segmento circular

Área delimitada por un arco circular y una línea recta

Un segmento circular (en verde) está encerrado entre una secante/cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos puntos finales son iguales a los de la cuerda (el arco que se muestra sobre el área verde).

En geometría , un segmento circular o segmento de disco (símbolo: ⌓ ) es una región de un disco ^[1] que está "cortada" del resto del disco por una línea recta. La recta completa se conoce como secante , y la sección dentro del disco como cuerda . ^[2]

Más formalmente, un segmento circular es una región plana delimitada por un arco circular (de menos de π radianes por convención) y la cuerda circular que conecta sus puntos finales.

Fórmulas

Sea R el radio del arco que forma parte del perímetro del segmento, θ el ángulo central que subtiende el arco en radianes , c la longitud de la cuerda , s la longitud del arco , h la sagitta ( altura ) del segmento, d la apotema del segmento y a el área del segmento.

Por lo general, se dan o miden la longitud y la altura de la cuerda y, a veces, la longitud del arco como parte del perímetro, y las incógnitas son el área y, a veces, la longitud del arco. Estos no se pueden calcular simplemente a partir de la longitud y la altura de la cuerda, por lo que generalmente se calculan primero dos cantidades intermedias, el radio y el ángulo central.

Radio y ángulo central.

El radio es:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

El ángulo central es

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

Longitud y altura de la cuerda

La longitud y altura de la cuerda se pueden calcular a partir del radio y el ángulo central mediante:

La longitud de la cuerda es

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

La sagita es

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

La apotema es

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

Longitud y área del arco

La longitud del arco, de la geometría familiar de un círculo, es

${\displaystyle s={\theta }R}$

El área a del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular (usando la fórmula del doble ángulo para obtener una ecuación en términos de ): ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

En términos de R y h ,

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}}$

En términos de c y h ,

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

Lo que se puede afirmar es que a medida que el ángulo central se hace más pequeño (o, alternativamente, el radio aumenta), el área a se acerca rápida y asintóticamente . Si , es una aproximación sustancialmente buena. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

Si se mantiene constante y se permite que el radio varíe, entonces tenemos ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

A medida que el ángulo central se acerca a π, el área del segmento converge con el área de un semicírculo, por lo que una buena aproximación es un delta desplazado de esta última área: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$para h>.75 R

Como ejemplo, el área es un cuarto del círculo cuando θ ~ 2,31 radianes (132,3°) correspondiente a una altura de ~59,6% y una longitud de cuerda de ~183% del radio. ^{[ se necesita aclaración ]}

Etc.

El perímetro p es la longitud del arco más la longitud de la cuerda,

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

Como proporción del área total del disco, tienes ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

Aplicaciones

La fórmula del área se puede utilizar para calcular el volumen de un tanque cilíndrico parcialmente lleno colocado horizontalmente.

En el diseño de ventanas o puertas con parte superior redondeada, c y h pueden ser los únicos valores conocidos y pueden usarse para calcular R para la configuración del compás del dibujante.

Se pueden reconstruir las dimensiones completas de un objeto circular completo a partir de fragmentos midiendo la longitud del arco y la longitud de la cuerda del fragmento.

Para comprobar las posiciones de los agujeros en un patrón circular. Especialmente útil para comprobar la calidad de productos mecanizados.

Para calcular el área o centroide de una forma plana que contiene segmentos circulares.

Ver también

• Acorde (geometría)
• casquete esférico
• sectores circulares

Referencias

1. Las matemáticas distinguen cuando es necesario entre las palabras círculo y disco : un disco es un área plana que tiene un círculo como límite, mientras que un círculo es la curva cerrada que forma el límite mismo.
2. Estos términos se refieren a una línea que cruza una curva. En este caso, la curva es el círculo que forma el límite del disco.
3. La relación fundamental entre R, c y h derivable directamente del teorema de Pitágoras entre R, C/2 y rh componentes de un triángulo rectángulo es: que puede resolverse para R, c o h según sea necesario. ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$

• Weisstein, Eric W. "Segmento circular". MundoMatemático .

enlaces externos

• Definición de un segmento circular Con animación interactiva
• Fórmulas para el área de un segmento circular Con animación interactiva