biarc

Figura 1

Un biarc es una curva suave formada a partir de dos arcos circulares . ^[1] Para que el biarc sea suave ( G ¹ continuo ), los dos arcos deben tener la misma tangente en el punto de conexión donde se encuentran.

Los biarcs se utilizan comúnmente en modelado geométrico y gráficos por computadora . Se pueden utilizar para aproximar splines y otras curvas planas colocando los dos extremos exteriores del biarc a lo largo de la curva que se va a aproximar, con una tangente que coincida con la curva, y luego eligiendo un punto medio que mejor se ajuste a la curva. Esta elección de tres puntos y dos tangentes determina un par único de arcos circulares, y el lugar geométrico de los puntos medios para los cuales estos dos arcos forman un biarco es en sí mismo un arco circular. En particular, para aproximar una curva de Bézier de esta manera, se debe elegir el punto medio del biarc como el incentro del triángulo formado por los dos extremos de la curva de Bézier y el punto donde se encuentran sus dos tangentes. De manera más general, se puede aproximar una curva mediante una secuencia suave de biarcos; el uso de más biarcs en la secuencia mejorará en general la cercanía de la aproximación a la curva original.

Ejemplos de curvas biarc

1. En los siguientes ejemplos, los biarcs están subtendidos por la cuerda y son el punto de unión. El vector tangente en el punto inicial es y es la tangente en el punto final ${\displaystyle A(J)B}$ ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\beta )}$ ${\displaystyle B:}$
2. La figura 2 muestra seis ejemplos de biarcs. ${\displaystyle AJB.}$
   • Biarc 1 se sortea con Biarcs 2-6 tienen ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.}$ ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.}$
   • En los ejemplos 1, 2, 6 la curvatura cambia de signo y el punto de unión es también el punto de inflexión. Biarc 3 incluye el segmento de recta . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle JB}$
   • Los biarcs 1 a 4 son cortos en el sentido de que no giran cerca de los puntos finales. Alternativamente, los biarcos 5,6 son largos : girar cerca de uno de los puntos finales significa que intersectan el complemento izquierdo o derecho de la cuerda de la línea recta infinita.
   • Los Biarcs 2 a 6 comparten tangentes finales. Se pueden encontrar en el fragmento inferior de la Fig. 3, dentro de la familia de biarcos con tangentes comunes.
3. La figura 3 muestra dos ejemplos de familias biarc, que comparten puntos finales y tangentes finales.
4. La figura 4 muestra dos ejemplos de familias de biarcos, que comparten puntos finales y tangentes finales, siendo las tangentes finales paralelas: ${\displaystyle \alpha =\beta .}$
5. La Fig. 5 muestra familias específicas con o ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi .}$

Fig 5. Familias de Biarcs con o ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi }$

Los diferentes colores en las figuras 3, 4, 5 se explican a continuación como subfamilias , , . En particular, para los biarcos, que se muestran en marrón sobre un fondo sombreado ( en forma de lente o en forma de luna ), se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

• la rotación total (ángulo de giro) de la curva es exactamente (no , que es la rotación de otros biarcos); ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\displaystyle \beta -\alpha \pm 2\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})}$: la suma es el ancho angular de la lente/luna, que cubre el biarc, cuyo signo corresponde a una curvatura creciente (+1) o decreciente (-1) del biarc, según el teorema generalizado de Vogt (Теорема Фогта#Обобщение теоремы  ^{[ ru]} ). ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Familia de biarcs con tangentes finales comunes.

Una familia de biarcos con puntos finales comunes , y tangentes finales comunes (1) se denota como o, brevemente, como  el parámetro de familia. Las propiedades de Biarc se describen a continuación en términos de artículo. ^[2] ${\displaystyle A=(-c,0)}$ ${\displaystyle B=(c,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p),}$ ${\displaystyle p}$

1. La construcción de un biarc es posible si
2. Denotar
   • ${\displaystyle k_{1}}$, y   la curvatura, el ángulo de giro y la longitud del arco :    ; ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle AJ}$ ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$
   • ${\displaystyle k_{2}}$, y   lo mismo para el arco :    . ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle JB}$ ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$
   Entonces
   $${\displaystyle k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{where}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$$
   (debido a (2) , ). Ángulos de giro: ${\displaystyle \sin \omega \not =0}$
   $${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}$$
3. El lugar geométrico de los puntos de unión es el círculo. ${\displaystyle J}$
   $${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$$
   (mostrado discontinuo en Fig.3, Fig.5). Este círculo (línea recta si , Fig.4) pasa por puntos en los que la  tangente a Biarcs corta este círculo bajo un ángulo constante.   ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\gamma ).}$ ${\displaystyle -\omega .}$
4. El vector tangente al biarc en el punto de unión es , donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)}$
   $${\displaystyle \tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$$
5. Los biarcs tienen el punto de unión en el eje Y y producen el salto de curvatura mínimo , en  ${\displaystyle p=\pm 1}$ ${\displaystyle (X_{J}=0),}$ ${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$ ${\displaystyle J.}$
6. Los biarcs degenerados son:
   • Biarc : mientras su arco se desvanece. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle p\to 0}$ ${\displaystyle J(p)\to A}$ ${\displaystyle AJ}$
   • Biarc : mientras su arco se desvanece. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ ${\displaystyle p\to \pm \infty }$ ${\displaystyle J(p)\to B}$ ${\displaystyle JB}$
   • Biarc discontinuo incluye línea recta o y pasa por el punto infinito  : ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ ${\displaystyle AP_{\infty }J}$ ${\displaystyle JP_{\infty }B,}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$
     $${\displaystyle p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}}$$
   La región oscurecida similar a una lente en las figuras 3 y 4 está delimitada por biarcos. Cubre biarcos con biarcos discontinuos que se muestran con una línea roja de puntos y guiones. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).}$ ${\displaystyle p>0.}$
7. Toda la familia se puede subdividir en tres subfamilias de biarcs no degenerados: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$
   $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}}$$
   La subfamilia desaparece si La subfamilia desaparece si En las figuras 3, 4, 5 se muestran biarcs en marrón, biarcs en azul y biarcs en verde. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=0}$   ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$ ${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$ ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

Referencias

1. Bolton, KM (1975). "Curvas de Biarc". Diseño asistido por ordenador . 7 (2): 89–92. doi :10.1016/0010-4485(75)90086-X.
2. Kurnosenko, AI (2013). «Biarcs y bilens» (PDF) . Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 30 (3): 310–330. doi :10.1016/j.cagd.2012.12.002.

• Nutbourne, AW; Martín, RR (1988). Geometría diferencial aplicada al diseño de curvas y superficies. Vol.1: Cimientos . Ellis Horwood. ISBN 978-0132118224.

enlaces externos

• Interpolación de Biarc