extremos del arco se conoce como cuerda de círculo. Si la longitud de un arco es exactamente la mitad del círculo, se le conoce como arco de semicírculo .
La longitud (más precisamente, la longitud del arco ) de un arco de círculo con radio r y que subtiende un ángulo θ (medido en radianes) con el centro del círculo, es decir, el ángulo central , es
Esto es porque
Sustituyendo en la circunferencia
y, siendo α el mismo ángulo medido en grados, ya que θ = α/180π , la longitud del arco es igual
Una forma práctica de determinar la longitud de un arco en un círculo es trazar dos líneas desde los puntos finales del arco hasta el centro del círculo, medir el ángulo donde las dos líneas se encuentran con el centro y luego resolver L multiplicando cruzadamente el enunciado :
Por ejemplo, si la medida del ángulo es 60 grados y la circunferencia es 24 pulgadas, entonces
Esto es así porque la circunferencia de un círculo y los grados de un círculo, que siempre son 360, son directamente proporcionales.
La mitad superior de un círculo se puede parametrizar como
Entonces la longitud del arco desde hasta es
El área del sector formado por un arco y el centro de un círculo (delimitado por el arco y los dos radios trazados hasta sus extremos) es
El área A tiene la misma proporción con el área del círculo que el ángulo θ con un círculo completo:
Podemos cancelar π en ambos lados:
Multiplicando ambos lados por r 2 , obtenemos el resultado final:
Usando la conversión descrita anteriormente, encontramos que el área del sector para un ángulo central medido en grados es
El área de la figura delimitada por el arco y la línea recta entre sus dos puntos finales es
Para obtener el área del segmento de arco , necesitamos restar el área del triángulo, determinada por el centro del círculo y los dos puntos finales del arco, del área . Consulte Segmento circular para obtener más detalles.
Utilizando el teorema de las cuerdas que se cruzan (también conocido como teorema de la potencia de un punto o teorema de la tangente secante) es posible calcular el radio r de un círculo dada la altura H y el ancho W de un arco:
Considere la cuerda con los mismos puntos finales que el arco. Su mediatriz es otra cuerda, que es el diámetro del círculo. La longitud de la primera cuerda es W y está dividida por la bisectriz en dos mitades iguales, cada una con longitudW./2. La longitud total del diámetro es 2 r y está dividido en dos partes por la primera cuerda. La longitud de una parte es la sagitta del arco, H , y la otra parte es el resto del diámetro, con longitud 2 r − H. Aplicar el teorema de las cuerdas que se cruzan a estas dos cuerdas produce
De dónde
entonces
Arco, cuerda y sagita derivan sus nombres respectivamente de las palabras latinas para arco, cuerda de arco y flecha .
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e27382006cbe17cbd438103c4367012c2b6bf79)
![{\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af06c827ad36f4ee0925c92a649cf2280205642)
